книги из ГПНТБ / Амиро И.Я. Ребристые цилиндрические оболочки

Необходимо отметить, что к системе (11.128) и указанным формулам для вычи­ сления о°, w “можно прийти и путем точного решения системы (11.119), если ее

упростить в соответствии с предположениями, аналогичными приведенным на стр. 73.

с (11.118). Отсюда можно сделать вывод, что решениями системы уравнений (11.126) (s = 0) описываются состояния, аналогичные тем, которые описываются формулами (11.118).

Рассмотрим теперь естественные граничные условия. После разложения пере­ мещений в ряды (11.124), приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых сте-

пенях Т)с, получаем такие последовательности статических и кинематических гра­

91

что Saß=0.

Система уравнений (11.128) приводится к уравнению шестого порядка, по­ этому мы располагаем только шестью произвольными постоянными для того, чтобы удовлетворить в каждом приближении бесконечную систему граничных условий. Это возможно лишь при дополнительных предположениях (см. стр. 85).

§ 5. Критерии применимости теории конструктивно ортотропных оболочек

Изложенный в предыдущем параграфе приближенный метод опре­ деления напряженно-деформированного состояния ребристых ци­ линдрических оболочек может быть использован при формулирова­ нии критериев применимости теории конструктивно ортотропных оболочек. Под конструктивно ортотропной понимаем оболочку, уравнения равновесия которой могут быть получены из уравнений

конструктивно ортотропной оболочке эквивалентно допущению о возможности замены усилий взаимодействия обшивки и ребер, распределенных по поверхности контакта, усилиями взаимодейст­ вия, распределенными по поверхности панели, размещенной между соседними ребрами. Рассмотрим оболочки, нагруженные цикличе­ ски симметричной нагрузкой.

Из анализа характеристического уравнения (11.77) находим, что при

(11.131)

после пренебрежения малыми слагаемыми коэффициенты этого уравнения совпадают с коэффициентами характеристического урав­ нения для конструктивно ортотропной оболочки [73]. Отсюда сле­ дует, что условие (11.131) ■— необходимое условие применимости теории конструктивно ортотропных оболочек. Пользуясь (11.118), нетрудно определить, что при выполнении этого условия перемещения обшивки и ребер, усилия в срединной поверхности обшивки усилия и моменты в ребрах можно найти из уравнений теории конструк­ тивно ортотропных оболочек.

Изгибающие моменты в обшивке, определяемые с учетом ди­ скретного размещения ребер и по теории конструктивно орто­ тропных оболочек, совпадают в том случае, если

a k \ с 2 > 1

или

(11.132)

92

При г]с> а2 неравенство (11.132) можно принять в качестве достаточного условия применимости теории конструктивно ортотропных оболочек. Необходимо отметить, что условия (11.131) и (11.132), поскольку они получены из анализа уравнений (11.77) и соотношений (11.118), относятся к напряженным состояниям, определяемым этими уравнениями, т. е. к состояниям, возникаю­ щим в зонах оболочки, удаленных от торцов на расстояния, рав­ ные L*.

При действии на оболочку произвольных нагрузок следует рас­ смотреть два случая: 1) напряженное состояние может быть пред­ ставлено в виде суммы полубезмоментного состояния и краевого эффекта; 2) напряженное состояние не может быть представлено в виде суммы указанных состояний.

В первом случае условия (II. 131), (II.132) определяют возмож­ ность использования теории конструктивно ортотропных оболочек для определения напряженных состояний, описывающих простой краевой эффект. Поскольку формулы для определения полубезмоментных состояний (II. 113) совпадают с соответствующими форму­ лами теории конструктивно ортотропных оболочек, то, как указы­ валось выше, область применимости указанной теории определя­ ется лишь областью применимости уравнений (11.84), которая, как и следовало ожидать, значительно шире области, определяемой условиями (11.131) и (11.132). Условия, при выполнении которых корни характеристических уравнений для полубезмоментных со­ стояний можно определять из (П.84), имеют такой вид:

Во втором случае необходимое условие применимости теории конструктивно ортотропных оболочек будет таким же, как в случае простого краевого эффекта. Достаточное условие определяется как

условие, при котором выполняется неравенство Xn,s »

Очевидно, что все сказанное выше относится к оболочкам, под­ верженным действию нагрузок, относительно медленно изменяю­ щихся в окружном направлении. При нагружении оболочек быстро

теория не может быть использована для определения напряженно­

93

Г Л А В А III

ОБОЛОЧКИ, УСИЛЕННЫЕ

п е р е к р е с т н о й с и с т е м о й р е б е р

Приближенное решение системы уравнений равновесия в переме­ щениях оболочки, усиленной перекрестной системой ребер, разы­ скивается в виде двойных тригонометрических рядов. При реализа­ ции предложенной методики используются точные решения соот­ ветствующих уравнений для оболочки, усиленной ребрами одного направления. Для продольно подкрепленных оболочек с подвес­ ными шпангоутами получено точное решение задачи.

§ 1. Бесконечно длинные оболочки

Рассмотрим бесконечно длинные круговые замкнутые цилиндриче­ ские оболочки, усиленные регулярной системой меридиональных (стрингеры) и кольцевых (шпангоуты) ребер. Предположим, что нагрузка, приложенная к оболочке, обладает такими свойствами:

L

где g* = {Ly— расстояние между шпангоутами).

Частное решение системы уравнений (1.25) для нагрузок, обла­ дающих свойствами (II 1.1), находим в таком виде:

со

£ulmslndimicoslkQ,

І= 0 ш = 0 .2 ,4 ,...

1= 0 m=0,2,4,...

95

где dUn = —г . После подстановки (III.2) в (1.25) и элементар-

ных преобразований полученной системы линейных алгебраичес­ ких уравнений имеем

1 4- 6 W№lk,m “I“ Zt^lk,m) "Ь Wlm

1 Om

(I = 0, 1,2,. . .,m = 0,2, 4,...).

Ьт= (Q_‘ J ^(ÖCOS dlmldl-

l \ ß

1 Физический смысл величин Xт, Zтп» Yi, Zi очевиден: это коэффициенты тригонометрических рядов, в которые раскладываются реакции ребер.

96

В ряде случаев система (III.4) может оказаться вполне регуляр­ ной и ее решение весьма просто может быть получено последова­ тельными приближениями. К вполне регулярной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений может быть сведена за­ дача об определении напряженно-деформированного состояния обо­ лочки, нагруженной радиальными силами, равномерно распре­ деленными по площади узла.

Для большей наглядности изложения рассмотрим оболочки, стрингеры которых обладают только жесткостью на изгиб, а шпан­ гоуты— жесткостью на растяжение, причем те и другие передают на обшивку только радиальные реакции. С учетом принятых пред­ положений система уравнений (II 1.4) принимает вид

\^=0,2,4,...

(/ = 0, 1,2,. . ., т = 0,2, 4, .. .),

98

Условия регулярности этих систем записываются в таком виде:

(93] можно выбрать (Ѳт)тіп и (ö;)min), а правые части систем (III.7) и (III.8) положительны и ограничены

(ШЛО)

то согласно [93] эти системы вполне регулярны. В этом случае, как известно, единственное и ограниченное решение систем урав­ нений (III.7), (III.8) можно найти последовательными приближе­ ниями. Для построения последовательности приближений удобнее, однако, ■пользоваться исходной системой (III.5), (III.6). Нулевое

приближение выбираем в таком виде:

Для вычисления последующих приближений может быть пред­ ложена рекуррентная формула

с возрастанием s разница между верхней и нижней границей не­ известных стремится к нулю либо, по крайней мере, не возрастает. Указанная разность не будет убывать лишь в том случае, когда

ZI,, = и Zz= Z*/• Эти равенства возможны лишь при очень боль­ ших значениях т и / и Дг-»-0. В этом случае процесс приближений

не будет сходиться, но тогда согласно (III.14) и (III.15) Zm и Z) равны своим предельным значениям. Следовательно, предложенная последовательность приближений в пределе (s -*■ оо) дает точное решение системы уравнений (II 1.5). После того как получены

Z; и Zm, определение напряженно-деформированного состояния сво­

как 4. Подставив при больших т и / в уравнения (III.7) и (III.8)

Zm=ZmP = l и Zi=-p (Е — неизвестное число), можно существенно

100