книги из ГПНТБ / Амиро И.Я. Ребристые цилиндрические оболочки

ГЛАВА V

УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ОСЕВОМ СЖАТИИ

§ 1. Вводные замечания

Классическая постановка задачи устойчивости упругих систем берет начало в работах Эйлера, посвященных рассмотрению выпу­ чивания сжатых стержней. Признаком неустойчивости исходной формы равновесия является существование смежной (сколь угодно близкой к исходной) отклоненной формы при неизменной нагрузке, уровень которой и определяет возможность появления новых форм равновесия. Критическая сила определяется как нагрузка, при которой происходит разветвление форм равновесия и с превыше­ нием которой устойчивыми становятся только эти отклонения фор­ мы. Важно подчеркнуть характерное для классического подхода рассмотрение исходных форм равновесия, пренебрежимо мало от­ личающихся от ненагруженного состояния.

Такая постановка задачи не является единственно возможной и универсальной, однако она позволила решить много важных за­ дач устойчивости стержней и стержневых систем, пластинок и оболочек.

Значения критических напряжений, полученные из решений в классической постановке задачи об устойчивости замкнутой цилин­ дрической оболочки, подверженной осевому сжатию, долго не по­ лучали опытного подтверждения. Экспериментальные данные о критических напряжениях, определяемых обычно по максимальной нагрузке, выдерживаемой оболочкой в испытательной машине, ока­ зывались значительно ниже вычисленных по классической теории, составляя от последних иногда не более 30%.

Значительную роль в развитии исследований по устойчивости оболочек сыграло рассмотрение нелинейных соотношений между нагрузкой и прогибом, направленное на выявление причин наблю­ даемого расхождения между теоретическими и экспериментальными значениями критической нагрузки. Аппроксимация прогиба обо­ лочки выражениями, отражающими наблюдающуюся при развитии деформаций тенденцию цилиндрической оболочки выпучиваться внутрь, позволила определить из решения нелинейных уравнений такие равновесные состояния, соответствующие большим проги­ бам, которые могут поддерживаться с помощью нагрузок, гораздо меньших классической критической силы. Минимальные напряже­ ния, способные удержать оболочку в отклоненном состоянии, по­ лучили название нижних критических напряжений.

132

Характерной особенностью, выявленной с помощью таких реше­ ний, явилось наличие устойчивых форм равновесия, несмежных с неотклоненным состоянием. Невозможность плавного перехода к этим несмежным состояниям приводит к развитию представлений о перескоке (хлопке) оболочки при потере устойчивости, к примене­ нию понятия неустойчивости в большом.

Близкое совпадение первых теоретических значений нижних критических напряжений 1 с ранее полученными эксперименталь­ ными данными послужило основанием для вывода, что в опытах по­ теря устойчивости цилиндрических оболочек происходит в виде перескока при напряжениях, заключенных между нижним и верх­ ним критическими напряжениями. Такой перескок связан с пре­ одолением энергетического барьера и требует наличия возмуще­ ний начального неотклоненного состояния.

В результате дальнейших исследований закритического пове­ дения цилиндрических оболочек при осевом сжатии были получены очень низкие значения нижних критических напряжений [171 174] и отмечена тенденция к дальнейшему их снижению. В надле­ жаще поставленных экспериментах с тщательно изготовленными тонкими цилиндрическими оболочками наблюдался перескок обо­ лочки из неотклоненного состояния в несмежное отклоненное при напряжениях, достаточно близких к верхним критическим, и об­ ратный перескок в исходное состояние при уменьшении напряже­ ний до нижнего критического значения (см., например, [135, 148, 149]). Имеющее место в рядовых опытах выпучивание при нагруз­ ках, значительно меньших верхней критической, объясняется на­ личием начальных отклонений оболочки от идеальной цилиндри­ ческой формы. В расчетной практике в настоящее время ориенти­ руются на верхнюю критическую нагрузку с введением поправоч­ ных эмпирических коэффициентов (см., например, [24, 60]).

Поведение ребристых цилиндрических оболочек, наблюдаемое при их испытании на устойчивость при осевом сжатии, во многом сходно с поведением гладких оболочек. Существенным является гораздо меньший разброс опытных значений критических нагрузок, что свидетельствует о более слабом влиянии начальных неправиль­ ностей на величину верхних критических напряжений в случае ре­ бристых оболочек. Это объясняется тем, что ребристая цилиндри­ ческая оболочка представляет собой сочетание собственно оболочки

h

напряжений ри=0,194 Е — (здесь Е — модуль упругости материала, h u r —

толщина и радиус оболочки); Кемпнер нашел минимальное значение напря-

д

жений в закритическом режиме ри=0,182 Е—, что составляет 30% классического

h

/7=0,605 Е — (см. [43]).

133

наличие начальных несовершенств в известных пределах не влияет на величину силы, называемой критической.

Для потери устойчивости ребристых цилиндрических оболочек характерна возможность таких форм равновесия, при которых под­ крепляющие оболочку ребра не полностью вовлекаются в деформа­ цию изгиба и кручения. Эта особенность, присущая оребренным обо­ лочкам, должна быть учтена при определении критических нагру­ зок.

§ 2. Основные зависимости и исходные положения

В основу определения критических напряжений осевого сжатия по­ ложены классическая постановка задачи, базирующаяся на исполь­ зовании условий существования отклоненных равновесных форм, смежных с исходным безмоментным равновесным состоянием обо­ лочки, и энергетический метод (метод Ритца).

Применение энергетического метода к задаче устойчивости ре­ бристой цилиндрической оболочки как системы, состоящей из соб­ ственно оболочки (обшивки) и подкрепляющих ее продольных и кольцевых ребер (стрингеров и шпангоутов), в сочетании с наложе­ нием на перемещения ребер ограничений, согласующихся в главном с условиями их соединения с оболочкой, позволяет вместо уравне­ ний равновесия рассмотреть условия экстремума потенциальной энергии системы и использовать обычное уравнение совместности деформаций для гладкой цилиндрической оболочки. Для собственно оболочки применяется техническая теория тонких цилиндрических оболочек [37], а для ребер ■— обычные соотношения сопротивления материалов.

Для основных компонентов деформации круговой цилиндриче­ ской оболочки техническая теория использует следующие формулы:

Здесь принято, что положение точки срединной поверхности обо­ лочки радиуса г определяется координатами х и у, представляю­ щими собой расстояние до точки соответственно вдоль образующей и по дуге окружности.

Формулы (V. 1) определяют деформации растяжения и сдвига, а формулы (Ѵ.2)— компоненты деформации, связанные с изменением кривизн и кручением срединной поверхности оболочки. Переме­ щения и и V вдоль координатных линий принимаются положитель­ ными, если они совпадают с принятым направлением осей, а переме­ щение w по нормали (прогиб) считается положительным, если оно направлено к центру кривизны.

134

Нормальные и касательные напряжения в срединной поверхности оболочки определяются через функцию напряжений cp:

а также между моментами и изменениями кривизн на основании закона Гука и гипотезы прямых нормалей устанавливаются сле­ дующие зависимости:

из приведенных соотношений можно определить напряжения (Ѵ.З) и деформации (Ѵ.4) в срединной поверхности оболочки, изменения кривизн (Ѵ.2) и моменты (Ѵ.5). Однако произвольное задание функ­ ций ф и ш невозможно. Определение перемещений и и ѵ точек сре­ динной поверхности в продольном и кольцевом направлениях из трех зависимостей (Ѵ.1) требует выполнения условий интегрируе­ мости системы этих уравнений. Условия эти приводят к уравнению совместности деформаций

Оно может быть получено также формально исключением из урав­ нений (Ѵ.1) перемещений и и о с последующей заменой деформаций е х , 6у и у хУ по формулам (Ѵ.4), куда вместо напряжений подстав­ ляются их выражения (Ѵ.З). Кроме того, напряжения и перемеще­ ния должны удовлетворять определенным условиям закрепления краев оболочки и условиям загружения, т. е. граничным условиям и условиям равновесия. Последние используются в форме условий экстремума потенциальной энергии системы для определения кри­ тических значений сжимающих напряжений.

Потенциальная энергия упругой системы, подверженной дей­ ствию заданных нагрузок, определяется как работа, совершаемая внутренними и внешними силами при переводе системы из деформи­

135

рованного в начальное, недеформированное состояние. Обозначив через U потенциальную энергию внутренних сил и через А потен­ циальную энергию внешних сил, для полной потенциальной энергии системы Э получаем выражение

от деформации, всегда положительна и вычисляется как половина произведения сил на соответствующие перемещения. В рассмотрен­ ном случае ребристой цилиндрической оболочки она складывается из потенциальной энергии деформации собственно оболочки (об­ шивки) и потенциальной энергии деформации подкрепляющих ребер.

Потенциальная энергия деформации обшивки состоит из двух частей: потенциальной энергии, вызванной изгибом, и потенциаль­ ной энергии, обусловленной растяжением срединной поверхности,

Выражая моменты и деформации соответственно через кривизны и напряжения, а последние через прогиб и функцию напряжений, выражение для потенциальной энергии деформации собственно обо­ лочки можно записать в виде

Потенциальная энергия деформации ребер, подкрепляющих обо­ лочку, состоит из трех частей,, отвечающих продольной деформации, изгибу и кручению. Потенциальную энергию деформации k стрин­ геров и k1 шпангоутов можно записать в виде

/= ! 0

136

где Fi ■— площадь поперечного сечения; В с и К і •— жесткости при изгибе в радиальной плоскости и кручении t-го стрингера; Ѳ; — переменный по длине угол его закручивания; Fj, Èj, Kj и Qj — соответствующие величины для /-го шпангоута. Изгиб стрингеров (wt) и шпангоутов (wj) рассматривается только в радиальном на­ правлении.

В выражении (V.11) представлена энергия изгиба шпангоута как тонкого кольца и энергия его кручения, характеризующегося пере­ менным вдоль дуги углом закручивания Ѳ7-. В случае осесимметрич­ ной деформации, когда все сечения шпангоута поворачиваются на один и тот же угол Ѳ07-, энергия деформации кручения будет

Потенциальная энергия внешних сил всегда отрицательна и опре­ деляется как полная величина произведения силы на путь. В случае ребристой цилиндрической оболочки, подверженной действию рас­ пределенных по торцевым сечениям сжимающих напряжений р, эта энергия складывается из работы продольных сил, действующих на оболочку, и продольных сил, приложенных к стрингерам.

Продольные силы, действующие на оболочку, при переводе ее из деформированного в начальное, недеформированное состояние совершают работу

Сближение торцов в деформированном состоянии определяется еле" дующей зависимостью:

Подставляя (V.14) в (V.13) и заменяя &х соответствующим выраже­ нием через функцию напряжений, находим

I 2яг

Аналогично определяется выражение для работы сжимающих сил,

137

Полная потенциальная энергия рассматриваемой системы в слу­ чае действия продольных сжимающих напряжений определяется на основании (Ѵ.7), куда вместо U и А подставляются £/=>£/„ -f Ч- Uс~Ь Um и А = А 0 -j- Ас-

§ 3. Уравнения для определения критических напряжений

Рассмотрим ребристую замкнутую цилиндрическую оболочку, под­ верженную действию осевого сжатия, которое осуществлено в виде равномерно распределенных на торцах оболочки сжимающих напряжений р, и определим величину напряжений, при которых эта оболочка может по­ терять устойчивость. Будем полагать, что на торцах оболочки обеспечены условия шарнирного опирания и что до потери устойчивости оболочка сох­

раняет цилиндрическую форму. Определение критических напря­

жений на основе энергетического кри­ терия устойчивости связано с выбором аппроксимирующих выражений для функций, описывающих напряженное и деформированное состояние ребрис­ той цилиндрической оболочки при по­ тере устойчивости. В применяемом здесь смешанном методе такими функ­ циями являются прогиб и функция напряжений, удовлетворяющие урав­

Рис. 39. нению совместности деформаций и оп­ ределенным граничным условиям.

Расположив начало координат в торце оболочки на оси одного из стрингеров (рис. 39), примем выражение для прогиба оболочки в виде двойного тригонометрического ряда:

метральной плоскости симметрии оболочки, где расположено начало

138

координат (в принципе эти деформации можно рассматривать не­ зависимо друг от друга).

Подставляя принятое выражение для w в уравнение совместно­ сти деформаций (V.6) и решая его, находим функцию напряжений

граничным условиям, соответствующим нагружению равномерно

Предполагая, что соединения ребер с оболочкой обеспечивают равенство прогибов и углов закручивания ребер соответствующим деформациям оболочки и не накладывают ограничений на их про­ дольные деформации, находим для деформаций .ребер следующие зависимости:

для стрингеров

При этом принимается, что нормальные напряжения в стрингерах равны заданным на торцах сжимающим напряжениям р, а нормальные напряжения в шпангоутах равны нулю. Можно показать [5], что учет связей, налагаемых соединением оболочки с ребрами на про­ дольные деформации последних, мало сказывается на величине критической нагрузки *.

Использование зависимостей (Ѵ.19) и (Ѵ.20) позволяет выразить все деформации, входящие в выражения составляющих потенциаль­ ной энергии, через прогиб w, функцию напряжений <р и напряжения осевого сжатия р. Подставляя в эти выражения вместо до и ср соот­ ветственно (V.17) и (V.18) и выполняя необходимые операции ин­ тегрирования, полную потенциальную энергию системы (V.7) мож-

1 Здесь, как и в [5], не учитывается возможное эксцентричное расположе­ ние ребер относительно срединной поверхности оболочки.

139

н о з а п и с а т ь в т а к о м в и д е :

140

В этом выражении слагаемым А ' обозначена потенциальная энер­ гия докритического безмоментного состояния сжатой оболочки, не зависящая от параметров прогиба Стп. Осесимметричная составляю­

/=1

Значения этих сумм зависят от соотношения между числом полу­ волн и количеством ребер соответствующего направления и при­ ведены в приложении I.

Введем безразмерные параметры, характеризующие относитель­

141