книги из ГПНТБ / Амиро И.Я. Ребристые цилиндрические оболочки

-( 1 - v V

q ~ ~ w ~ q-

После подстановки (IV.2) в (IV. 1) получаем1

^ lk .m ~ q z0т {^Om^Oi 1 -j- Öq; ^ l b .m (A 2m^0m Д 3 т ^ 0 т ) "Ь

Анализируя общие члены рядов (IV. 1), представленные в виде (IV.3), можно сделать следующие общие выводы.

Соотношения Аш,т, Вш,т, Cik,m можно представить в виде суммы двух слагаемых, одно из которых описывает деформацию неподкрепленной оболочки под действием заданной нагрузки, второе ■— учи­ тывает влияние ребер на оболочку. Сходимость рядов по т, общие члены которых равны первым слагаемым указанных сумм, такаяlI1*

1 Д2 т, Аз™, Дчт определяются по формулам, приведенным на стр. 97, куда вместо dim нужно подставить d m.

Ill

же, как сходимость рядов, описывающих поведение неподкрепленной оболочки. Сходимость рядов по I (при заданном т), общие члены которых равны вторым слагаемым указанных сумм, такая же, как сходимость рядов по I, описывающих поведение неподкрепленной оболочки под действием периодической нагрузки, распределенной вдоль поверхности контакта обшивки и ребер; если ширина ребра

не равна нулю, то ряды для и сходятся при больших I как —t

ряды для V — как 1 , а ряды для w — как 1 ; при ширине ребра,

равной нулю, ряды для и, v, w сходятся соответственно как

, JJ-; ряды по I, определяющие нормальные усилия и изгибаю­

общие члены которых определяются вторыми слагаемыми указан­ ных выше сумм, сходятся не медленнее, чем соответствующие ряды для неподкрепленной оболочки, находящейся под действием перио­ дической в окружном направлении нагрузки; сходимость рядов, в которые раскладывается эта нагрузка по т, будет такой же, как сходимость рядов, составленных из A2m<g0m—A3mFem и Д4mF0m—

—A3mü0ro, а эти ряды сходятся не медленнее, чем ряды, описываю­ щие заданную нагрузку; следовательно, ряды по т сходятся не медленнее, чем сходятся ряды по т для неподкрепленной оболоч­ ки, нагруженной периодической в окружном направлении и посто­ янной в меридиональном направлении нагрузкой.

Таким образом, ряды, описывающие поведение ребристой обо­ лочки под действием внешнего давления, сходятся не медленнее, чем ряды, описывающие поведение неподкрепленной оболочки, на­ ходящейся под действием периодической в окружном направлении нагрузки; при этом нагрузку, приложенную к неподкрепленной оболочке, следует рассматривать как разность равномерно распре­ деленной нормальной нагрузки и полосовых нагрузок, распреде­ ленных по поверхности контакта обшивки и ребер. Поскольку ука­ занные ряды для неподкрепленной оболочки сходятся, то сходятся и соответствующие ряды для ребристой оболочки.

Вопрос о том, какое число членов ряда необходимо удержать для того, чтобы получить величины усилий, моментов и перемеще­ ний с необходимой точностью, не может быть решен однозначно. Так, число членов ряда по т может быть выбрано из физических соображений: с учетом точности, достигнутой при аппроксимации нагрузки тригонометрическим рядом. Число же членов ряда по I

будет зависеть от - и k. Чем больше у и /г, тем меньше то число

членов ряда, которое необходимо удержать для правильного опи­ сания поведения ребристой оболочки.•

112

Действительно, характер изменения напряженно-деформирован­ ного состояния в окружном направлении определяется скоростью

убывания е т' при удалении от ребра (Кі— вещественная часть корня характеристического уравнения для панели [48], заключен­ ной между соседними ребрами и подверженной действию нагрузки,

нагрузки, укладывающихся на единице длины оболочки. Чем больше расстояние между ребрами, тем быстрее будет изменяться напряженно-деформированное состояние при удалении от ребра и тем больше членов ряда по I нужно взять для того, чтобы достаточно полно описать состояние ребристой оболочки. Как нетрудно заме­ тить, указанное число членов ряда по I не зависит от жесткости ребер.

Рассмотрим теперь сходимость рядов по I на числовом примере. Будем исследовать сходимость рядов по /, ограничиваясь в решении (IV. 1) одним членом ряда по т {т = 1), и сопоставим результаты с данными, полученными при табулировании точного решения за­ дачи, представленного в виде одинарного тригонометрического ряда. Рассмотрим оболочку с такими параметрами: k — 8, ѵ = 0,3, ус=

= 6с = Лс = 4,6 а2Л 2 = 1, Дс = 0, у = 2gQ. Результаты вы­ числений амплитудных значений прогибов и изгибающих моментов

Анализируя данные табл. 17, можно сделать следующие вы­ воды.

При увеличении числа членов ряда по I решение, полученное в виде ряда, стремится к точному решению; для получения трех верных знаков при определении прогибов можно ограничиться пятью членами ряда по I (Zmax= 4), но уже два члена ряда по I вполне удовлетворительно описывают прогибы оболочки; для опре­ деления изгибающих моментов в поперечных сечениях обшивки

(Gl) с погрешностью до 10% необходимо удержать не менее девяти членов ряда по /; такую же погрешность при определении моментов

в продольных сечениях обшивки (Gl) можно получить, удерживая не менее 17 членов ряда; погрешность решения в рядах становится

Т а б л и ц а 17

погрешностей в изгибающих моментах в процентах для различного числа удерживаемых членов. В качестве точных заачений принима­ лись моменты, вычисленные при сохранении в двойном ряду десяти тысяч членов.

§ 2. Продольно подкрепленные оболочки

Распределение перемещений, усилий и моментов в обшивке опре­ делялось на примере двух оболочек, нагруженных внешним давле­ нием, имевших такие безразмерные параметры:

величины усилий N x и Ny в обшивке и усилий Л/с и моментов Мс в ребрах. В табл. 21 и на рис. 16— 19 приведены данные, иллюстриру-

116

В =П

Рис. 16.

Анализируя данные, приведенные в табл. 20, 21 и на рис. 12— 19, нетрудно заметить, что наиболее важные (с точки зрения ра­ счета) пиковые значения характеристик напряженно-деформиро- ванного состояния обшивки лежат в ее сечениях, проведенных че­ рез Ѳ' = 0 и Ѳ' = я. Можно выбрать также две характерные точки по меридиональной координате: одной из них обязательно должна

Необходимо отметить, что осевые перемещения в обшивке и нормальные усилия в ее продольных сечениях мало зависят от Ѳ, откуда следует, что влияние дискретного размещения ребер на их величину несущественно. Окружные перемещения, нормальные уси­ лия в поперечных сечениях и касательные усилия вдали от концов ребер малы, и поэтому их определение не является необходимым при изучении напряженно-деформированного состояния шарнирно опертой ребристой оболочки в целом.

119

Анализируя кривые, приведенные на рис. 16—19, нетрудно за­ метить, что V, до, Мх, Му в рассмотренном интервале изменения Ѳ— монотонные функции 1 Ѳ, при этом изгибающие моменты на ребре максимальны, прогибы на ребре минимальны. Однако по­ следний вывод не является общим. На рис. 20 приведены эпюры прогибов для оболочки с параметрами (IV.6). Нетрудно заметить, что в сечении £ = 0,5 прогиб обшивки на ребре больше прогиба

/fff'

обшивки между ребрами. Этот факт можно объяснить тем, что про­ гиб обшивки в достаточно длинной тонкой оболочке должен быть близким к прогибу бесконечно длинной оболочки, а прогиб в центре жесткого ребра может оказаться больше прогиба бесконечно длин­ ной оболочки. Эпюры изгибающих моментов Ми для первой (IV.5) и второй (IV.6) оболочек аналогичны (см. рис. 15 и 21).

Отметим, что данные табл. 20 и 21 и рис. 12 — 21 достаточно убедительно свидетельствуют о необходимости учета дискретного размещения ребер при определении напряженно-деформированного состояния подкрепленных оболочек.

Было изучено влияние параметров ребристой оболочки на про­ гибы до и изгибающие моменты в обшивке. Введение координат

безразмерные перемещения и усилия зависят только от шести па­ раметров (ѵ, с, т|*, 6*, ус. Q- На числовых примерах исследова­ лось влияние изменения параметров ребер (ц*, б*, ус) при фикси­

рованных значениях параметра с на перемещения, усилия и мо­ менты в обшивке оболочек различной длины.

Выполнено два варианта расчета. Целью первого было изучение влияния параметров бс и ус на величину безразмерных перемеще­ ний, усилий и моментов для оболочек различной длины.

1 Сглаженные вершины кривых для Мх и Му — следствие учета ширины

7L

ребер (напомним, что угловая ширина ребра в приведенном расчете —).

120

В результате вычислений оказалось, что величина параметра бё не оказывает существенного влияния на все характеристики напря­

женно-деформированного состояния, кроме и* и Т\. При увеличе­

нии 6Сот 0 до 10 они изменяются не более чем на 10% (для сравнения использовались максимальные по абсолютной величине значения безразмерных функций). При этом вблизи ребра указанное влияние более существенно (точки / и II), чем между ребрами (точки III

и IV).

Безразмерные функции, как правило, зависят от 5Смонотонно.

Так, с увеличением бё Т\ увеличивается, Gl уменьшается, ТІ на ребре (Ѳ' = 0) уменьшается, а между ребрами (Ѳ ' = я) увеличи­

вается и т. д. Влияние бс более существенно у края оболочки-

Т а б л и ц а 22

І2І