книги из ГПНТБ / Амиро И.Я. Ребристые цилиндрические оболочки

удовлетворяющем условиям шарнирного опирания оболочки на торцах г; ось х направлена вдоль образующей, ось у — вдоль на­ правляющей, прогиб w считается положительным в направлении к центру кривизны.

Уравнение совместности деформаций для цилиндрической обо­ лочки при решении задачи в нелинейной постановке имеет такой

где p •— среднее значение продольных сжимающих напряжений в торцевых сечениях оболочки.

Потенциальная энергия системы состоит из потенциальной энер­ гии деформации собственно оболочки, потенциальной энергии де­ формации ребер, подкрепляющих оболочку, и потенциальной энер­ гии нагрузки. Принимая, что связи оболочки с ребрами обеспечи­ вают равенство прогибов и углов закручивания ребер соответствую­ щим перемещениям точек срединной поверхности оболочки и не налагают ограничений на продольные деформации, и поступая ана­ логично тому, как это было сделано в главе V, находим следующее

(см., например, [43]), определяемое из условия однозначности перемещений в кольцевом направлении. Поскольку в рассматриваемой задаче это слагаемое не вносит изменений в определяемые величины, то здесь оно опущено.

214

Здесь кроме обозначений, принятых в главе V, дополнительно вве­ дены такие:

Выражение (IX.6), связывающее параметр нагрузки с параме­ тром прогиба, позволяет для определенных значений б и со постро­

ить кривые равновесных состояний г) (СІ). Рассмотрение семейства таких кривых дает возможность определить верхние и нижние кри­ тические напряжения и исследовать закритические деформации ре­ бристых цилиндрических оболочек. Верхнее критическое напряже­ ние может быть определено и без построения указанных кривых.

Для этого нужно положить в выражении (IX.6) Сг = 0; тогда пара­

метр критических напряжении окажется т) = —г , что, естественно,

ь

совпадает с выражением (Ѵ.47). Нижнее критическое напряжение также можно определить без построения кривых зависимости на-

215

пряжений от прогиба. Необходимо лишь определить минимальные

значения ті как функции С2 для целого ряда значений б и © и вы­ брать из них наименьшее.

Для гладкой цилиндрической оболочки формула (IX.6) и вы­ ражения входящих в нее коэффициентов соответственно упроща­ ются. Минимальное значение параметра верхних критических на­

пряжений имеет место при б и со, удовлетворяющих соотношению

и оказывается т]ов= 0,605 (здесь и дальше коэффициент Пуассона принят V = 0,3). Для определения безразмерного параметра ниж­ них критических напряжений по формуле (IX.6) вычислялись ве­

личины т) (для каждой пары б и со) в зависимости от С2, значения которого брались с шагом 0,1, и из них выбиралась минимальная; на основании сравнения этих минимальных значений было опре­ делено 1 наименьшее т] = 0,266, соответствующее параметрам волно­

образования б = 1,42 и со = 0,18 при С2 = 1,4.

На рис. 65 показаны зависимости т) (С*2) при б = 1,42. Они могут быть использованы для построения огибающей кривых, со­

ответствующих различным значениям со (см., например, [43]). Кри­ вые, показанные на рис. 65, при С2 = 0 определяют ряд значений

*”Лри окончательном выборе нижнего значения параметра ц должна производиться проверка значений С, по формуле (ІХ.7), так как возможны

сочетание варьируемых параметров, при которых С1 может оказаться мнимым.

216

параметра верхних критических напряжений; минимальное зна­

чение этот параметр имеет, как указывалось, при б и со, отвечающих зависимости (IX.8). Параметры только одной из приведенных кри­

вых (со = 0,36) удовлетворяют указанному соотношению, и эта

кривая при С? = 0 определяет минимальное значение параметра верхних критических напряжений. Можно построить серию кри­ вых, параметры каждой из которых удовлетворяют соотношению (IX.8), и разыскивать минимальное значение параметра нижних критических напряжений, соответствующих этому соотношению. Часть кривых такой серии приведена на рис. 66. Найденное при указанном условии наименьшее значение ц = 0,318 соответствует

б = 1,71 и со = 0,214 при СІ = 0,8.

Таким образом, минимальным верхним и нижним критическим напряжениям соответствуют различные параметры волнообразо­

вания б и со. Поэтому для гладкой цилиндрической оболочки сле­ дует ожидать перестройки формы выпучивания в процессе развития деформации (хлопка), что и наблюдается в эксперименте 1.

Переходя к определению критических напряжений для ребри­ стой цилиндрической оболочки, напомним, что суммы ст1п, а2п, Озт и ст4т, входящие в выражения коэффициентов а' и b' формулы (IX.6), определяются в зависимости от соотношения между числом полуволн и числом подкрепляющих ребер соответствующего направ­ ления (см. приложение I). В главе V в зависимости от указанного соотношения были определены различные случаи деформации ре­ бристой оболочки при выпучивании. Поскольку выражение (IX. 1) для прогиба оболочки, в отличие от аналогичного выражения гла­

вы V, содержит слагаемое С2 sin4 то принятые ранее наимено­

вания частных случаев здесь уже не всегда будут отражать харак­ тер деформации. Поэтому дальше для удобства будет сохранена ранее принятая нумерация частных случаев деформации, но назва­ ния их фигурироватьне будут.

При определении минимального значения т) в каждом из рассма­ триваемых случаев деформации ребристой цилиндрической обо­

лочки на б и со накладываются ограничения, связанные с числом

Зависимости (IX.9) при целочисленных значениях т и п определяют для каждой конкретной оболочки последовательность б и со.

В табл. 47 приведены результаты вычисления минимальных значений коэффициентов т)в и г)н для верхнего и нижнего критиче­ ских напряжений с указанием соответствующих случаев деформа-

1 Некоторые соображения об этой перестройке можно найти в работе [128].

217

ции, а также С| и С'ъ соответствующих ті„ для серии оболочек, име­

рис. 67 показаны некоторые кривые ті (Сг) соответствующие общему тіо и четвертому частному г)4 случаям деформации для оболочки с 48 стрингерами и девятью шпангоутами; на рис. 68— кривые іу,

Рис. 67. Рис. 68.

и т]в для оболочки, подкрепленной 48 стрингерами и девятью шпан­ гоутами (в скобках указаны числа полуволн в продольном и в окруж­ ном направлениях).

На основании анализа результатов, приведенных в таблице и

218

могут соответствовать различные случаи деформации. Поэтому для ребристых цилиндрических оболочек, как и для гладких, можно ожидать перестройки формы выпучивания в процессе развития де­ формации (хлопка). С увеличением числа стрингеров значения ниж­ них критических напряжений возрастают и приближаются к верх­ ним; для рассмотренных оболочек с девятью шпангоутами при за­ данной аппроксимации прогиба имеет место совпадение верхних и нижних критических напряжений при подкреплении 32 и 48 стрингерами.

Теоретические значения нижних критических напряжений осе­ вого сжатия для гладких цилиндрических оболочек в значительной мере зависят от вида функции, с помощью которой аппроксимируется прогиб потерявшей устойчивость оболочки. С целью относительной оценки влияния вида этой функции на критические напряжения для ребристой цилиндрической оболочки приведем результаты ре­ шения рассматриваемой задачи по изложенной методике, но с за­ данием функции прогиба в виде 1

С . Х П Х . і ш . -» . л тлін . л п и

W ■ г Sin - у - Sin -J- + С2 Sin2 —р—Sin2 ~у

Это выражение для прогиба не полностью удовлетворяет условиям шарнирного опирания оболочки на торцах2, но в применении к ре­ шению для ребристой оболочки позволяет рассматривать такие формы деформации, при которых стрингеры не изгибаются.

В табл. 48 для рассмотренных выше оболочек приведены резуль­ таты вычисления наименьших значений безразмерного параметра нижних критических напряжений с указанием случаев деформации

и соответствующие г|н значения прогибов С\ и СгСопоставление результатов, приведенных в табл. 47 и 48, пока­

зывает, что для примененных форм аппроксимации прогиба суще­ ственная разница (до 30%) в значениях нижних критических напряжений имеет место только при относительно слабом подкреп­ лении. Поскольку с увеличением числа ребер наблюдается сближе­ ние значений нижних и верхних критических напряжений, а по­ следние, как известно, мало зависят от формы аппроксимации про­ гиба, то для оболочек, подкрепленных достаточно большим числом ребер, следует ожидать, что форма аппроксимации прогиба будет мало сказываться на величине нижних критических напряжений.

Величина нижних критических напряжений и характер кривых равновесных состояний имеют существенное значение для исследо­ вания устойчивости цилиндрических оболочек с учетом начальных отклонений от идеальной формы. Здесь важно подчеркнуть, что при изучении закритических деформаций необходимо учитывать ди-

1 Подробно это решение изложено в работе [139].

2 В случае гладких оболочек это незначительно влияет на величину кри­ тических напряжений [43].

219

скретное размещение подкрепляющих оболочку ребер. В рассмо­ тренных примерах для большинства оболочек наименьшие крити­ ческие напряжения соответствуют частным случаям деформации.

§ 2. Учет начальных отклонений от идеальной цилиндрической формы

При теоретическом решении задачи устойчивости цилиндрической оболочки, имеющей отклонения от идеальной формы, начальные прогибы будем представлять в виде двойного тригонометрического ряда

Предполагая, что по торцам оболочки обеспечиваются условия шарнирного опирания, прогиб в деформированном состоянии ап­ проксимируем выражением (20]

Уравнение совместности деформаций для цилиндрической обо­ лочки, имеющей начальный прогиб со0, имеет такой вид [431:

220

Подставляя в это уравнение выражения (IX. 10) и (IX. 11) и решая

?21

удовлетворяющую следующим граничным условиям на торцах оболочки:

222

—Л b l'C

Полная потенциальная энергия ребристой цилиндрической обо­ лочки с начальными прогибами определяется следующим выраже­ нием, полученным на основании соображений, приведенных в главе V:

223