книги из ГПНТБ / Рябинин И.А. Надежность судовых электроэнергетических систем и судового электрооборудования учебник

После того как описано пространство возможных исходов испы­ тании н сформулированы гипотезы, ставится задача построения кри­ терия, проверяющего согласованность исходов опыта с одной из гипотез.

Под критерием понимают систему правил обработки исхода испы­ таний, указывающую условия, при которых мы будем считать гипо­ тезу не согласующейся с опытом и браковать ее. Чтобы сформули­ ровать такую систему правил, выбираем прежде всего некоторую статистическую характеристику, выборочное пространство которой при данной гипотезе должно быть полиостью известно. Далее уста­ навливаем определенный уровень значимости, т. е. достаточно малую величину вероятности, отвечающую событиям, которые в данной обстановке исследования можно считать практически невозможными. Появление такого события будем считать указанием на неправиль­ ность исходного предположения. Обычно берут 5, 2 или 1%-ные уровни значимости.

Попадание в критическую область говорит о несоответствии гипо­ тезы фактическим данным, т. е. мы получаем результат, практически невозможный при выбранном уровне значимости, и потому гипо­ теза бракуется.

Приняв или отвергнув интересующую нас гипотезу Я, мы можем совершить ошибки двух типов: отклонить гипотезу Я, когда она правильна, либо принять гипотезу Я, когда она ложна. Первый тип ошибок называется ошибками первого рода; второй тип ошибок — ошибками второго рода. Вероятности ошибок первого и второго рода однозначно определяются выбором критической области. Для любой

рода. Символически принятые обозначения можно записать в виде равенств

Задача состоит в том, чтобы найти самую выгодную критическую область, т. е. такую область S,i2, для которой величины а и (3 прини­ мают наименьшие значения. Оказывается, что при заданном объеме выборки невозможно одновременно сделать и а и (3 сколь угодно малыми. Поэтому приходится изменять постановку задачи: выбрав по тем или иным соображениям а, найти ту область Sno, Для кото­ рой р принимает наименьшее возможное значение.

Каждый раз, когда приходится проверять гипотезу Я, имеют дело не с одной, а по меньшей мере с двумя гипотезами: Я и не Я, т. е. Я ' .

80

Для конкретизации введенных понятии рассмотрим один пример. Пример 7. На практике часто возникает необходимость сравнить

Основные затруднения возникают, как правило, при выведении формул для определения в общем виде границ критической области S„ 2 (в данном случае чисел с1 и с2 ). Приближенно эти числа можно определить, пользуясь уравнениями

§ 13. Проверка гипотезы о равенстве двух вероятностей отказа

Вопрос о сравнении двух вероятностей отказа постоянно возни­ кает при сравнении надежности однотипного оборудования, работаю­ щего одновременно в различных условиях, или одного и того же обо-

82

рудования, но за разные периоды эксплуатации. Часто требуется сравнить надежность и разнотипных групп судового электрообору­ дования, проработавшего одинаковое время.

Пусть найденные частоты отказов равны

Итак, требуется построить критерий для проверки основной гипотезы # 0 о том, что Qx — Q2- Если гипотеза Я 0 отвергается, то принимается одна из двух конкурирующих гипотез:

проверяемая гипотеза Я 0 = \Qt = Q2 = Q\ верна, то вероятность получения результата {л.г, п2 } равна

Р\п1,п2\=Р{п1\Р{п2\ =

ее нельзя определить из наблюденных значений. Для того чтобы

Формула (4.18) представляет собой условную вероятность ис­

Формулы (4.16) и (4.19) различаются тем, что в (4.16) вероятность произведения двух событий выражена через произведение безуслов­ ных вероятностей независимых событий, а в (4.19) этот же резуль­ тат дается в виде произведения вероятностей зависимых событий. Основной интерес для нас представляет условная вероятность

С помощью этой вероятности можно вычислить интегральную функ­

84

основе наблюденных частот (4.14) и (4.15), нужно вычислить вероят­ ности (4.21) и (4.22) и сравнить их с - | . В случае односторонней

альтернативы поступают аналогично, но сравнивают эти вероят­ ности с а.

=\Qi>Q*\-

Теперь вернемся к формуле (4.20) и познакомимся конкретнее с методами вычисления условной вероятности, определяемой этой формулой. Развернем выражение (4.20), заменив сочетания соот­ ветствующими факториалами:

При больших значениях чисел, входящих в формулу (4.23), непосредственное вычисление P j n j n } с помощью факториалов является весьма громоздким. Предпочтительней перейти к 'десятич­ ным логарифмам факториалов и воспользоваться соответствующими таблицами:

Таблица десятичных логарифмов факториалов приведена в ра­

стических данных на две группы, т. е. о правиле индексации чисел п, т и /. Из формулы (4.20) следует, что совершенно безразлично, какую группу считать первой, а какую второй:

Кроме того, на основании свойств сочетаний можно эту формулу представить в виде

85

изменяющихся чисел (объединенных вторыми квадратными скоб­ ками) вычислять отдельно в табличной форме.

При исследовании надежности элементов СЭС обычно вызывает затруднение совместная обработка всех накопленных статистиче­ ских данных об их эксплуатации. Это затруднение связано с тем, что информация носит, как правило, разнородный характер, так как материалы поступают из различных источников. Кроме того, инфор­ мация может охватывать разные периоды времени.

Определить идентичность условий и режимов работы элементов СЭС путем чисто технического анализа не всегда возможно. Поэтому при расчетах надежности часто прибегают к простому суммированию всей имеющейся информации без учета характера расхождения статистических данных. Последнее приводит к тому, что совместной обработке подвергаются статистические материалы об эксплуатации элементов, надежность которых вследствие различия режимов или условий эксплуатации неодинакова. Ввиду этого, прежде чем при­ ступить к совместной обработке информации, необходимо опреде­ лить, случайным или неслучайным является расхождение между статистическими данными. В первом 'случае совместная обработка материалов возможна, во втором — нет, так как неслучайность расхождения статистики говорит о наличии существенных разли­ чий в условиях или режимах работы элементов СЭС, и, следовательно, последние обладают различными характеристиками надежности.

Пример 8. В течение двух лет на нескольких судах велись наблю­

ности отказа? Или, иначе, свидетельствует ли данное возрастание частоты отказов более чем в два раза о наступлении износа («старе­ ния») этих автоматов?

86

Представим исходные данные в табл. 9 и произведем проверку нулевой гипотезы Н0 = jQx = Q2 }, где Qx — это истинная вероят­ ность отказа автомата в интервале времени [3; 4 года], a Q2 —т а ж е величина, но за период [4; 5 лет]. В качестве конкурирующей гипо­ тезы примем # i = | Q i < Q 2 l - Нам нужно вычислить по фор­ муле (4.21) вероятность

Pi \N± < 3| 10} = Р{0 | 10} + Р { 1 | 10} + Р \2\ 10} + Я { 3 | 10}. Определяем

£ 2 = lg 100! + lg 100! + lg 10! + + lg 190! — lg 200! = 299,5887716.

lg Р {01 10} = —3,1129309 = "4,8870691; lg Р {1 | 10] = —2,0719723 = 3,9280276; lg Р )2| 10} = —1,3869124 = 2,6130876; lg р {31 10} = —0,9382006 = 1,0617994.

87

роятность Рг \N\ 3|9} не превышает 0,025. Для этого требуется определить условные вероятности Р { 2 | 9 | , Я { 1 | 9 [ и Р { 0 | 9 | и их сумму с Р (3|9). Найдем требуемые условные вероятности и вероятность иметь три и менее отказов при условии справедливости гипотезы # „ :

Рг \ NX < 3 | 9 } = Р {3|9} + Р }2|9) +

не двустороннюю альтернативу, а только одну конкурирующую гипо­ тезу Нг = [Ql < Q2 |. Тогда при том же уровне значимости а = = 0,05 вывод о принципиально различной надежности контакторов постоянного тока типа КП и контакторов переменного тока типа

Нередко на практике приходится сравнивать две выборки или две серии независимых наблюдений однородных случайных величин X и У, причем наблюденные значения хс и yt дают различные значе­ ния средних (М* [X] =£= М* [Y]) или обнаруживают различные рассеивания (D* [X ] =j= D* [Y]). Возникает вопрос о том, молено ли считать эти расхождения существенными, значимыми, или их сле­ дует приписать случайностям выборок. Иначе говоря, задача со­ стоит в проверке гипотезы об однородности двух выборок, т. е. в про­ верке предположения, что обе выборки извлечены из одной и той же генеральной совокупности с непрерывной функцией распределения.

Пусть случайные величины X и Y имеют непрерывные функции распределения F (х) и F (у). Имеются две серии результатов неза­ висимых наблюдений величин X и Y

%Ъ -^2i • • • I Хц'у

Уъ Уй, •••> Ут-

Будем предполагать, что наблюденные значения xi и yi в выбор­ ках (4.29) расположены в порядке возрастания их величины, а объемы выборок п и т в общем случае могут быть различными.

Обозначим символом F*n (х) функцию эмпирического распределе­ ния, соответствующего выборке xlt х 2 , . . ., х,„ и символом Fm (у)—• функцию эмпирического распределения, построенного по выборке

У\1 #2> • • •) Ут-

89