книги из ГПНТБ / Амиро И.Я. Ребристые цилиндрические оболочки

-f 2ßolsm2s2 + 2a1a2m(s2 — l)2 + 2ßjöImttt2s2- - ( l + S y o ^ tn 2!! +

142

Для определения критического значения сжимающих напряже­ ний используем условия экстремума потенциальной энергии си­ стемы. Приравнивая нулю первые производные от Э* по безраз­ мерным параметрам прогиба С т о , С%п и С?т , получаем бесконечную систему однородных алгебраических уравнений, линейных отно­ сительно этих параметров:

143

Общая система уравнений (V.27) — (V.29) может быть пред­ ставлена в виде двух независимых систем. Одна из них (V.27) — (V.28), содержащая параметры прогиба С,по и С*и, описывает дефор­ мации, симметричные относительно проходящей через начало ко­ ординат продольной плоскости симметрии оболочки, а вторая (урав­ нения (V.29) с неизвестными CmS) ‘— деформации, обратно симме­ тричные относительно той же плоскости. Как уже указывалось, эти деформации могут рассматриваться независимо друг от друга.

Эти независимые системы, в свою очередь, распадаются на не­ зависимые группы уравнений, каждая из которых содержит в ка­ честве неизвестных только те параметры прогиба С*,п (или С?т), индексы которых связаны соотношениями, определяющими отлич­ ные от нуля значения сумм сг„, а3п, а.Іп, азт, и 04т .

Общий вид систем уравнений, отвечающих формам деформа­

sin — sin у , приведен в табл. 24. Бесконечные системы уравнений,

представленные в этой таблице, отличаются друг от друга индек­ сами m a s , которые принимают такие значения: т = 1,2, ...

.. . ,k v 2&, (для случая, когда расстояние от крайнего шпангоута до

= 2&, ± т, т2 = 4fe, ± т, . .. ; sI = k ± s, s2 = 2k ± s, . . . Аналогич­ но могут быть представлены уравнения, соответствующие аппрок­

симации прогиба рядом ^ ^TC^sin ^ cos -у-.

тп

Все эти системы уравнений однородны и могут быть удовлетво­ рены приравниванием параметров прогиба нулю, что соответст­ вует первоначальной круговой цилиндрической форме равновесия сжатой в осевом направлении оболочки. Выпученная форма равно­ весия становится возможной, если какая-либо из независимых си­ стем уравнений дает для Стп или C,*s решения, отличные от нуля; для этого необходимо, чтобы был равен нулю определитель соот-

144

ветствуюідей системы уравнений. Приравнивая нулю определители систем приведенного типа, можно получить уравнения для опре­ деления критического значения безразмерного параметра напряже­ ний т). Расчетным служит наименьшее из возможных значений.

Практически при вычислениях приходится ограничиваться ко­ нечным числом членов в соответствующих рядах, аппроксимирую­ щих прогиб оболочки при потере устойчивости. Точность получае­ мой таким образом расчетной величины критических напряжений может быть оценена путем сравнения значений, полученных в ре­ зультате решения систем, отвечающих различному числу удерживае­ мых членов ряда.

Форма выпучивания оболочки, отвечающая найденному кри­ тическому значению сжимающих напряжений, может быть вы­ ражена в виде ряда, содержащего один неопределенный параметр прогиба. Остальные параметры прогиба определяются через этот единственный параметр в результате решения системы уравнений, полученной из использованной при определении критического значения rj, путем подстановки в нее найденного т] и отбрасывания одного из уравнений.

§ 4. Приближенные формулы для критических напряжений

Непосредственное использование приведенных в предыдущем па­ раграфе систем уравнений для определения критических напряже­ ний осевого сжатия ребристой цилиндрической оболочки связано со значительными трудностями, обусловленными главным образом тем, что для полного решения задачи приходится рассматривать достаточно много систем уравнений. Их число зависит от числа

конкретной оболочки эти затруднения в принципе преодолимы, то решение задачи исследования влияния параметров подкрепления на величину критической нагрузки и подбора их оптимальных зна­ чений становится практически необозримым.

Здесь будут приведены формулы для критических напряжений, полученные при сохранении в рядах, аппроксимирующих прогиб, по одному члену. Конечно, критические напряжения, вычислен­ ные по таким формулам, будут иметь завышенные значения, по­ скольку аппроксимация прогиба в виде одного члена ряда связана с наложением дополнительных связей, препятствующих свобод­ ному деформированию рассматриваемой системы при потере устой­ чивости. Учет дискретного размещения ребер позволяет проанали­ зировать целый ряд возможных форм деформации, характерных для подкрепленных цилиндрических оболочек, и определить, ка­ кой из этих форм соответствуют наименьшие критические напря­ жения. Уточнение найденных по приближенным формулам крити­ ческих напряжений в каждом конкретном случае может быть осу­ ществлено на основе одной из общих систем уравнений, отвечающей этой форме деформации оболочки.

Рассмотрим характерные случаи деформации ребристой цилин­ дрической оболочки при потере устойчивости.

Общим случаем деформации ребристой цилиндрической обо­ лочки при потере устойчивости будем называть такую форму выпу­ чивания, при которой подкрепляющие оболочку ребра одновре­ менно изгибаются и закручиваются. Этот случай является той единственной формой деформации, которая может быть рассмо­ трена при сведении оболочки к конструктивно ортотропной, когда

146

жесткости ребер равномерно распределяются в соответствующих направлениях и на параметры волнообразования не налагаются ограничения, связанные с числом подкрепляющих оболочку ребер.

Сохраняя в (V.17) один член ряда, будем аппроксимировать прогиб ребристой цилиндрической оболочки в виде 1

При этом предполагается, что число полуволн в окружном направ­ лении не кратно числу стрингеров (2 п ф n*k), а в продольном на­

ческое значение безразмерного параметра сжимающих напряже­ ний т]о определяется из условия нетривиального решения уравнения (V.28) относительно единственного параметра прогиба С^п, т. е. из

ответствует деформации оболочки как стержня, без изгиба в коль­ цевом направлении), при которых т(0 будет наименьшим.

Введем коэффициент б = -^, характеризующий отношение раз­

меров вмятин (выпучин) в продольном и кольцевом направлениях. Тогда, пренебрегая единицей по сравнению с п2, параметр крити­ ческих напряжений можно записать в виде

m и б и определяя их из условия равенства нулю первых производ­ ных от т]о по ш и б, находим формулу для минимального значения т|0:

“(V.37)

іТот же результат получим при аппроксимации прогиба выражением

Соответствующие значения ш и б определяются из следующих со­ отношений:

2 /3 ( 1 — у2)

Очевидное условие, что m и б как параметры волнообразования должны быть действительными числами, определяет границы при­ менимости формулы (V.37).

Частными случаями деформации ребристой цилиндрической обо­ лочки при потере устойчивости будем называть такие формы выпу­ чивания, при которых все ребра одного направления (или обоих) либо только изгибаются, либо только закручиваются. Частных случаев деформации может быть восемь 1: 1) стрингеры только из­ гибаются; 2) стрингеры только закручиваются; 3) шпангоуты только изгибаются; 4) шпангоуты только закручиваются; 5) стрингеры только изгибаются, шпангоуты только закручиваются; 6) стрин­ геры только закручиваются, шпангоуты только изгибаются; 7) стрингеры и шпангоуты только изгибаются; 8) стрингеры и шпангоуты только закручиваются.

При аппроксимации прогиба оболочки одним членом ряда (V. 17) для каждого из этих случаев деформации на параметры волно­ образования накладываются определенные ограничения, связан­ ные с числом ребер соответствующего направления. Рассмотрим более подробно характерные из указанных частных случаев де­ формации.

1. С т р и н г е р ы т о л ь к о и з г и б а ю т с я . Аппрокси­ мируя, как и в общем случае деформации, прогиб ребристой ци­ линдрической оболочки в виде (V.34) и полагая, что число полу­ волн в окружном направлении кратно числу стрингеров (2 п —

=n*k), получаем форму выпучивания, при которой стрингеры только изгибаются (углы закручивания стрингеров Ѳ; =

=0); для числа полуволн в продольном направлении сохраняются условия общего случая деформации. Из условия атп = 0 для без­ размерного параметра критических напряжений найдем выражение

1 Впервые эти случаи деформации были рассмотрены в работе [5].

148

Для т и п подбираются такие целые числа, при которых % будет наименьшим.

Формы потери устойчивости, при которых стрингеры только из­ гибаются, в принципе могут быть и осесимметричными (п — 0). Воспользовавшись уравнением типа (V.27) и учтя, что при осесим­ метричном выпучивании оболочки отсутствует деформация изгиба шпангоутов в своей плоскости, из условия ато= 0 (С’тпф 0) находим

Для числа полуволн в продольном направлении нужно подобрать такое значение, при котором г|' будет иметь наименьшее значение.

и соответствующее ему минимальное значение параметра крити­ ческих напряжений

Это значение соответствует критическим напряжениям осесимме­ тричного выпучивания для ребристой цилиндрической оболочки,

шпангоуты не закручиваются, а только изгибаются (Q}-=^r~jX!=x =0).

149

Безразмерный параметр критических напряжений в этом случае определяется выражением

которой шпангоуты только закручиваются. Параметр критических напряжений в этом случае определяется по формуле

(V.46)

Формулы для параметров критических напряжений в осталь­ ных четырех частных случаях деформации могут быть получены как очевидные комбинации приведенных.

Общая формула для безразмерных параметров критических на­ пряжений, соответствующих всем указанным случаям деформации, имеет вид

(V.47)

Коэффициенты к, Ф, 5 и Si этого выражения определяются в зависимости от случая деформации по табл. 25, где нумерация ча­ стных случаев соответствует принятой выше, а номером со штрихом обозначены осесимметричные формы выпучивания *. Условия для чисел полуволн в продольном направлении определяются в зави­ симости от расстановки шпангоутов: а) расстояние от крайнего шпангоута до торца оболочки равно расстоянию между шпангоу­ тами (/„ = /ш); б) расстояние от крайнего шпангоута до торца обо­ лочки вдвое меньше расстояния между шпангоутами (2 10— /ш). Формы деформации, при которых шпангоуты только изгибаются, описываются одночленным выражением прогиба в виде (V.34) толь­ ко в случае 2 10 — Іш. Для оболочки, подкрепленной одним шпанго­ утом, расположенным посередине, возможны лишь такие формы деформации, при которых этот шпангоут либо только изгибается (т — 1 , 3 , 5 , . . . ) , либо только закручивается {т = 2, 4, 6, . . .); при этом величина k2 в формулах для безразмерного параметра кри­

вестное выражение безразмерного параметра критических напряже-

1 Поскольку при осесимметричном выпучивании оболочки отсутствует де­ формация изгиба шпангоутов, то случай 7' характеризуется тем, что шпанго­ уты и не закручиваются, и не изгибаются.

150

151