книги из ГПНТБ / Амиро И.Я. Ребристые цилиндрические оболочки

a t n =

= — « I 1 + ( 2 — V) а Ч т +

(II.8)

^ = l + ^ ( n 3 + d2m)2.

^ V0^>

C2m ■ öcd^,

C3m = (Я.1о^

+ P-c) d2m,

(II.9)

^ 4m ~~ (\a^m

9C) ^m’

^5m

Ч ^ т’ ^ 6m

^За^т ”1" ^c) ^,-

8 i j

= 0 при І ф

j ,

6« =

1

Ѳ»

д„

fc* “

~ è r j

f o (Ѳ) cos п Ш

ѳо

с

’

“2Г

-ѳ.

Далее вместо q ^ ,

q ^ , q"m вводим

2b

I „

2я

2я

=

i + 60n

' 7Г X

COS -Т— /и

cos- л,г X

R

П,=0

1= 1

С *

= C ,

-

2

«in ~

ni

£

bni sin - I 1

V X

/=1

n,=l

X

(C3m^ ; m +

c ^ a » » j ,

(II. 10)

о11

== qn

2^_

1 \~ч

2я

. г"і

*

2я

“2.ru n

“Z rt/3

Г Т З Г ’ т

S

cos —

т

2

ь«. С05- / Г ” іг х

i=l

л ,= 0

X (С 5тК \ т

-

C 2mU" J

2/гЬ

2

Sin -X - га' 2

2я

C6mni < ; j

-

К

Sin'"T” П>1’ (C4m<m +

І=0

71,= 1

После подстановки (II 10) в (II.7) получаем

а11 и11

+

а12 и11

-4-ß13tß11

=

о11 ,

пт

пт

*

лтп

пт

1

пт

пт

^хпт*

с21 и 11

+

ß22 ß11

+

ß23 ffil11

=

ß11 ,

(II. 11)

л ш nm *

я т

n m 1

n m n m

~ y n m 9

ß31 ß11

4-

ß32 ß11

4- fl33 W n

=

fl11 .

nm

nm

1

nm nm

1

nm

nm

^znm

Считая

q1^

,

q1^

известными,

из

(И. 11) определяем

и и

_

/

Ö11

_К

о11

4 -£

о11

л/л

пт^хпт

ппП упт 1

nm^znm'

о11 = — К Qn

+ N

о11

— М

о11 ,

(11.12)

пт

упт/>хппг

і

пгп>упт

пт^гпт*

wu = &

qn — М

а11

4- F

о11

пт

тгРхпт

пт1упт

1

nnPznr.

Здесь

а22 а33 - І а 23)2

12

33

13 .23

иптипт

\ипт*

К пт

аптипт

“птгпт

L - n r n

D

D

о18 а23 -

а13 а 22

Л7

_

„ П

33

__( п

13 \2

/тr j оч

птгпт

“пт пт

“птО-пт

'

пт'

,

D

^ п т

Q

1.11.1 oj

М „т =

а11 а23 - а 13 а12

*

И

22

12 \2

“ птгпт

пт пт

=

*(апт'

D_

FT im

D

ünm = M Ä

+ 2 а « в « в й , -

а»

Ю

2 -

fl“

а д »

- С Ю 2-

(11.14)

У

Ъп и]} cos

k

n i,

У

bn u” sin

k

nxi,

(11.15)

ZJ

лі літ

1

/

1

nt ntm

1

/ 7 j—

0

«i=I

С О

C O

V

bnwlnl

k

1»

У

bn n.ou1-1 _ sin

k

n t,

(11.16)

ZU

ni nxm

/ 1

л,

1 nxm

1

^=0

помножив уравнения

системы

соответственно

на

1

ZJU .

оп

cos -j- tu,

оп sin -J- tu,

оп п sin-£-ш

и просуммировав их

так,

чтобы в

ных алгебраических уравнений

1

п, -г

2а„

COS

2тс

п,і У

bX„ cos n

2n

I = C_ (11.17)

(1

+

0

0Лі) k

k

1

n n

~

* » .+

C = I

n— 0

ф?1(у п) =

4

S cos

п т 1 £

r "cos п п

г (

п -І8)

г=і

л=о

Нетрудно заметить, что Ф"1^ )

обладает

такими

свойствами:

Ф?1+* (Yn) =

ФѴ~к(Yn) =

ФІ~п' <Уп) =

Ф?1 (Yn).

(II. 19)

Далее докажем,

что

ФГ‘ [Ф? (Zn') Yn] =

ФТ- (Уп) Ф?' (ZJ.

(11.20)

После суммирования

по і функция

Ф" 1 (Yn) принимает

сле­

дующий вид:

при п1 = sk

Ф

Г - ( Г П ) =

2

^ Y lh,

(

.

)

11 2 1

при Л х Ф sk

1=0

со

ФІ" (^>

= Е

Y ik+nt +

S

Y lk_ nt +

V

Y

(11.2 2 )

L

1 n,-tk-

1=1

о *

+

s

ф г ,а(

^ )

^

=

ф ; ‘(2 „ .)х

X

V

+

Е

* Ѵ „ +

£

к Лі_ ІА

= ф ;ч г л)ф ? (Y a).

(11.23)

1=1

‘< *

1

Решение

системы

уравнений

(11.17)

при nt= sk (s = 0,

1, 2, ...)

ранее

было получено Ю. А. Шиманским [172], а

при

произвольном

значении п\ —

Н. И. Карповым [101].

Представим

(И. 17) в виде

«

Х" . +

Т

+

^

К

(W

= ч. (п, =

0,

1, 2 ,...) .

(11.24)

Умножим левую

и правую

части

(11.24)

на

Ъщ,

а затем

в левых

частях (11.24)

образуем

суммы Ф”' (ЬпХ п):

(w

+ ф

? [

"7"on

ф; ( ь

, . х

, , )

-

а д -

(11.25)

Согласно (11.20)

Ф" 1

У »

ab

(11.26)

= Ф? [ -T t$ -)< W (b n X n )

1

'

U07l

'

1

On

'

После подстановки (11.26) в (11.25) находим

?1

ФпХ п)

фТ Ѵ>псп>

(11.27)

Ф

1 + Ф7> (-

п-П .)

а затем из

(11.24)

‘ U + eo J

Х„

= с

П

1 + вп

а п Ь

п

(11.28)

fit

1 I

фЛ, /

\

"On

+ÖoJ

Рассмотрим

далее бесконечную систему

V

I

о

*

•

2 л .

то

ѵ

.

2 л

^ п .

m = cn<.

(11.29)

ХЛі +

- f -

2] sin —

щі 2] bnX n sm —

i= 1

n—1

Решение системы

(11.29)

разыскивается

также

описанным выше

способом. Отличие в ходе решения связано лишь с

тем, что

здесь вместо функций Ф?' (Yn)

вводятся функции1

к

со

ф ? (Yn) =

I 2

sin

n j

£

Y n sin

ni,

(11.30)

i=l

n=l

1 При n1 — sk ® 5‘( T n ) =

0 ,

при

пх Ф sk Ф£‘(УП) =

£

Y ik+th '

i= 1

- S ^ - n , +

£ y^-ik.

Пі

К Пі

1<T

3—39

33

обладающие

такими свойствами:

Ф?+* (У„) =

(K J =

-

Ф * ~ (KJ = Ф?1(Кп),

(Н.31)

и доказывается равенство

ф ? [Ф2 (£.') кп] =

ф?1(ZJ ф?‘ (Кп).

(11.32)

Решение системы (11.29)

записывается в виде

X. =

с

1 +

Ф?1(Ьпоп)

(II.33)

~Лі

Система

(11.11) решается

таким

же способом, как и

системы

же равенства

Ф?1[Ф\{Zn.) Y J =

Ф5« (Zn) ф ;> (к„),

(11.34)

Фз' [ф? (Х„<) К„] =

ф?- ( Z J ф ? (К„),

(11.35)

V«

(Ѳ) =

т

1 + 2 Л bn cosrl(0 ------J-i'

riss I

Л*

= I ’ V

<Ѳ> =

T

2

^=0

rii==0

¥ с (Ѳ) = £

(Ѳ) = 1 + 2 £ bn cos nkQ.

(11.37)

i=l

n=l

,k,

~

о П»

г „

/ b cos пѲ I , Ь

cos пѲ \

+

Е ѵ а

(, чг«+(в)Ф-

(&„ sin [

(у^г-) <№

6

2

фр

г=і

214/ 7 1= 0

On

(11.38)

пѲ) Фг‘ (bn sin пѲ) .

С

. - < „ „ +

Iе ,A

' v > A

-

V’A 'J I -

-

!>A

»

(C*,® ? (»„ О

+

с .« ф ?

»

Л

)

+

(Л-43)

+

» А

, - (с и.ф? № л«>

-

с ^

‘ <(ѵ О

+

+ ", ( с , Л ( » „ О + c j w № „ < « )■

wllm=

n

[С,»ф Г (»X L > - с ы К (К «> 1п К . +

nxm

я,ти

+ » A . (с*»ф? (VüD + с,»ф? ("ьЛ і -

- » А

»

{ т т ѵ

іс « А ' «’. " О

-

CJ »‘- » A

i

+

Здесь

+ " , [с,„® ? ( » „ О

+ с« ® ;'

^nm O

^ n r r f l x n m

^ n i r f l y n m

’^’ n n f t z n m '

VLo =

~

-

MamCm’

И )П

g

o l l

д11

_|_

/Г

f lll

_

/2/тіО

nm 'xnm

run*упт 1

nrrPznm

В этом

виде система

(11.12) — не что

иное

как

усложненная

система

(11.17). К

форме,

аналогичной

(11.43),

приводятся

также

бесконечные системы относительно

12

v

\ 2

\ 2

■ /,21

y21

улі21 .

и™, ѵ1*

w™

\ ui1. v*‘ ,

wnm

Решения

всех

nm'1

nnvm'

nm'1

nm1'

nm1

nm

u22

v -22

w22

четырех

бесконечных систем

можно

пт1

пт

пт

виде:

~

записать

в компактном

и.s,s,

Ъ„

SjSj ml

п,т

<- о“' (“S» + т+Tfc- S O

’:

snxm

s=l

n,mO

1 +

6 ,

V QSlS'

T2

(11.44)

On,

S=1

tt)sis* =

jy5!*«

1 + 6

n,m

m n,niQ

Здесь

s = l

W S «S 2

=

4

------( 1

) S 1 ( 7 S 1 S«

Z ,

------

( -----

1

) SJ

O

S 1S 2

K .

n,m

-----

p

S l S ‘

%

n,m'

,

n,mO

/

“xn,m

n,m

v

'

4 yn,m

“zn,m

ySjSj

_

— /— l)si osis!

К

+

(—

1+

flsis2

Z/

+

Os'5> M 771’

= —(—l)sifl%s.

§

+

(— I)**

M

+ p V 2 f

n,m

,

л,/пО

'

/

^xnxm

ntm

1

'

'

“ ynxm

nxm

1

^гпхт

1

r p l

/ - »

r

_ _ _ _/ “>

<g

/7 п

2

___

/->

А Л

_ _ _ _

/ - »

T S

* іпгт

Ä

^ Іл і

л,/п

'“'гт®/!*/»*

J

1nxrn

^ 2m1Vlnxm

mr^nxm y

л ,т ~~

mSn,m

^ 2 л / л . т ’

“

ПІ^4т^л,лі

^ З л Д л ^ ’

•^2л,лі

^ 3 л Д л ,т

T lf ' i m

^ n l m '

^

Ч п . т

~

П1^4

щ т

^ Ъ

т

^ щ т '

'T 'l

__

P

<ß

___ P

T

rp 2

__

p

rs

___ /-*

Af

J 3n xm

'"'5 т ® л 1т

K~t 2 m J~t n i m 1

З п х т

2 m

^ n xm

'"'5m

n ^ m '

■^Зл.т ~

^бт^л.т

^ т ^ л ^ ’

^4л,т = П1^6т^я,т-

^4т^л,т>

7й _ Г Л /

__« Г М

Т 3

__ п Г F

__Г М

■' 4л,ш —

°4лГ

л ,т

'П ^блг л ,т ’

1 4л,т

—

“ і'-'блі

л ,т

°4 л і

л,*«'

Параметры ^ s*m определяются в результате решения

системы

уравнений четвертого

порядка1

где

+

О

=

а\ %

(®’

^

=

I-

2,

3, 4),

(11.45)

rtS<Sä

=

ф"!

(h us's* )

as*s*

=

фЛ>(Ь ѵ ч н )

“ іл ,т

t ,

\ и п и п т О > ’

и 2л,т

t , ' и п и п т О >

’

причем при sx = 1

<2 =

1* <3 = 2, а

при sx =

2 іг — 2, <3 = 1;

L1L = С,_Ф?‘У** I( -

L nm) -

С2тф?‘

1 +

б nro / '

' 1т

1 \ і

+ б„

“

ОЛ

/ 13

— Г

6s.

_

/

è2

Ф"1 _______

с 2тф?- (

Lr

л ,ЛІ

5лг

1

у 1 + б0л “’и™

V

1 и

С

=

-

С 4 т Ф

*

+

С6тФ^ (né*8,J,

=

-

C JD ?

+

С2тФ"‘ ( * X j ,

^

( é j f t j -

С4тФ?‘ («ÜX J .

=

С2„ДО W n J

-

C s A ' ( * X j .

C

=

-

C J D ? ( ^

X

j +

C J D ? {blNnm),

r i , ,

=

с ш®? ( п г ѵ : *”- )

~

с “ ф ;' ( X

F™ ) '

С

=

-

с 3„ ® ? ( »

X

j +

С1ШФ ?

(11.46)

1

При

s2 — 2

в

(11.46) вместо множителя

, ■ «

при b^Lnm, b2J~,mn

b2F

нужно

поставить

1 “г" uon

1, добавив этот множитель в b2„N

** 71771

*

И

п т

ш,п,т

w 5m

I \ I

к

nm

//

-

с , скп1

~п

nm // *

-I1- бOn

2 m 1

I4 1 4'- 6On

=

-

C^

' f

c

)

+ С6тФ"‘ (ЛЬХ J ,

C .

=

Cun®7 (nb%nm) -

c 2mФ"- {nb2nFnni),

С

=

-

Сз,пФ'/‘ M

X

. )

+ «

( ^ X

j -

С

=

С5тФ"‘ ( ^

„ J -

Cta<P? («*Xn).

L44 =

CK Ф?1(IIV F

) — С. Ф"1(nb2M ).

“ = Я ѵ

°=

E pv

w= Е “V

(IL47)

где

Г 2 , = 0

П | = 0

п х= 0

оо

“ л ,

=

Е [ Ц /А +Лі,0C 0 S

№

+ Я

, ) Ѳ +

« f Ä + n i . o

Sin ( I k

+ Л , ) Ѳ ] +

,= e 0n,

+ E

І

C0S +

n,) Ѳ +

«}f+ni.m sin (/A + П,) Ѳ] cos dJ ,

m =l г = о

°n, = E

E

Kl+-nI.msin(/ft + ni)0 + °llfni.mcosaft+ n^eisindj,

) 7 t =

l / = 0

O O

C O

+ ni)Ѳ+ W!k+ni,mSin №+ nl) Ѳ1Sin d,£'

wn, = S

E Кі+л,.»,C0S

m=1 /*=0

ИЛИ

E E

И 4 л „т с03 (lk + ni) 0 + “fA+rtl,msin (^ +

«i)0]sindJ,

m = I г=0

=

E

К + Лі.оsin (/é + лі)ѳ +

v!k+nt,оcos (** + ni) 0] +

і= 6 0л,+2вІл,

+ E S К+л,.*,ЗІП^ + Пі) Ѳ+

C0S

+

01C0SdJ>

m — \

1= 0

Wn, =

WO o

V +

2

l f f l U

1.OC O S ( l f e + n . ) 0 + f f l ! H n 1,OS i n ( i H ß

, ) 6 ] +

,-=б0л,+2б1л,

+ і

2

К

*+n„ m C0S ^

+

«.) Ѳ + Wf!+at,m Sin (lk +

ni) 01 C0S dJ>-

m — l 1 = 0

Представление частного

решения неоднородной

системы

урав­

что 0s»„ =

gls*

= qu-

= gls= = 0.

^ x n O

^ x n m

~ y n m

v zn m

и — Лх|

Л0 + [Сі + 2Сгі + 6 (2 -}- ѵ) Сз +

ЗСз£ ] cos Ѳ-J-

12С,

cos лѲ

+

1 з Н ( ? с - б с ) ф ! *

л2