книги из ГПНТБ / Амиро И.Я. Ребристые цилиндрические оболочки

системы представлено в виде сходящейся последовательности при­ ближений.

В работе [170] на числовых примерах исследуется вопрос о при­ менимости вариантов метода последовательных приближений, пред­ ложенных в [70, 144], для определения напряженно-деформирован­ ного состояния оболочек, подкрепленных ребрами в двух направле­ ниях, с учетом их дискретного размещения. Показано, что при использовании методов последовательных приближений, где за ос­ новную систему берется гладкая или конструктивно-ортотропная оболочка, с увеличением жесткости ребер сходимость итерационных процессов нарушается.

Предложенный в работе [166] метод свободен от этого недостатка и позволяет получить решение задачи с требуемой точностью при любом наборе ребер. В основу этого метода также положен прин­ цип последовательных приближений, но при этом строятся одно­ временно две последовательности. На первом этапе решается за­ дача для оболочки с ребрами только одного направления при за­ данных граничных условиях и нагрузке. Параллельно решается аналогичная задача для оболочки с ребрами только другого направ­ ления. На втором этапе в уравнения для оболочки с ребрами пер­ вого направления вводится дополнительная нагрузка — реакции ребер второго направления, найденные на первом этапе. Аналогично уточняется решение задачи для оболочки с ребрами второго направ­ ления путем введения в функцию внешней нагрузки реакций от ре­ бер первого направления. Затем процесс снова повторяется. Пока­ зано, что истинное решение задачи заключено между решениями, найденными в двух последовательных приближениях.

В работе [168] проведено исследование напряженного состояния подкрепленной цилиндрической оболочки под действием локальной нагрузки, приложенной в месте пересечения ребер. Исследовано влияние параметров подкрепления на характер и уровень напря­ женного состояния. Показано, что максимальные величины кри­ визны в направлении, перпендикулярном ребру, и соответствую­ щего изгибающего момента достигаются на оси ребра на некотором расстоянии от силы. Указываются координаты этих опасных се­ чений.

Из приведенного выше краткого обзора литературных данных можно сделать следующие выводы.

В настоящее время в основном завершена лишь формулировка основных соотношений теории ребристых оболочек. Причем не вы­ яснен до конца ряд вопросов, связанных, с учетом второстепенных слагаемых в уравнениях равновесия, относящихся, в частности, к учету изгиба ребер в плоскости, касательной к срединной поверх­ ности обшивки, и их закручивания. Практически отсутствуют ра­ боты, в которых бы изучалась область применимости исходных пред­ положений теории х.

1 Указанный вопрос на частном примере рассмотрен в работе [36].

1G

Г Л А В А I

УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ. ЕСТЕСТВЕННЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

§ 1. Исходные предположения

Здесь и ниже ребристая оболочка последовательно рассматривается как конструкция, состоящая из собственно оболочки (обшивки) и одномерных упругих элементов (ребер). Предполагается, что обшив­ ка — тонкая оболочка, напряженно-деформированное состояние ко­ торой может быть полностью определено в рамках линейной теории

размещены вдоль линий главных кривизн обшивки. Система ко­ ординат выбрана так, что координатные линии совпадают с линиями главных кривизн. Края обшивки и ребер лежат в одной коорди­ натной плоскости.

Принятый способ учета распределения усилий взаимодействия обшивки и ребер по ширине ребер определяется приведенными ниже соотношениями. Их можно задать в различной форме в зависимости от конкретных условий сочленения обшивки и ребер. Предполагает­ ся, что перемещения точек ребра, расположенных на пересечении его осевого сечения, перпендикулярного к срединной поверхности оболочки, с обшивкой, равны средним по ширине ребра перемеще­ ниям поверхности обшивки, соприкасающейся с ребром. В соответ­

УI

Уг

Ф2сі М = j ф с£ (у) %(Х’У) dy>

Уі

12

для /-го шпангоута и обшивки

т — компоненты вектора перемещений точки, лежащей в срединной поверхности обшивки; ср,, ср2 — углы поворота элемента, нормального

перемещений оси г'-го стрингера и углы поворота и закручивания

его поперечного сечения; «ш/, ѵш}, wm{ и ср2ш/, ср1ш/ — компоненты

вектора перемещений оси /-го шпангоута и углы поворота и закручивания его поперечного сечения; /іс£— расстояние от оси

і-го стрингера до срединной поверхности обшивки (Ас£ > 0 , если

ось стрингера лежит внутри цилиндра, образованного срединной поверхностью обшивки); hmj— аналогичная ftc£ характеристика /-го

шпангоута; Фы(у) и Ф . (я)— функции распределения перемещений обшивки по ширине г-го стрингера и /-го шпангоута,

13

где yt — координата линии пересечения осевого сечения t-го стрин­ гера, лежащего в плоскости радиального сечения обшивки, с ее поверхностью; Дс£'— ширина полосы на поверхности обшивки, по которой соприкасаются і-й стрингер и обшивка; х -,— координата линии пересечения осевого сечения /-го шпангоута с ее поверхно­ стью; Д[щ-— ширина полосы на поверхности обшивки, по которой соприкасаются /-й шпангоут и обшивка.

Предполагая, что Фсі (у) и Фш/ (х) непрерывны вместе со своими первыми производными, обеспечиваем непрерывность уравнения в вариациях. Указанное предположение будет выполняться, если на fa (у) и /ш/ (х) наложены такие ограничения:

Примем, что усилия взаимодействия обшивки и ребер распределя­ ются по ширине ребер так же, как и перемещения. Тогда функции fa (у) и /ш/ (х) будут описывать распределение усилий взаимодей­ ствия по ширине ребер, а так как ребра рассматриваются как одно­ мерные упругие элементы, то эти функции должны быть нормиро­ ваны так, чтобы суммарная (по ширине ребра) распределенная на­ грузка, приложенная к обшивке, равнялась реакции ребра, т. е.

дсі

14

Совокупность соотношений (1.1)— (1.6) определяет принятую в данной работе схему взаимодействия'обшивки и ребер, которая позволяет учесть, что в реальной оболочке ребро передает на об­ шивку не сосредоточенную вдоль линии, а некоторую непрерывную нагрузку, распределенную по заданной поверхности. Такой подход уточняет расчетную схему для обшивки и позволяет улучшить схо­ димость тригонометрических рядов, использованных в главах II — IV этой работы. В то же время принятая схема шире схемы, пред­ полагающей, что усилия взаимодействия обшивки и ребер распре­ делены вдоль условной линии контакта, поскольку «функции рас­ пределения» для указанного случая могут быть получены из (1.3), (1.4) предельным переходом ДСі -> О, Дш/ 0 .

Однако кроме указанных преимуществ принятая схема обла­ дает по крайней мере, двумя существенными недостатками: вид функции /с,(г/) и fui/(x) — неизвестен, поэтому при выполнении вычи­

слений он должен быть задан; поскольку, с одной стороны, предпо­ лагается что ребро ■— одномерный упругий элемент (упругая ли­ ния, обладающая заданными жесткостными характеристиками), а с другой стороны ■— что оно обладает шириной и его деформации по ширине ребра различны (так как /СІ- {у) ф const, /Ш/М Ф const),

теория содержит трудно устранимое противоречие.

Несмотря на указанные недостатки, принятая схема взаимо­ действия обшивки и ребер будет использована в данной работе, так как с одной стороны., после решения соответствующих контакт­ ных задач пространственной теории упругости1 эти недостатки можно

годны в случае ребер нулевой ширины, когда указанные противо­ речия устраняются автоматически

Далее везде, кроме § 2 главы III и § 3 главы IVпри выполне­ нии вычислений принято /с,= const,. /ш/— const В указанных па­

раграфах, где излагаются результаты, полученные В. Н. Хитровым, использована схема взаимодействия обшивки и ребер, отлич­ ная от описанной выше. В. Н. Хитров предполагал, что усилия взаимодействия распределены по ширине ребер равномерно, а пе­ ремещения точек, расположенных на пересечении осевого сечения ребра, лежащего в радиальном сечении обшивки, равны пере­ мещениям обшивки на линии пересечения.

1 Может оказаться, что функции распределения перемещений и усилий име­ ют различный вид. Полученные ниже (глава II) решения пригодны и в этом случае, следует лишь заменить Ьп на Ьп', а Ьпг на bn' b где Ьп', Ьп" — ко­ эффициенты Фурье функций распределения усилий и перемещений (см. § 1 главы II).

15

При толщинах ребер, сравнимых с толщиной обшивки, обе схемы приводят к практически одинаковым численным значениям характеристик напряженно-деформированного состояния оболочки, поэтому далее указанное различие в схемах взаимодействия об­ шивки и ребер не обсуждается.

§ 2. Полная энергия системы

Рассматривается цилиндрическая панель, усиленная ортогональ­ ной системой ребер, подверженная действию произвольной поверх­ ностной и краевой нагрузки.

Потенциальная энергия упругой деформации обшивки записы­ вается в форме, предложенной В. В. Новожиловым [126]:

а потенциальная энергия упругой деформации /-го шпангоута

1 Использованная здесь форма представления потенциальной энергии уп­ ругой деформации продольных и кольцевых ребер принята в соответствии с предположением о том, что поперечные сечения ребер симметричны относи­ тельной осей, перпендикулярных их осям и проходящих через центр тяжести сечения параллельно оси г.

16

Fcc, hei, hjet, / Кр.сі—площадь и моменты инерции поперечного се­ чения t'-го стрингера соответственно относительно оси г и оси,

стрингера; 7ГШ/-, / zmy, /дш/, / кр.шу— площадь и моменты инерции попе­ речного сечения /-го шпангоута соответственно относительно оси z и оси, параллельной оси х, проходящей через центр тяжести попе­ речного сечения, а также его момент инерции при кручении;■Emj, Gm;—модуль упругости и модуль сдвига материала /-го шпангоута.

Работа, выполняемая при деформировании оболочки внешними поверхностными и краевыми нагрузками, приложенными к обшивке, представляется в виде

А =■■I j (qji + q v + qzw) dxdy + j' (7> + S {v + Q{w +

а работа, выполняемая внешними краевыми нагрузками, прило­ женными соответственно к і-му стрингеру и /-му шпангоуту, в виде

цам обшивки; Т2, S2, Qa, G2— нагрузки, приложенные к ее прямо­ линейным торцам; Tci, S Ci, GCI-, Мкр. Qci— нагрузки, приложенные к торцам t-го стрингера; 5Ш/, Тші, Qmj, Gm/—нагрузки, приложен­

ные к торцам /-го шпангоута.

Здесь предполагается, что к ребрам приложены только краевые нагрузки. Нагрузки, распределенные вдоль осей ребер, могут быть учтены формулой (1 .10) и поэтому далее нигде не рассматри­ ваются.

Полная энергия системы равна разности сумм потенциальных энергий упругих деформаций обшивки и ребер и сумм работ внеш-

2—39

них сил, приложенных к обшивке и ребрам:

Здесь k — число стрингеров; kx <— число шпангоутов.

§ 3. Вывод уравнений равновесия

иестественных граничных условий

Всоответствии с принципом возможных перемещений принимаем, что система будет находиться в равновесии, если

Учитывая, что операции варьирования и дифференцирования пере­ становочны, а также, что из (1.1) и (1 .2 ) вытекает не только связь между перемещениями обшивки и ребер, но и связь между их ва­ риациями, интегрируя (1.14) по частям, после замены переменных приходим к следующему вариационному уравнению:

Ѳі

j j {[£, («, И, w) + r2qx]би + [L2 (и, V, w) + r2qy]So +

(1.15)

В уравнении (1.15) приняты следующие обозначения1:

1 В соотношениях (1.24) отброшены величины порядка — и -2L до сравне­

нию с единицей (см. [36]).

18