книги из ГПНТБ / Амиро И.Я. Ребристые цилиндрические оболочки

В соответствии с принятыми выше предположениями вместо уравнения (11.87) будем рассматривать систему уравнений:

Численное решение системы (11.89), (11.90) в принципе может быть найдено всегда. Необходимо лишь выбрать п3так, чтобы корни системы уравнений (11.89), (11.90) были близки к корням исход­ ного уравнения (11.87).

Предположим, что жесткость ребер на растяжение (ус и бс) не оказывает существенного влияния на искомую величину п3. Тогда для выбора п3 можно использовать следующую систему неравенств:

уравнение которой имеет восемь корней.

Условия (11.91) и (11.92) получены в результате сравнения урав­ нения (11.87) с уравнениями (11.89) и (11.90). При этом уравнения (П.87) и (11.89) сравнивались непосредственно, а для сравнения с уравнениями системы (II. 90) уравнение (11.87) было представлено в виде Ош+Тш = 0, где Тік— некоторая известная функция %. Параметр п3 предлагается определить так, чтобы условия (11.91), (11.92) удовлетворялись с заданной точностью.

Рассмотрим, каким образом изменится общее решение одно­ родной системы уравнений равновесия (11.86) и граничные усло­ вия (11.88) после замены уравнения (11.87) системой уравнений

60

V, w должны оставаться ограниченными при такой замене, пола-

61

Переход от уравнения (11.87) к системе (11.89), (11.90) позво­ ляет упростить граничные условия задачи (11.88). Осуществив

убедиться, что решение сформулированной в начале параграфа краевой задачи сводится к определению корней полиномов 8 п3 + 4 и 8-й степени и к решению систем линейных алгебраических урав­ нений 8п3 •+■ 4 или 8-го порядка.

Следует указать, что изложенный общий метод определения на­ пряженно-деформированного состояния ребристых оболочек в ка­ ждом конкретном случае может быть видоизменен. Так, например,

62

всегда можно найти такое значение /2, при котором

Если /2 > п3, то уравнения (11.90) можно записать в таком виде:

Все корни этого уравнения определяются элементарно (%Р[= ± Щ.

Соответствующие им состояния оболочки можно трактовать как сумму состояний бесконечно длинных тонких полос \ нагруженных по краям периодическими нагрузками. Подчеркнутые слагаемые в соотношениях (11.93) следует в этом случае представить в таком виде:

в формуле для и

щественно упростить уравнение (11.89). Действительно, в этом

ное влияние краев полос будет несущественным. В этом случае рассматрива­ емые состояния ребристой оболочки следует трактовать как сумму состояний бесконечно длинных тонких полуполос, нагруженных по краям периодически­ ми нагрузками.

63

удовлетворяются, если

(11.97)

Величина /( быстро убывает с возрастанием I и даже для оболочек, усиленных очень тонкими ребрами (b2[ k 1), становится пренебре­

Очевидно, что в этом случае неравенства (11.92) и (11.97) не выпол­ няются и формулы (11.93) и (11.96) не пригодны.

Если п3 < /3, а а2/г4п з> 1, то для вычисления больших корней уравнения (11.87) вместо (11.90) можно предложить такую систему уравнений Е

(р; = 5, 6, 7, 8), (/ = Яд -}- 1, П3-ф 2, . . .).

Уравнения (11.98) описывают растяжение и сдвиг неподкрепленной бесконечной полосы периодической нагрузкой, уравнения (11.99) — циклически симметричный изгиб бесконечной полосы, усиленной абсолютно жесткими ребрами. Для решения уравнения (11.99) предлагается использовать метод последовательных прибли­

жений. Поскольку при малых I для реальных оболочек ЬЧк~ 1, то аР[ не будут зависеть от характеристик обшивки и ребер. При­

нимается, что в нулевом приближении а ^ = 1. Последующие при­ ближения вычисляются по формуле

± (сг ± idi),

(11.100)

где т — номер приближения; і = У ■— 1 • Вычисления по формуле (11.100) выполнены для / = 2, 3, 4, 5.

Для этих значений I предложенный процесс приближений сходится достаточно быстро и при вычислении С[ и dt можно ограничиться первым приближением.

Результаты вычисления ct и Д (/ > 2) приведены в табл. 1. Сопоставляя значения сг и d2, найденные во втором приближении,1

1 Уравнения системы (11.99) выведены в предположении, что rjo ^ a 2.

64

с их значениями, полученными в первом приближении, нетрудно убедиться, что они отличаются несущественно. Очевидно, что при I > 2 первое и второе приближения будут отличаться еще меньше.

Необходимо отметить, что предложенный процесс последователь­ ных приближений приводит во втором приближении к противоре­ чию (корни уравнения с вещественными коэффициентами не явля­ ются комплексно сопряженными); однако поскольку первое и вто­ рое приближения различаются несущественно, то в дальнейшем всегда можно ограничиться первым приближением.

При 1 = 1 (/, = 1,577) не удается получить величины с; и d; по формуле (11.100), использовав небольшое число приближений. В связи с этим для вычисления корней уравнений (11.99) предла­ гается другой прием: корни этого уравнения при I = 1 отожде­ ствляются с минимальными корнями полинома, полученного из (11.99) путем пренебрежения в суммах по Іг слагаемыми с Іг > I' + + 2. При этом в полученных полиномах после приведения подобных членов сохраняются лишь свободные члены и слагаемые, содержа­ щие аРі во второй и в четвертой степени.

Для оценки погрешности, вносимой в расчет первым допуще­ нием, выполнены вычисления, в результате которых получено: при

Оценка второго допущения проведена путем сопоставления кор­ ней биквадратного уравнения и минимальных корней уравнения восьмой степени, полученного для I' = I. Последние определялись через корни биквадратного уравнения последовательными прибли­

данными, приведенными выше, нетрудно убедиться, что корни би­ квадратного уравнения близки к минимальным корням уравнения восьмой степени.

•В рассмотренном случае (l3 > п3, a2k4n43 1) для вычисления и и о можно использовать соотношения (11.93), в которых подчер­

В том случае, если используются формулы (11.96), соответствующие изменения вносятся и в граничные условия, причем условия (11.94) по-прежнему можно трактовать как точные. При использовании формул (II.101) условия (II.94), полученные с помощью предель­ ного перехода (при / < /3), уже нельзя считать точными.

Следует отметить, что неравенство (II.95) для широкого класса оболочек, как правило, выполняется, начиная с / > 2. Поэтому, чтобы использовать полученные результаты при расчете этих обо­

пени. Все восемь корней этого уравнения предлагается вычислить из (II.99) с помощью способа, использованного выше при отыска­ нии корней уравнения (II.99) для 1 = 1 . Будем предполагать, что ус и 6Сне оказывают существенного влияния на величину больших

1 Нетрудно заметить, что при a2Ä4/4^» 1 (11.102) можно заменить системой (11.98), (11.99).

66

делить из уравнений (11.98), (11.99). Таким образом, для реальных оболочек из уравнения (11.89) необходимо определить 11 — 2 (5—■

— /4) минимальных существенно различных корней уравнения (11.87). Поскольку разыскиваются малые корни, то можно отказа­ ться от удовлетворения условия (11.91), а для определения корней воспользоваться методом последовательных приближений, опре­ деляя в каждом приближении корни полинома 8/га + 4 степени (11.89) для заданного п3. Этот способ вычисления корней проверен

пени определялись на ЭЦВМ непосредственно, минимальные корни

риваемых оболочек и семи минимальных корней для второй

Следует отметить, что предложенные способы вычисления кор­ ней характеристического уравнения^ 1.87) позволяют определить все корни характеристического уравнения с необходимой точностью. Постановка полученных корней в формулы (11.93) и граничные условия (11.94) позволяет в принципе получить решение любой за­ дачи о напряженно-деформированном состоянии ребристой обо­ лочки при современном уровне возможностей ЭЦВМ. Точность,

1 Использовалась подстановка У=х2.

68

достигнутая при реализации предложенного метода, определяется точностью нахождения корней уравнения (11.87) из приближенных уравнений (11.89), (11.90) или (11.89), (11.98), (11.99); ее всегда мож­ но' повысить, уточнив приближенные уравнения.

Отличный от изложенного метод определения напряженнодеформированного состояния ребристых оболочек предложен в [72].

69