книги из ГПНТБ / Рябинин И.А. Надежность судовых электроэнергетических систем и судового электрооборудования учебник
.pdf2)из уравнения (2.62) методом последовательных приближений вычисляется плотность распределения интервалов времени между соседними восстановлениями до* (i);
3)из уравнения (2.30) при известной плотности времени восста новления v (i) вычисляется функция q (г).
Соответствующие формулы примут следующий вид:
|
|
wk+l (*,) = ft* (tt) - |
I Л* (x) w\ {t; - |
x) dx; |
|
|
(3.75) |
|||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9{г) = Щ; |
|
|
|
|
(3-76) |
||||
|
|
|
|
|
v |
(г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С + / О Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЯУ) = -Щ |
|
I |
9(2)ег М2, |
|
|
|
(3.77) |
|||
|
|
|
|
с—/оэ |
|
|
|
|
|
|
|
|
где h* (t, At) |
— статистическая |
средняя |
интенсивность |
потока |
вос |
|||||||
пв {t, |
At) |
становления на интервале времени |
It, |
t + |
At]; |
|
||||||
— число восстановленных |
элементов |
на интервале |
||||||||||
т (t, At) |
времени |
[t, t + |
At]; |
|
|
|
|
|
|
|||
— общее число наблюдаемых элементов на промежутке |
||||||||||||
|
|
времени |
[t, t + |
|
At]; |
|
|
|
|
|
|
|
/г* (t() — статистическая |
мгновенная |
интенсивность |
потока |
|||||||||
|
|
восстановления |
|
в момент времени tn |
равная |
по |
||||||
|
|
аналогии |
с (3.70) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
/г*(/,) = |
й * [*<-!• |
+ |
|
; |
|
|
(3.78) |
|||
q(z),w(z), |
v |
(z) — изображения соответствующих функций, |
напри |
|||||||||
|
|
мер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДО(z) = \e-*<w{t)dt. |
|
|
|
(3.79) |
||||||
Следует заметить, что |
наиболее трудоемкой частью всего рас |
||
чета |
является вычисление |
функций q*k+l(t) и w*k+1(t) |
по форму |
лам |
типа (3.68) и (3.75). Эти вычисления целесообразно |
выполнять |
|
на цифровых вычислительных машинах по типовой программе. Однако первые приближения и при использовании ЭЦВМ необхо димо уметь рассчитывать вручную. При этом полезно учитывать следующие обстоятельства:
1. Сходимость функций <7* (/) и до* (/) к точному решению q*m (t) и дот (t) зависит от длины промежутка интегрирования; при малых tl
70
приближенное решение быстрее сходится к точному (за меньшее число
приближений), иначе говоря, чем больше |
tt, |
тем |
большее |
число |
||||||
приближений /г необходимо |
сделать, |
чтобы |
достичь |
заданной |
точ |
|||||
ности |
расчета. |
|
|
q*k (t) и до* (/) к точному |
|
|
|
|||
2. |
Сходимость функций |
решению |
зави |
|||||||
сит также от вида функций |
со (t): при возрастающей |
интенсивности |
||||||||
потока |
отказов |
со (/) |
приближенное |
решение |
быстрее |
сходится |
||||
к точному, чем при убывающей функции со (t). |
|
|
|
|
||||||
3. |
Несмотря |
на то, |
что |
функции |
q (t) |
и до (t), |
как |
плотности |
||
вероятностей, являются неотрицательными, их численные прибли жения могут принимать и отрицательные значения. Расположение функций qk (tt) и Wk (ti) в отрицательной области, как правило, указывает на недостаточность выполненных приближений, которые следует продолжать до тех пор, пока эти функции не перейдут в ос новном в область положительных значений. Однако и при большом числе приближений на некоторых участках времени могут оставаться «провалы» функций q^ (tt) и (/,-) в отрицательную область. Это объясняется случайностями статистического материала (слишком большими колебаниями интенсивности потока отказов на смежных участках). В таких случаях необходимо по окончании интегриро вания, когда последнее приближение принято за решение уравне ния (3.64), считать эти функции равными нулю на участках «про вала» их в отрицательную область.
Все сказанное нисколько не порочит ни сам метод, ни алгоритм вычисления по формулам (3.68) и (3.69). Необходимо только помнить,
что |
произведения Sk (tt, xt) в формуле (3.68) должны записываться |
||||
с учетом |
их |
знака. |
|
|
|
|
Технику выполнения указанных расчетов рассмотрим на кон |
||||
кретных |
примерах. |
|
|
||
|
Пример 6. |
Воспользуемся данными табл. 2 |
и построим с их |
||
помощью |
20 |
реализаций потоков отказов в интервале времени |
|||
[0; |
6000 |
ч]. |
Точками на рис. 24, а обозначены |
моменты |
отказов. |
На |
практике |
редко удается наблюдать такое большое число |
отказов |
||
однотипных изделий, точнее сказать,Ттак долго наблюдать за их функционированием.
Длина выбранного нами интервала наблюдения [0; 6000 ч] равна трем математическим ожиданиям Т = 2000 ч. В конце примера мы сократим интервал наблюдения до одного математического ожи дания и оценим полученный при этом результат.
Итак, подсчитаем вначале по формуле (3.58) средние (на интер
вале в |
500 ч) статистические значения интенсивности потока отка |
|||||||||
зов со* [ti3 |
tt+1] |
и |
по формуле (3.70) — значения |
функции |
со* (£,.) |
|||||
в точках tt, |
а также определим с коэффициентом доверия б 2 |
= |
0,90 |
|||||||
доверительные |
границы сов |
[tt, ti+1] и сон |
[tt, |
tl+1]. |
Результаты |
ука |
||||
занных действий сведем в табл. 4. |
|
|
|
|
|
|||||
На рис. 24, б изображены функции со* (t), |
сов (t) |
и сон (t), |
постро |
|||||||
енные |
по |
данным |
табл. 4. |
Штриховкой |
показана доверительная |
|||||
71
область S0„, которая с вероятностью 62 = 0,90 накрывает истинное значение функции со (/). В данном случае функция со (I) = 0,0005 1/ч действительно накрывается областью S0,, на всем интервале времени [0; 6000 ч]. Однако если бы мы не знали заранее истинного значения
al |
U I |
I 'I |
|
I г' I I |
I I' I |
г—1 |
j . |
2 |
^ |
|
. . |
|
|
3 |
|
. |
|
|
||
|
t, |
|
|
. |
|
|
|
5 — |
|
|
, |
_ |
|
|
В |
|
|
. |
||
|
8 |
^ |
|
1 |
_ 1 . |
|
|
Рис. |
24. Реализации |
потока отказов, |
построенные |
|
|
|||
|
по данным табл. 2, (о) и вычисленные значения функ |
|
|
||||||
|
|
ций со* (/), ыв (/) и со,, (/) для этого потока (б). |
|
|
|||||
функции |
о) (t), |
то согласно |
рис. 24, б |
можно |
было |
бы |
выдвинуть |
||
целый ряд других равнозначных гипотез о виде функций |
со (t) |
||||||||
[например, сох (t) = 0,0004 1/ч, со2 (0 = |
(6—0,0006 *).10"4 |
1/ч и др.], |
|||||||
которые |
также |
целиком |
накрываются |
областью |
S0l. |
Это |
лиш |
||
ний раз показывает, как трудно бывает на практике |
определить |
||||||||
истинную |
функцию со (i) |
даже при длительном наблюдении |
потока |
||||||
отказов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4 |
||
|
Значения |
вычисленных интенсивностей |
потока отказов для примера 6 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
X |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<з |
|
<-••" |
X |
|
|
<- |
<~ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-—. |
|||||||
- |
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
и"э |
|3 X |
з |
х |
|
13°Х |
if X |
CJ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
0 |
|
500 |
7 |
|
7 |
6 |
|
|
11,16 |
3,54 |
0,35 |
||||
2 |
|
500 |
|
1000 |
5 |
|
5 |
4 |
|
|
9,12 |
2,08 |
0,60 |
|||||
3 |
|
1000 |
|
1500 |
3 |
|
3 |
4,5 |
|
6,88 |
0,84 |
0,75 |
||||||
4 |
|
1500 |
|
2000 |
6 |
6 |
5 |
|
|
10,16 |
2,80 |
1,05 |
||||||
5 |
|
2000 |
|
2500 |
4 |
|
4 |
5,5 |
|
8,02 |
1,42 |
1,25 |
||||||
6 |
|
2500 |
|
3000 |
7 |
|
7 |
5,5 |
|
11,16 |
3,54 |
1,60 |
||||||
7 |
|
3000 |
|
3500 |
4 |
|
4 |
3 |
|
|
8,02 |
1,42 |
1,80 |
|||||
8 |
|
3500 |
|
4000 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
5,63 • |
0,36 |
1,90 |
|||||
9 |
|
4000 |
|
4500 |
2 |
|
2 |
4 |
|
|
5,63 |
0,36 |
2,00 |
|||||
10 |
|
4500 |
|
5000 |
6 |
|
6 |
4,5 |
|
10,16 |
2,80 |
2,30 |
||||||
11 |
|
5000 |
|
5500 |
3 |
|
3 |
3,5 |
|
6,88 |
0,84 |
2,45 |
||||||
12 |
|
5500 |
|
6000 |
4 |
|
4 |
4 |
|
|
8,02 |
1,42 |
2,65 |
|||||
Учитывая |
учебные цели данного |
примера |
и зная |
в нем теорети |
||||||||||||||
ческую функцию ненадежности Q(t) = |
1 — ехр ^—2000)' с |
П 0 М 0 Ш ' Ь Ю |
||||||||||||||||
которой |
были |
образованы |
потоки |
|
отказов, представленные |
на |
||||||||||||
рис. 24, а, |
проверим обратным расчетом, |
насколько |
точно |
удается |
||||||||||||||
восстановить функцию |
Q (t), |
зада |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ваясь |
различными |
гипотезами H(tJ,Q(t) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
о характере |
потока |
отказов. |
|
U! |
|
d(t)=1-?m |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Предположим сначала, |
что мы |
|
|
|
|
|
||||||||||||
0,8 |
|
|
|
|
\ |
|
||||||||||||
имеем дело с пуассоновским |
пото |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ком |
отказов. Тогда |
согласно фор |
0,8 |
|
|
|
Ss(t) |
|
||||||||||
муле |
(3.50) |
|
определим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Q"n(i) = 1 —ехр |
[—Q* (*)]. |
(3.80) |
v |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Статистическая |
функция |
отка |
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
зов |
Q* (t) |
вычислена |
в |
табл. 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
и представлена |
на рис. 25. Функ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ция |
Qn (/) представлена на этом же |
|
о |
то |
2000 woo |
то |
sooo %ч |
|||||||||||
рисунке точками на фоне теорети |
Рис. 25. Теоретическая |
функция |
Q (t) |
|||||||||||||||
ческой |
кривой |
Q (t). Из |
рисунка |
|||||||||||||||
и эмпирические функции Q |
(t), Qn |
(t), |
||||||||||||||||
видно, что в данном случае совпа |
|
|
|
Ql (0- |
|
|
|
|||||||||||
дение эмпирической Qn |
(t) и теоре |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
тической Q (t) |
функций |
распределения |
достаточно |
хорошее. Это |
||||||||||||||
объясняется |
тем обстоятельством, что для |
данного |
примера был |
|||||||||||||||
искусственно построен именно пуассоновский (и даже простейший) поток отказов. Однако на практике мы заранее не знаем, отсут ствует ли последействие в потоке отказов, и это нужно проверять особо.
73
Рис. 26. Девять последовательных приближений функции q (i), вычисленных по алгоритму (3.68) для функции со* (t).
Оценим теперь функцию Q (() для рекуррентного потока отказов без запаздывания. Вычисление плотности распределения q (t) со гласно алгоритму (3.68) удобно производить табличным способом. В табл. 5 в качестве входных величин записываются значения функ ций со* (х/) и qk (t{) в точках xs и tr Затем производится попарное перемножение этих значений, результаты которого записываются на пересечениях соответствующих столбцов и строк. Можно показать, что полученные таким образом произведения и есть величины Sk (th xj),
входящие в формулу (3.68). Действительно, |
перемножая, |
например, |
|||||||||||
со* (х;-) и qk (t0), |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
«>* (xj) Qk (to) = и* (Xj) qk |
(tt |
— xi=i) = |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Sk(ti,xj), |
|
|
(3.81) |
|
|
|
|
||
где / = 0, 1,2,..., i |
и I = |
1, 2, . .. , d. |
|
|
|
|
|||||||
|
Заполнив |
табл. |
5 произведениями |
|
|
|
|
||||||
Sk |
(/,., xj) до диагонали Sk |
(td, х}) (j = |
|
|
|
|
|||||||
= |
0, |
1, 2, . . ., d) включительно, |
начи |
|
|
|
|
||||||
наем |
суммировать |
эти произведения |
|
|
|
|
|||||||
в |
соответствии |
с формулой |
трапеции |
о |
tooo 2000 зооо mo |
5000 бооо |
|||||||
(3.68) |
для |
каждого |
фиксированного |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
значения i = const. При этом концевые |
Рис. 27. Эмпирические функции |
||||||||||||
произведения в каждой i'-й |
диагонали |
распределения, |
построенные |
||||||||||
уменьшаются |
ровно |
в два раза |
и все |
|
обычным способом. |
||||||||
слагаемые берутся с учетом их знака. |
|
|
|
|
|||||||||
|
В |
табл. 6 произведено |
вычисление первого приближения функ |
||||||||||
ции q* (tt) при i = 1, 2, . . ., 12. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Сводные результаты девяти последовательных приближений пред |
||||||||||||
ставлены в табл. 7 и графически |
изображены на рис. 26. Анализи |
||||||||||||
руя функции qk (tt), |
мы видим, |
что по мере |
увеличения |
номера k |
|||||||||
функции qk (t[) все больше |
приближаются к теоретической |
кривой |
|||||||||||
q (t) = 0,0005е |
2 0 0 0 . |
Еще |
более |
наглядное |
представление |
о бли |
|||||||
зости вычисленной функции к теоретической дает рис. 25, на кото ром построены интегральные функции распределения Q (t) и Q* (t). Таким образом, можно утверждать, что если бы мы и не знали опре
деляемой в данном примере функции Q (t), то на основании |
расчета |
||||||||
функции |
Q* (t) |
было бы нетрудно найти и искомую теоретическую |
|||||||
функцию |
распределения. |
|
|
|
|
||||
|
Теперь сравним полученные результаты с эмпирическими функ |
||||||||
циями распределения |
Q*a (t) |
и Q*b, построенными |
на рис. 27 обыч |
||||||
ным |
способом 1 |
по наблюденным реализациям случайных интерва |
|||||||
лов времени исправной работы по всем выборкам |
(в данном |
случае |
|||||||
это |
нетрудно |
сделать |
ввиду |
точной |
фиксации |
моментов |
отказов |
||
в |
табл. 2). Функция Q* (t) построена |
по информации, полученной |
|||||||
за |
интервал времени наблюдения [0; 6000 ч], a Q* (t) — за интервал |
||||||||
|
|
См. |
§ 15. |
|
|
|
|
|
|
75
со* (X j )
СО* ( А - 0 )
СО* ( X l )
со* (х2) со* (х3)
СО* (Xj)
w* (xd)
Ч Со)
Sfc (Л, хх)
Sk (t3. *з)
5й XJ)
Sk (td. Xd)
|
|
|
|
|
|
Таблица |
5 |
Таблица |
для вычисления (/г-|-1)-го |
приближения функции |
qk+i(t[) |
|
|||
|
|
|
|
Ik |
(li) |
|
|
ik |
d) |
"ft ('*) |
"ft Сз) |
|
"k С;) |
ik (ld) |
|
|
|
5ft (<г, |
x0) 5ft (<3. x0) |
|
5ft (It. x0) |
Sk (td. |
x0) |
5ft (t2. |
Xl) |
5ft (f3 , |
A \ ) |
Sk |
{ti. *i) |
Sk (td. *i) |
|
Sk (t3. |
*г) |
|
5ft (tc. |
x2) |
|
Sk (td, X2) |
|
5ft
5ft *ti-i)
Таблица 6
Вычисление первого приближения <7*(^) функции q{t)
Ю4, 1/ч
ш 4 (Xj)-W, 1/ч |
I ' |
|
|
Ю |
Ю |
||
|
|
|
|
II |
|
||
|
|
|
ll |
|| |
|| |
|| |
|
|
|
|
' " о |
|
|
ГО |
|
|
|
|
* О |
* О |
* о |
н о |
* о |
|
|
|
О- |
|
о- |
|
о* |
|
|
|
|
|
|
|
|
co*(x0) |
= |
7 |
|
42 |
28 |
31,5 |
35 |
|
= |
6 |
42 |
36 |
24 |
27 |
30 |
ш*(х2) |
= |
4 |
28 |
24 |
16 |
18 |
20 |
«*(*:<) |
= |
4,5 |
31,5 |
27 |
18 |
20,25 |
22,5 |
(£>*(х4) = |
5 |
35 |
30 |
20 |
22,5 |
25 |
|
Ш*(*5) |
= |
5,5 |
38,5 |
33 |
22 |
24,75 |
27,5 |
ш*(*о) |
= |
5,5 |
38,5 |
33 |
22 |
24,75 |
27,5 |
ш*(*7) |
= |
3 |
21 |
18 |
12 |
13,5 |
15 |
8 |
= |
2 |
14 |
12 |
8 |
9 |
10 |
co*(x ) |
|
|
|
|
|
||
9 |
= |
4 |
28 |
24 |
16 |
18 |
|
со*(лг) |
|
|
|
|
|||
ш*(*1 0 ) = |
4,5 |
31,5 |
27 |
18 |
|
|
|
ш*(хп ) |
= |
3,5 |
24,5 |
21 |
|
|
|
со*(х12) |
= |
4 |
28 |
|
|
|
|
Ю |
Ю |
|
in |
ю" |
|
II |
II |
|
О |
||
|
||
|
* о |
|
|
й- |
|
38,5 |
38,5 |
|
33 |
33 |
|
22 |
22 |
|
24,75 |
24,75 |
|
27,5 |
27,5 |
|
30,25 |
30,25 |
|
30,25 |
30,25 |
|
16,5 |
|
СО |
|
|
|
|
-3* |
|
|
|
II |
II |
II |
||
II |
II |
II |
||||
|
|
|
||||
* О |
* о |
* О |
tt о |
* о |
* О |
|
й- |
|
й- |
|
с- |
с- |
|
|
|
|
|
|||
21 |
14 |
28 |
31,5 |
24,5 |
28 |
|
18 |
12 |
24 |
27 |
21 |
|
|
12 |
8 |
16 |
18 |
|
|
|
13,5 |
9 |
18 |
|
|
|
|
15 |
10 |
|
|
|
|
|
16,5 |
|
|
|
|
|
1/ч |
7,00 3,900 0,800 0,525 —0,250 — 1,225 —2,735 —5,800 —6,425 —5,025 —5,888 —7,450 —7,263 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 7 |
|
Сподные результаты расчетов девяти приближений функции q |
(t) |
|||||
|
|
|
* |
( П - 1 0 4 , 1/ч |
|
|
|
|
|
|
Ч |
|
|
|
|
к |
|
Ч 00 |
Ч ( ' 2 ) |
ч ('з) |
Ч ('<>) |
Ч Ы |
Ч Ы |
|
|
||||||
0 |
7,000 |
6,000 |
4,000 |
4,500 |
5,000 |
5,500 |
5,500 |
1 |
7,000 |
3,900 |
0,800 |
0,525 |
0,250 |
— 1,225 |
—2,735 |
2 |
7,000 |
4,267 |
1,990 |
2,602 |
2,947 |
3,521 |
4,011 |
3 |
7,000 |
4,202 |
1,672 |
1,805 |
1,469 |
1,005 |
—0,068 |
4 |
7,000 |
4,215 |
1,747 |
2,054 |
2,046 |
2,1 34 |
1,996 |
5 |
7,000 |
4,212 |
1,728 |
1,984 |
1,851 |
1,691 |
1,079 |
6 |
7,000 |
4,213 |
1,732 |
2,003 |
1,911 |
1,846 |
1,432 |
7 |
7,000 |
4,213 |
1,731 |
2,000 |
1,894 |
1,797 |
1,308 |
8 |
7,000 |
4,213 |
1,732 |
2,001 |
1,898 |
1,8 12 |
1,348 |
9 |
7,000 |
4,213 |
1,732 |
2,000 |
1,897 |
1,808 |
1,336 |
|
|
|
* |
|
|
|
|
к |
|
|
Ч (ЛЛО'1 , 1/' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ч ('?) |
Ч Ы |
ч Ы |
Ч ('ю) |
Ч |
|
Ч ('12 ) |
0 |
3,000 |
2,000 |
4,000 |
4,500 |
3,500 |
4,000 |
|
1 |
—5,800 |
—6,425 |
—5,025 |
—5,88*1 |
—7,450 |
—7,263 |
|
2 |
4,525 |
4,414 |
7,571 |
8,950 |
9,874 |
12,285 |
|
3 |
—3,262 |
—4,717 |
—4,290 |
—6,277 |
—9,295 |
-11,294 |
|
4 |
0,464 |
1,289 |
4,312 |
5,834 |
7,194 |
10,624 |
|
5 |
— 1,247 |
— 1,781 |
—0,730 |
— 1,942 |
—4,345 |
-5,839 |
|
6 |
—0,516 |
—0,374 |
1,811 |
2,350 |
2,556 |
5,045 |
|
7 |
—0,799 |
—0,965 |
0,680 |
0,267 |
— I 097 |
-1,052 |
|
8 |
—0,700 |
—0,736 |
1,135 |
1,157 |
0,648 |
2,067 |
|
9 |
—0,732 |
—0,769 |
0,953 |
0,820 |
—0,089 |
0,636 |
|
[0; 2000 ч]. Эти функции, и особенно Ql (t), дают неправильное представление о фактической надежности исследуемых элементов, существенно занижая ее (соответственно завышая вероятность отказа). Сказанное легко объясняется ограниченностью периода наблюдения. Полученный вывод подчеркивает бесспорные преиму
щества первого |
способа оценки |
функции распределения Q (t) через |
|
интенсивность |
потока отказов |
со (t), ибо любое усечение длитель |
|
ности наблюдения никак не меняет вида |
функции Qk (t) в интервале |
||
наблюдения. Располагая информацией |
об отказах только в преде |
||
лах [0; 2000 ч], мы можем построить начало функции Qk,(t), весьма
близкое к теоретическому |
распределению. Правда, точный вид |
этой функции при t >> 2000 |
ч останется неизвестным. Однако с точки |
зрения практики более ценным является пусть частичное, но точное знание функции ненадежности Q (t), чем полное, но весьма прибли зительное.
78
ГЛАВА 4
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О НАДЕЖНОСТИ СУДОВОГО ЭЛЕКТРООБОРУДОВАНИЯ
§ 1 2 . Общая характеристика метода статистических гипотез
В предыдущей главе рассматривался вопрос об оценке показа телей надежности судового электрооборудования, таких, как вероят ность отказа за время t, математическое ожидание и дисперсия времени исправной работы, интенсивность потока отказов и др. Правила и положения, изложенные в гл. 3, относились к тому слу чаю, когда сами фактические данные могут рассматриваться как слу чайная выборка из некоторой генеральной совокупности.
Однако получение доброкачественной оценки по данным выборки является, как правило, лишь предварительной стадией статисти ческого исследования надежности, цель же его часто состоит в ис пользовании полученных оценок для сравнения совокупностей между собой по тому или иному признаку. Например, нас может интересовать вопрос о сравнительной надежности однотипного оборудования (установленного на различных судах или эксплуати рующегося в различных условиях), о влиянии на надежность элек трооборудования определенных факторов (частоты профилактики, длительности непрерывной работы или календарного срока службы, новой технологии изготовления или новых примененных материалов п пр.), об однородности собранного статистического материала и неизменности распределения, характеризующего надежность данного типа оборудования. Чтобы дать обоснованные ответы на эти во просы, необходимо так же, как и в задаче об оценке параметров, опираться на некоторую статистическую модель или схему подоб ного рода явлений.
Будем называть статистической гипотезой всякое предположение о виде закона распределения рассматриваемых величин, о вероят ности того или иного события, о величине какого-либо параметра и пр. Делая подобного рода предположения, будем выводить из них различные следствия и рассматривать, насколько оправдываются они на опыте. Эти следствия будут носить характер вероятностных су ждений о поведении некоторых статистических характеристик, значения которых будем вычислять по данным выборки.
Для того чтобы принять или отвергнуть ту или иную статисти ческую гипотезу, прибегают к наблюдению. Пусть число наблюдений
равно |
а |
и |
их результаты даны последовательностью чисел |
хх, |
х2, . . |
., |
хп. |
Необходимо иметь правило, которое позволяло бы |
по |
результатам наблюдений принять или отвергнуть исследуемую гипотезу. Идея образования таких правил состоит в том, что мно жество всех возможных результатов наблюдений подразделяется на два непересекающихся подмножества SnX п Sn2. Проверяемая ги потеза принимается, если результат наблюдений, т. е. выборочная
79