книги из ГПНТБ / Амиро И.Я. Ребристые цилиндрические оболочки

5 = 1

-Ф211(MSA?lS + лД Г П ) Ö„cos лѲ]} +

+Dsnt {Ф2"‘ [(Fl - Д№ n) bnsin лѲ] -

-Ф"1[(Ms„A2n‘s + лA%'sFSn) bn sin лѲ]>).

41

42

то нулевые корни характеристических уравнений возможны только при = 0 и пг = 1. Так как D0 и £>х имеют четырехкратные нуле­ вые корни, то все соответствующие нулевым корням элементарные решения можно описать, задав перемещения в таком виде:

s=0

4?

три однородные системы алгебраических уравнений, имеющие не­ тривиальное решение лишь в случае, если

+ (Co + + Сг£2 + Сз£3) sin Ѳ.

Частные решения (11.59) использованы выше (§ 1 гл. II) при построении общего решения однородной системы уравнений равно­ весия. Выясним теперь физический смысл элементарных состояний, описываемых частными решениями (11.59). Подставив (11.59) в

44

формулы для вычисления усилий и моментов в продольных сече­ ниях обшивки, найдем

Вычислив по формулам (1.32), (1.33) нормальные усилия и из­ гибающие моменты в поперечных сечениях обшивки и ребер, а также касательные усилия и крутящие моменты в обшивке, обнаруживаем, что указанные усилия и моменты не зависят от произвольных по­ стоянных Л0, В0, С'0, Сд, С'г С’. Таким образом, напряженное со­

стояние оболочки описывается произвольными постоянными Л1( Въ С', С3, С'2, Выбираем указанные произвольные постоянные

так, чтобы удовлетворялись граничные условия 1 (1.26). Рассмотрим каждое из состояний, определяемых этими постоянными.

В этом случае оболочка находится в состоянии одноосного растя­ жения — сжатия (изгибающие моменты в поперечных сечениях обшивки и ребер, касательные усилия и крутящие моменты в об­ шивке равны нулю).

Ч и с т о е к р у ч е н и е . Если подставить решение, опреде­ ляемое постоянной Въ в формулы (1.26), то последние будут удо­

В этом состоянии отсутствуют нормальные усилия, изгибающие моменты в поперечных сечениях обшивки и ребер, а также крутя­

к срединной поверхности обшивки, равна нулю (Я|С= Х.2о=Я зо=0). Не будем учитывать и последнее из граничных условий (1.26) МСі = 0 .

45

Максимальные напряжения от изгибающих моментов в обшивке

и ребрах соответственно порядка ^ по сравнению с напряже­

ниями от усилий, поэтому напряженное состояние ребристой обо­ лочки при чистом изгибе можно считать безмоментным. Касательные усилия и крутящие моменты в обшивке отсутствуют.

Под действием такой нагрузки в оболочке возникают усилия

(11.63)

46

Нетрудно проверить, что это состояние, как и предыдущее, безмо­

ментно.

Если учесть жесткость ребер на изгиб в плоскости, касательной к срединной поверхности обшивки, и потребовать удовлетворения граничного условия М сі= 0, то, как нетрудно показать, однород­

ные состояния типа (11.60) и (11.61) также имеют место. Состояния типа (11.62) и (11.63) в этом случае невозможны, поскольку для этих состояний нельзя подобрать С2, С'3 {С'2, С3) так, чтобы выпол­

нялось указанное граничное условие. Состояния типа (11.62), (II, 63) можно создать искусственно, если на торцах оболочки задать мо­ мент, изгибающий ребра в плоскости ху, подобрать соответствующим образом его величину, а также величины 5 СІ и М крсі и полностью

удовлетворить граничным условиям (1.26).

Перечисленные элементарные состояния описывают поведение оболочки под действием несамоуравновешенной (по торцу) краевой

нагрузки.

Напряженно-деформированное состояние ребристой оболочки, возникающее под действием самоуравновешенной краевой нагрузки, описывается экспоненциальными функциями, характер которых опре­ деляется ненулевыми корнями характеристических уравнений.

Рассмотрим характер изменения решений при удалении от за­ груженного края и определим протяженность зоны возмущений, вносимых в напряженное состояние оболочки самоуравновешенными

краевыми нагрузками.

Выше были построены характеристические уравнения трех ти­ пов: уравнения (11.50) и (11.51), корни которого описывают напря­ женно-деформированные состояния оболочек, нагруженных так, что пг = 0, и уравнения (11.49) («х = 1, 2, ..., п2), корни которого описывают другие возможные изменяемости напряженно-деформи­ рованного состояния оболочки. Из анализа указанных уравнений следует, что возможно не более n2-j-3 при /г-четном и п2 + 2 при /г-нечетном различных характеристических уравнений и соответ­ ствующих им наборов характеристических чисел, т. е. что воз­ можно не более /г2 + 3 (или соответственно п2+2) различных изме­ няемостей напряженно-деформированного состояния в меридио­

нальном направлении.

В дальнейшем состояния, определяемые уравнением (11.50), будем называть циклически симметричными, а состояния, опреде­ ляемые уравнениями (11.51), — циклически антисимметричными. Изучение характеристических уравнений начнем с уравнений, опре­ деляющих эти состояния х.1

1 Эти состояния возникают при нагружении оболочек соответственно ци­

клически симметричными или антисимметричными нагрузками с периодом цик-

2я

47

1 При выводе приведенных ниже формул в них отбрасывались слагаемые порядка а2 по сравнению с 1. Принималось k > \.

4 8 .

После подстановки (11.67) в (11.66) находим, что все коэффициен­ ты при £2 в этих выражениях положительны при любом п.

Далее определим знаки коэффициентов при £2 в выражениях, входящих в третье и пятое слагаемые уравнения (11.64). Рассмот­ рим третье слагаемое уравнения (11.64), учитывая, что

%&п = -jj—ФІФъз — ^22^?з) =

= -g - | — -Ц р - (п2 + ѵх2) + - Ц ^ п а [(2 — ѵ) X2 — /г2]] - (И-68)

После замены в (11.68) % на ± і£ числитель (11.68) принимает та­ кой вид:

X ф Ж з - М з ) = - Ц р £ кп - ѵ£2) + а £ 2 [(2 - ѵ) £2 + п] *± Ѵ .

(11.69)

Сопоставляя третье и второе слагаемые уравнения (II.64), за­ мечаем, что при бс > О (внутренние ребра) знаки коэффициентов

Лс « . , уравнения определяются его вторым слагаемым, если — Q < 1.

При hj - ? > 1 третье слагаемое уравнения (II.64) следует сравнить

с четвертым. Поскольку т]с = т)Г + -у бс(Пс = -§-у-)> из указан­

ного сравнения следует, что наличие отрицательного коэффициента в третьем слагаемом уравнения не может повлиять на знаки его коэффициентов при £2. Если бс < 0 (внешнее ребро), то при п — О все коэффициенты в числителе %èQ положительны. При п > О,

если у- п2 < 1, слагаемые, входящие в Ьп, будут иметь большие

положительные коэффициенты, чем слагаемые, входящие в %ѣп:

ПрИ \ — \п? > 1 коэффициенты при £2 слагаемых, входящих в

XÜn, будут меньше коэффициентов при тех же степенях £2 слагае­ мых, входящих в Fn. Таким образом, третье слагаемое в уравнении (11.64) не влияет на знаки коэффициентов при £2 в этом уравнении.

Обратимся теперь к последнему слагаемому уравнения (11.64). Очевидно, что ѵсг)с — б2 0. Необходимо выяснить знаки коэф­

фициентов выражения

(11.70)