книги из ГПНТБ / Амиро И.Я. Ребристые цилиндрические оболочки

напряженное состояние оболочки практически не зависит от Bsnt (0).

Формулы (11.118) можно получить и непосредственно из системы уравнений (II. 1), если последнюю упростить в соответствии с та­

2.Изменяемость uQ, v0, w0 в окружном направлении такая же, как изменяемость внешней нагрузки.

3.Деформации срединной поверхности оболочки, определяемые перемещениями и0, v0, w0, значительно больше соответствующих де­

формаций, определяемых перемещениями ult ѵъ wv

4. Касательные усилия взаимодействия отшивки и ребер распреде­ лены по ширине панели между ребрами равномерно, влияние дис­ кретного размещения ребер полностью определяется радиальными усилиями взаимодействия.

В соответствии с этими предположениями можно упростить и

Покажем, что предложенный выше приближенный метод позво­ ляет с достаточно высокой точностью определить напряженное со­ стояние ребристой оболочки. Сравнение с точным решением удобно выполнить на примере шарнирно опертой оболочки, нагруженной внешним давлением q. Поскольку точное решение этой задачи по­ лучено выше (§ 1 данной главы) в двойных тригонометрических рядах, приближенное решение также будем разыскивать в форме двойных тригонометрических рядов. Примем, что ус= бс = 0, тіс

а2. С учетом принятых допущений решение системы уравнений (IIЛ), упрощенной в соответствии с предположениями V—5, полу-

ч а е м в т а к о м в и д е *:

Формулы для определения усилий в обшивке записываются так:

Mx = vMy = — a k 2r2qG\.

ных этой таблицы следует, что приближенный метод позволяет определить напряженное состояние с достаточно высокой точно­ стью. Необходимо указать, что приведенный числовой пример сви­ детельствует лишь о той точности, с которой приближенное реше­ ние удовлетворяет уравнениям равновесия.

Рассмотрим граничные условия. Статические граничные условия после подстановки в них (11.118) и пренебрежения малыми слагае-

т—1

веденные ниже усилия не зависят от ^ в этом интервале. 2 Для этой оболочки неравенства (11.76) выполняются.

3В качестве «точного» решения использовались данные, полученные для

£= -|^. однако необходимо отметить, что слабая зависимость приведенных па­

раметров от I, полученная из приближенной теории, обнаружена и при табу­ ляции точного решения. Как в точном, так и в приближенном решении сумми­ ровался 41 член ряда но I.

82

Т а б л и ц а 11

1 Как нетрудно проверить, 5Ді(Ѳ) мало по сравнению с 7 я>и S„*.

_ 22"’

■~ Л 4“ '

Кинематические граничные условия можно получить, приравняв перемещения (11.116) и угол поворота к заданным. Очевидно, что трудности в решении задачи не исчерпываются выводом формул (11.116). Как нетрудно заметить, восемь или четыре (при ^ = 0 ; 1) произвольных постоянных в общем случае недостаточно для удо­ влетворения бесконечной системы граничных условий. В связи с этим необходимо ввести дополнительные физически оправданные предположения, позволяющие свести граничные условия к системе линейных алгебраических уравнений восьмого (% > 1) или че­ твертого (при пх= 0; 1) порядка. Рассмотрим два варианта пред­ положений,

84

1. В граничных условиях можно отбросить слагаемые, изменяе­

нагрузки, то этому варианту соответствует интегральное удовле­ творение граничных условий).

2. Граничные условия можно удовлетворять только на ребрах. Качественный анализ погрешностей, вносимых этими предпо­ ложениями, проведен на примере полубесконечной оболочки, на­ груженной циклически симметрично. Приведем выводы, получен­

ные в итоге указанного исследования.

Если на торце оболочки заданы усилия, то более близкие к точным значениям произвольных постоянных дает второй вариант предположений, причем, чем больше жесткость ребер и их число, тем ближе к точным значения произвольных постоянных, найден­ ных из приближенных граничных условий. При весьма большом числе ребер {аг& 1) первый вариант предположений также дает величины произвольных постоянных, достаточно близкие к точным.

Если на торце заданы перемещения, то второй вариант предпо­ ложений также приводит к значениям произвольных постоянных, более близким к точным, чем первый. Первый вариант предполо­ жений приводит к хорошим результатам при достаточно большом числе ребер.

Влияние погрешности, вносимой в расчет при приближенном удовлетворении граничных условий, проиллюстрируем числовыми примерами. Были рассмотрены шарнирно-опертые и жесткозащем­ ленные оболочки, подверженные действию внешнего давления.

рассмотренных задач был важен способ удовлетворения граничного условия относительно прогиба (неоднородное граничное условие). Вычисления выполнены для двух оболочек [ус=бс = 0, с = 0,1258; kt,2 = 9,6;ѵ = 0,3; Дс » 0; т)* = 240 (табл. 12) ит]* = 60 (табл. 13)]; усилия и прогибы определялись в среднем сечении оболочки. Ока­ залось, что при принятой величине с более близкие к точным1 значениям прогибов и усилий дает второй вариант предположений, В табл. 12 и 13 приведены данные, полученные на основе этого ва­ рианта предположений. Очевидно, что с увеличением с различие между числовыми данными, полученными для первого и второго вариантов предположений, будет уменьшаться.

Из сравнения данных табл. 11 и 12 следует, что для рассмотрен­ ных оболочек приближенное удовлетворение граничных условий не

1 В качестве точных значений усилий и прогибов для шарнирно-опертой оболочки принимались значения, полученные в результате табулирования двой­ ных тригонометрических рядов, для жесткозащемленной оболочки — одинар­ ных (см. § 3 этой главы).

85

ближенного решения, в знаменателе—полученные в результате табуляции точного решения.

вносит дополнительных существенных погрешностей в расчет. Сравнение данных, приведенных в табл. 12 и 13, показывает, что уменьшение жесткости ребер в четыре раза не привело к существен­ ному уменьшению точности приближенного расчета. Сравнение результатов точного и приближенного расчетов жесткозащемленной оболочки показывает, что и в этом случае получены достаточно близкие результаты. Однако здесь следует отметить, что точное ре­ шение в данном случае также будет приближенным, а его погреш­ ность такова, что учет отброшенных членов должен привести, на­ пример, к увеличению G* и Gf в точке Ѳ = 0.

Приведенные числовые примеры свидетельствуют о том, что описанный в этом параграфе упрощенный метод позволяет опре­ делить характеристики напряженно-деформированного состояния ребристой оболочки с достаточной точностью.

86

Изложенный упрощенный способ определения напряженно-деформирован­ ного состояния ребристых цилиндрических оболочек может быть легко обобщен на оболочки вращения, усиленные меридиональными ребрами.

Уравнения равновесия ребристой оболочки вращения в перемещениях можно вывести так же, как это сделано в главе 1 для цилиндрической оболочки, в связи с чем вывод уравнений равновесия не приводится.

Уравнения равновесия оболочек вращения, усиленных регулярной системой меридиональных ребер, подверженных действию циклически симметричных крае­ вых нагрузок, и естественные граничные условия получены с использованием сле­ дующих предположений: ребра размещены вдоль линий главных кривизн, торцы обшивки и ребер лежат в одной плоскости, координатные линии совпадают с ли­ ниями главных кривизн, срединная поверхность обшивки ограничена координат­ ными линиями.

Уравнения равновесия в перемещениях имеют вид

л

Т

л

~k

Здесь приняты такие обозначения: L1( Л2, L3— дифференциальные операторы уравнений равновесия неподкрепленных оболочек вращения в перемещениях [48];

a, ß — ортогональные криволинейные координаты точки на срединной поверхности обшивки; Аи А2, Ri, R2— коэффициенты первой квадратичной формы этой поверхности и ее главные радиусы кривизны: R* (R* > /г) — характерный раз­ мер обшивки;

87

Предполагается, что функция, описывающая распределение усилий взаимо­

В уравнениях (11.120), (11.121) приняты такие обозначения: Ти Si, Qi, üi — соответственно нормальное и обобщенное касательные усилия, обобщенная пере­ резывающая сила и изгибающий момент на торце неподкрепленной оболочки [48]:

торце ребра.

Предполагаем, что k достаточно велико и изменяемость напряженно-деформи­ рованного состояния в окружном направлении такова, что для расчета обшивки можно использовать уравнения «обобщенного краевого эффекта» [48], т. е. уравне­ ния, в которых отброшены слагаемые, пропорциональные /г2 в первом и втором и /г2«, №ѵ в третьем уравнениях равновесия (11.119). Соответствующие слагаемые отбрасываются и в статических граничных условиях (11.120).

88

Решение системы уравнений равновесия (11.119) будем искать в виде рядов

В результате подстановки (11.122) в (11.119) получаем однородную бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений.

По аналогии с соответствующей задачей теории конструктивно ортотропкых оболочек предполагаем, что изменяемость искомого напряженно-деформирован­ ного состояния в меридиональном направлении зависит от изгибной жесткости ре­ бер, и принимаем, что

где т|с = T]cé4. Подставив (11.123)— (11.125) в уравнения равновесия, собрав и приравняв нулю1 коэффициенты при т)* в одинаковых степенях, получаем после­

в указанную последовательность, можно записать в таком виде:

:6Ч£'5, |б'К1.

89

Для получения решений всех бесконечных систем, входящих в (11.126), до­ статочно знать решение системы нулевого приближения (s = 0), через которое можно выразить решения других систем.

Рассмотрим систему уравнений нулевого приближения подробнее. Опреде­ лив из второго уравнения (11.126) (s = 0) сумму по^ и подставив ее в пятое урав­ нение (11.126) (s = 0), получим

Далее, пользуясь (11.127), находим суммы по Іъ входящие в первое, второе, третье и пятое уравнения 1 (11.126) (s = 0). Подставив полученные суммы в пер­ вое и второе уравнение (11.126) (s = 0), получим систему 2 уравнений относи­

тельно ц° и Шц :

^ г и о + ^ < = °-

Решив эту систему, можно определить как ш°г из (11.127), так и о® из четвертого

уравнения системы (11.126). Таким образом, если получено решение системы (11.128), то можно найти решение задачи в делом для нулевого, а следовательно, и для последующих приближений.

1 Из четвертого уравнения (11.126) (s=0) следует, что ы?=0 при 1X^1. 2 Дифференциальные операторы Z-slt s2 (sA, s2= l ,2) здесь не приводятся.

90