книги из ГПНТБ / Амиро И.Я. Ребристые цилиндрические оболочки

Система уравнений типа (VI. 10) при сохранении в выражении

дена в табл. 30. Выбор определенных членов ряда здесь основан на результатах расчета, приведенных в параграфе 5 главы V, где было показано, что для рассматриваемой оболочки минимальное значе­ ние критических напряжений осевого сжатия соответствует вось­ мому частному случаю деформации при т = 50 и s = 27.

Из системы уравнений, приведенной в табл. 30, как частный случай может быть получена система для осевого сжатия оболочки (Рі = 0). Полагая равными нулю все параметры прогиба, кроме одного, и рассматривая отдельно каждое уравнение, соответствую­ щее этому не равному нулю Cs, получаем условия для определения критических напряжений осевого сжатия, отвечающих определен­

ной форме деформации, описываемой одним членом ряда s in ^ X

X S sin —. Так, при С21ф 0 имеем восьмой частный случай деформа-

s г

ции и р* =0,645; другие члены этого ряда описывают четвертый частный случай деформации (т = 50), для которого минимальное значение р* равно 1,29 : 1,10=1,17. Если сохранить одиннадцать удержанных членов ряда и приравнять определитель соответствую­ щей системы уравнений нулю, то уравнение для определения кри­ тических напряжений осевого сжатия будет иметь вид

(0, 645 — р") [(1,29 — 1, Юр*)2 — (0,644 — 0, Юр*)2] [(1,29 —

- 1,Юр*) (1,30— 1,Юр*) — (0, 6 4 4 - 0,Юр’)2][( 1,30— 1,10р*)( 1,31—

—1, Юр*) — (0 ,6 4 4 - 0 ,Юр*)2] [(1,31 — 1,10р‘) (1,32— 1,10p*) — —(0,644— 0,Юр*)2] [(1,32— 1,Юр*) (1,34— 1,10p*) —

Это уравнение можно удовлетворить, приравнивая нулю любой из сомножителей, заключенный в отдельную скобку. Условие ра­ венства нулю первого сомножителя, соответствующего удержанию одного члена ряда при т = 50 и s = 27, приведет к уже найденному значению критических напряжений для восьмого частного случая деформации. Рассмотрим сомножители, заключенные в квадратные скобки. Каждый из них соответствует аппроксимации прогиба дву­ членным выражением вида

173

Г Л А В А VI I

УСТОЙЧИВОСТЬ И НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ПРИ ОДНОВРЕМЕННОМ ДЕЙСТВИИ ОСЕВОГО СЖАТИЯ И ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ

Общая потеря устойчивости является одним из критериев, опре­ деляющих несущую способность ребристой цилиндрической обо­ лочки, подверженной действию осевой сжимающей силы и внутрен­ него давления. При рассмотрении упругой устойчивости такой оболочки предполагается, что критические напряжения не прево­ сходят предела пропорциональности материала конструкции. Есте­ ственное стремление к максимальному использованию работоспо­ собности материала связано с проектированием такого подкрепле­ ния оболочки, которое обеспечивало бы ее несущую способность по устойчивости не ниже, чем по прочности, и рассмотрением ра­ боты конструкции за пределом пропорциональности.

Здесь наряду с определением критической нагрузки, соответ­ ствующей потере устойчивости в пределах упругости, рассмотрим устойчивость ребристых цилиндрических оболочек за пределом уп­ ругости, а также приближенное определение продольной нагрузки, отвечающей пластическому состоянию обшивки и продольных ре­ бер оболочки.

§ 1. Потеря устойчивости в пределах упругости

Рассмотрим упругую устойчивость ребристой цилиндрической обо­ лочки, подверженной одновременному действию осевой нагрузки, осуществленной в виде равномерно распределенных по торцам сжи­ мающих напряжений р, и внутреннего давления q. Предполагая, что в докритическом состоянии оболочка находится в безмоментном напряженном состоянии, для случая шарнирного опирания торцов прогиб оболочки при потере устойчивости зададим в виде

Подставляя это выражение в уравнение совместности деформации (V.6) и решая его, для функции напряжений получаем выражение

отличающееся от соответствующей части (V.18), найденного ра­ нее в случае осевого сжатия, слагаемым, учитывающим наличие

в оболочке кольцевых растягивающих напряжений оу — —

При определении полной потенциальной энергии рассматривае­ мой системы выражение типа (V.15) нужно дополнить слагаемым, учитывающим работу поперечной нагрузки q. Проще всего это сде­ лать, учтя влияние кольцевых усилий на изгиб оболочки путем вве­ дения эквивалентной радиальной нагрузки, интенсивность которой определяется по такой формуле (см. [154], стр. 196):

(VII.3)

С учетом сказанного полная потенциальная энергия системы мо­ жет быть записана в таком виде ь.

где сохранены обозначения, принятые в главе V.

Переходя к ранее введенным безразмерным параметрам и до­ полнительно обозначая cf- = ^ 5-, имеем

+ 2а, (я2 — 1 іЧ ^ + 2ß ,тп2/г2огІт]—(1+ 2 y aIn)m2ri + <7* (n 2 — 1) j C\2+

1 Здесь предполагается, что продольные напряжения, приложенные в тор­ це к обшивке и стрингерам, одинаковы. Если принимать, что одинаковы про­ дольные укорочения обшивки и стрингеров, то напряжения в стрингерах сле­ дует выразить через напряжения в обшивке и величину внутреннего давления

qr

с помощью зависимости Рс=Ро+ѵ~^~.

178

для критических напряжений. Как и для осевого сжатия без вну­ треннего давления, следует рассмотреть девять (один общий и во­ семь частных) случаев деформации оболочки при потере устойчи­ вости. Полагая величину внутреннего давления заданной, для без­ размерного параметра продольных критических напряжений полу­ чаем формулу

в которой X, Ф, S и Si в зависимости от случая деформации опреде­ ляются по табл. 25, а под и понимается п или s в соответствии с тем, каким слагаемым из выражения (VII. 1) описывается форма выпу­ чивания в рассматриваемом случае деформации. Следует указать, что для осесимметричной формы выпучивания 1 критические про­ дольные напряжения в принятой постановке задачи не зависят от величины внутреннего давления и определяются по формуле (V.47).

Продольную сжимающую силу, действующую на торец оболоч­ ки, с учетом давления q на днище будем определять по формуле

где р0 и рс — продольные напряжения в оболочке и стрингерах; FQ = 2 nrh — площадь поперечного сечения оболочки без ребер.

Подставляя в (VII.7) вместо р0 и рс критические напряжения рКр= f\Et и заменяя т| выражением (VI 1.6), находим величину кри­ тической осевой силы, отвечающей упругой потере устойчивости ребристой цилиндрической оболочки:

При заданной величине внутреннего давления q определение безразмерного параметра критических напряжений (VII.6) или осевой критической силы (VII.8) сводится к отысканию такого соче­

1 При рассмотрении этой формы деформации примененный прием опре­ деления работы поперечной нагрузки становится непригодным.

тания параметров волнообразования, которому соответствует на­ именьшее значение определяемой величины.

Согласно (VI 1.7) величина Ркр определена как суммарная сила, уравновешивающаяся напряжениями в оболочке, продольных реб­ рах и давлением, передающимся на днища оболочки. Для крити­ ческой силы, передающейся на поперечное сечение ребристой ци­ линдрической оболочки, формула (VII. 8) имеет вид

Из формул (VII.8) и (VII.8a) непосредственно видно, что с уве­ личением внутреннего давления критическая осевая нагрузка воз­ растает. Для каждой конкретной формы выпучивания (при фикси­ рованных параметрах волнообразования) это возрастание идет по линейному закону, однако с увеличением q характер волнообразо­ вания при потере устойчивости изменяется и общий график зави­ симости РКр от q представляется ломаной линией.

§ 2. Потеря устойчивости за пределом упругости

Рассмотрим оболочку, усиленную регулярной системой продоль­ ных ребер, подверженную одновременному действию осевых сжи­ мающих сил и внутреннего давления. Примем, что до потери устой­ чивости оболочка находится в однородном безмоментном напря­ женном состоянии, что потеря устойчивости происходит при актив­ ной деформации и что материал обшивки несжимаем.

При выводе расчетных формул для критических напряжений в ребристой оболочке, теряющей устойчивость за пределом упругости, используется методика, развитая применительно к неподкрепленньм оболочкам в работах [58, 59]. На конструктивно ортотропные цилиндрические оболочки она обобщена в работе [92]. Поскольку в рамках указанной методики построение расчетных формул вы­ полняется формально так же, как для соответствующей упругой оболочки, то их вывод здесь не приводится. Выбрав приближенное выражение для w в виде (VII.1) и приняв ср в виде (VII.2), получим следующую приближенную формулу для вычисления критических напряжений:

180

Р

2nrh

Т а б л и ц а 33

но нужно положить А*=0.

181

Как известно [59], при потере устойчивости оболочек за преде­ лом упругости в большинстве случаев реализуется осесимметрич­ ная форма потери устойчивости. Формула для вычисления крити­

большое число продольных волн (т-^>1), с учетом жесткости ре­ бер_на растяжение и их эксцентриситета имеет такой вид [19]:

hc— эксцентриситет ребра (Л. > 0 для оболочек, усиленных реб­ рами, размещенными на внутренней поверхности обшивки).

§ 3. Предельное напряженное состояние

Теоретические и экспериментальные исследования показывают, что для оболочек из наиболее распространенных материалов, когда потеря устойчивости происходит за пределом упругости, критиче­ ские напряжения практически мало отличаются от предела теку­ чести материала ат (или условного предела текучести ст0.2)- В этих случаях несущая способность оболочек, нагруженных осевой сжи­ мающей силой и внутренним давлением, может быть оценена на основе приближенного определения предельной нагрузки, отвечаю­ щей пластическому состоянию обшивки и продольных ребер обо­ лочки.

Описывая деформации материала конструкции идеализирован­ ной диаграммой без упрочнения, предельную осевую силу можно определить на основании таких соображений. Для обшивки, нахо­ дящейся в двухосном напряженном состоянии, предельные про­ дольные напряжения в соответствии с гипотезой максимальных касательных напряжений (условия текучести Сен-Венана) прини­ маются

(VII. 12)

где от — предел текучести материала оболочки. Для стрингеров в качестве предельных напряжений в случае, когда обшивка нахо­ дится в пластическом состоянии, принимаются либо критические напряжения упругой потери устойчивости of<p, определяемые из

рассмотрения продольного ребра как стержня со свободной длиной,

182

равной расстоянию между шпангоутами, либо (если сг£р> от) пре­ дел текучести материала сгт.

Подставляя в (VII.7) рй = сгт — у и Рс = а£р, получаем для

предельной осевой силы, отвечающей пластическому состоянию стенки и упругой потере устойчивости стрингеров, такую формулу:

Максимальное значение предельной осевой силы, соответствующее пластическому состоянию как обшивки, так и продольных ребер (о£р> сгт), определяется формулой

Формулы (VII.13) и (VII.14) определяют величины предельных осевых сил, уравновешиваемых напряжениями в оболочке и давле­ нием на днища. Предельные осевые силы, воспринимаемые соб­ ственно ребристой цилиндрической оболочкой, определяются сле­ дующими выражениями:

Из формул (VII.13) и (VII.14) видно, что с увеличением внутреннего давления предельная осевая сила уменьшается по линейному закону.

Заметим, что приведенные формулы для Рпр становятся непри­ годными, если сжимающая осевая сила меньше силы Р = nr2q, уравновешивающейся внутренним давлением на днище оболочки.

§ 4. Влияние внутреннего давления на несущую способность

В зависимости от величины внутреннего давления несущая способ­ ность ребристой цилиндрической оболочки, подверженной осевому сжатию, может определяться как потерей упругой устойчивости, так и предельным напряженным состоянием х. Ломаную линию, образованную отрезками прямых Р (q), определяемых уравнениями (VII.8) и (VII. 14) и имеющих для данных абсцисс q наименьшие ординаты Р, можно рассматривать как график, характеризующий зависимость осевой силы, приводящей к исчерпанию несущей спо­ собности оболочки, от величины внутреннего давления как в пре­ делах, так и за пределом упругости.

1 Предполагается, что работа материала описывается идеализированной диаграммой без упрочнения.

183