книги из ГПНТБ / Амиро И.Я. Ребристые цилиндрические оболочки

71

72

= 5 предложенный метод позволяет определить напряженное состояние оболочки с достаточной точностью.

Рассмотрим результаты вычислений, представленные в табл. 6—9. Поскольку прогиб на ребре для первой оболочки (табл. 6) оказался близким к нулю, данные, приведенные в табл. 6, 7, можно интерпретировать как относящиеся к панели, жестко защемленной на ребрах. Влияние ребер на окружные усилия и продольные пере­ мещения в средней части оболочки оказалось несущественным [как и для шарнирно опертой оболочки (см. § 2 главы IV)]. В продоль­ ных сечениях оболочки напряжения от изгибающих моментов ауНЗ близки по величине напряжениям от нормальных усилий ст^ц (при 1 = 0,53 I Оунз I « 0,71|сг;/ц| ), что свидетельствует о существенном влиянии ребер на напряженное состояние оболочки. Напряжения в поперечных сечениях существенно меньше напряжений в про­ дольных сечениях ( | сг„ц| > | a AU,|, jсгумз | > | о А-п з1). Аналогичные выводы можно сделать и из анализа данных, полученных для второй обо­ лочки (табл. 8, 9). Так как длина и жесткость обшивки второй обо­ лочки больше длины и жесткости обшивки первой оболочки, влия­ ние условий закрепления на усилия в продольных сечениях ока­ залось более существенным.

Изложенный метод может быть применен и для определения на­ пряженно-деформированного состояния оболочек, подверженных действию произвольных самоуравновешенных краевых нагрузок. Рассмотрим состояния 1 продольно подкрепленной оболочки, воз­ никающие под действием указанных нагрузок:

1) циклически антисимметричные с изменяемостью в окружном направлении = 0;

2) циклически симметричные с изменяемостью в окружном Ha­ правлении пг — ft ;

3) циклически антисимметричные с изменяемостью в окружном

направлении пг = ft

4) состояния с изменяемостью в окружном направлении 0 <

,. f t

<пі < -2 •

1 Очевидно, что состояние 2 и 3 возможны только при ft четном.

73

Общее решение однородной системы уравнений равновесия для наиболее важного состояния (состояние 4), полученное в предполо­ жении, что ребра работают только на изгиб в радиальной плоскости

Пі = 1 s — \

+DnOo' [(Msn - Kn АГ) bn cos Л0]},

из которого может быть найдено л3.

74

При а2№п\ 1 уравнение (11.108), как указывалось выше, рас­

падается на два уравнения четвертой степени. Тогда общее решение однородной системы уравнений равновесия записывается формаль­

X cos nx0 (cos IkQ cos /гх0) в формуле для v, на cos IkQ cos n-fi (sin IkQ x

1\ФІ (/а- ф а

Нетрудно заметить, что левая часть (11.112) меньше левой части • (11.97), откуда следует, что неравенство (11.112) наверняка выпол­ няется при / = І3 > 5. Таким образом, выбрав n3 = l3, мы всегда можем определить большие корни уравнения (11.107) из (11.108). Очевидно, что при а2/г4/4 » 1 и в случае, когда п3<13, для опре­ деления больших корней можно пользоваться табл. 1. Если же неравенство (11.112) не выполняется, то для определения больших корней можно использовать метод последовательных приближений, представив уравнение (11.107) в форме (11.102).

75

Малые корни характеристического уравнения определяются, вообще говоря, только в результате решения уравнения (11.107). Поскольку вычисление этих корней формально может быть выпол­ нено так же, как при циклически симметричных нагрузках, нет необходимости в подробном изложении способа их вычисления.

Покажем, что рассматриваемое состояние ребристой оболочки представимо в виде суммы двух более простых состояний. Из ана­ лиза характеристического уравнения, приведенного в предыдущем параграфе, следует, что при выполнении системы неравенств (11.76) характеристическое уравнение имеет восемь малых корней (при ях > 1). Это уравнение оказалось совпадающим по форме с харак­ теристическим уравнением для конструктивно ортотропной обо­ лочки [73]. Последнее при 'йся'} 1 распадается на два уравнения

четвертой степени, одно из которых совпадает с характеристическим уравнением для простого краевого эффекта, а второе — с характе­ ристическим уравнением для полубезмоментного состояния. Под­ ставив корни второго из указанных уравнений в (11.76), нетрудно убедиться, что эти неравенства выполняются для весьма широкого

делить формулы для перемещений, совпадающие с соответствую­ щими формулами для полубезмоментного состояния конструктив­ но ортотропной оболочки. Указанные формулы можно привести к следующему виду х:

Ф?1(Хпcos яѲ) Ä ! cos ліѲф? (Хпcos яѲ) -f Хп, cos щѲ,

Ф?‘ (Хпsin яѲ) ÄS cos яіѲФ? (Xn sin яѲ) 4- Хп, sin «іѲ, Ф"1(Хпcos пѲ) ÄS — sin ЯіѲФ? (Хпsin яѲ) -)- Х п, cos ЯіѲ,

1 Как и в рамках полубезмоментной теории неподкрепленных оболочек [37], статические граничные условия формулируются только относительно ТІп и S ^ , а кинематические граничные условия — только относительно ип и ѵп ■

76

Фг' (Хп sin пѲ) ÄJ sin ліѲф? (Kn cos iiQ) + Kn, sin /гіѲ,

®°i(Yn) = Ф?(УП) - У 0,

то слагаемые формул (II. 106) для s > 4 с точностью до множителя перед Ф° совпадут с соответствующими формулами для оболочки,

ние ребристой оболочки распадается на полубезмоментное и цикли­ чески симметричное (простой краевой эффект) состояния, что дает возможность рекомендовать для определения напряженно-деформи­ рованных состояний с изменяемостью 0 < пг < п2 методы, разра­ ботанные выше применительно к циклически симметричному со­ стоянию, и полубезмоментную теорию конструктивно ортотропных оболочек [37].

Заметим, что при рассмотренном разделении напряженно-де­ формированного состояния на полубезмоментное и простой краевой эффект все слагаемые, описывающие влияние дискретного разме­ щения ребер, входят в формулы для простого краевого эффекта. Отсюда следует, в частности, что применимость теории конструк­ тивно ортотропных оболочек к определению полубезмоментного состояния определяется лишь условиями, при выполнении которых возможно выделение малых корней из характеристического урав­ нения (11.107) и указанные малые корни разделяются на корни,

ние 2).

Рассмотрим теперь состояния 1 и 3. Способ получения решения характеристического уравнения может остаться таким же, как выше; большие корни определяются для состояний 1 и 3 соответ­

остальные корни определяются из исходного характеристического уравнения последовательными приближениями.

Наиболее интересен с практической точки зрения случай, когда жесткости ребер на изгиб в касательной плоскости и кручение малы. Тогда, полагая Ä,ic = ^2с = ^зс = р.с = 0, находим, что харак­ теристические уравнения для состояний 1 и 3 имеют элементар­ ные решения, совпадающие с решениями, определяемыми из урав­ нений (11.114) и (11.115). В этом случае под действием циклически антисимметричных краевых нагрузок ребристые оболочки деформи­

77

руются так же, как и неподкрепленные оболочки под действием со­ ответствующих нагрузок. Определение их напряженно-деформи-

§ 4. Упрощенный метод определения напряженно-деформированного состояния

Будем исходить из того, что на некотором заранее известном рас­ стоянии от края продольно подкрепленной оболочки, подверженной действию самоуравновешенной краевой нагрузки, ее напряженно­ деформированное состояние полностью описывается малыми кор­

из условий, определяющих область применимости характеристи­ ческих уравнений (11.77) и (11.82). Действительно, поскольку ма­ лые корни характеристического уравнения определяются из урав­ нения четвертой или восьмой степени, то Должны существовать дру­ гие корни этих уравнений, удовлетворяющие неравенству |x|2mm>k2. Наименьшими из них будут корни порядка k. Считая, что эти корни — вещественные числа, находим, что максимальное расстояние,

при удалении на которое от края оболочки влияние больших кор- 2 г

ней характеристического уравнения будет существенным, L*

Следовательно, предложенные ниже формулы пригодны для L —

■— L* > X > L*.

Формулы для определения перемещений получаем из (11.48), упростив эти соотношения в соответствии с предположениями, принятыми при выводе уравнения (11.82), и отбросив состояния, определяемые большими корнями характеристического уравнения. При их выводе, как и при выводе уравнения (11.82), предполагаем, что жесткость ребер на изгиб в плоскости, касательной к средин­ ной поверхности обшивки (А.|С, Я,2с, А,3с), и жесткость ребер на кру­ чение (|і,с) не оказывают существенного влияния на напряженно­ деформированное состояние оболочки при пх > 0. Общее решение однородной системы уравнений равновесия для оболочки, подвер­ женной действию нагрузки, изменяемость которой в окружном

1 Циклические антисимметричные состояния 1 и 3 (см. стр. 73) не рассма­ триваются, так как характеристические уравнения, описывающие эти состоя­ ния, как правило, не имеют малых корней (см. § 2 этой главы).

78

направлении равна пх (щ > 0), если сохранить в нем слагаемые, зависящие от малых ненулевых корней характеристического урав­ нения (11.82), записывается в таком виде:

8—46'

£ ^ { С 'Ф " ‘ [ ( С - Д Г ^ ) ^ с о з п Ѳ ] +

S=1

знаку в левых частях этих формул.

79

Анализируя (11.116), нетрудно убедиться, что за исключением одного слагаемого в формуле для wn, и одного слагаемого в формуле для ѵп, все остальные слагаемые, содержащие к, малы и могут быть отброшены. После пренебрежения малыми величинами выражения для перемещений принимают такой вид:

в деформации у , х , %ху в качестве пренебрежимо малой поп­

равки. Деформации ех и кх от Bsn (Ѳ) не зависят. Таким образом,

80