книги из ГПНТБ / Рябинин И.А. Надежность судовых электроэнергетических систем и судового электрооборудования учебник

с выполнением определенных работ, затратой времени и материаль­ ных средств. В современной теории надежности указанный процесс характеризуется только временем восстановления. Время восстанов­ ления является, как правило, случайной величиной, в первую оче­ редь в связи с тем, что отказы не будут полностью идентичными. И даже в тех случаях, когда отказы идентичны, время, требуемое для их устранения, может быть различным из-за неодинаковых возмож­ ностей обслуживающих элементов. Очевидно, что время восста­ новления будет различно не только при обслуживании разными людьми, но даже при обслуживании одним человеком (в зависимости от его квалификации, сноровки при выполнении тех или иных конк­ ретных операций, степени усталости, качества и количества инстру­ мента и запасных деталей и т. п.).

Время восстановления может быть разбито на две составляющие: время отыскания неисправности и время устранения отказа. В прак­ тике эксплуатации технических систем встречаются случаи, когда время устранения отказа мало по сравнению с временем его отыска­ ния (если ремонт заключается в замене отказавшего изделия на исправное), и, наоборот, встречаются такие случаи, когда мало время отыскания отказа по сравнению с временем ремонта. Поэтому в таких крайних случаях под временем восстановления может по­

30

Сумма интервалов времени т о г + тв г представляет собой интервал времени между двумя включениями (т. е. восстановлениями) изде­ лия; сумма же интервалов времени тв . + т0 1 .+ 1 есть интервал вре­ мени между двумя соседними, отказами изделия. Процесс восстанов­

Рис. 14. Интервалы времени, в пределах которых ве­ дется интегрирование функции (2.32).

Пределы интегрирования в (2.30) определяются элементарными

Интегральная функция распределения последовательных вос­ становлений W (() (т. е. вероятность того, что по крайней мере один

На рис. 14 показаны интервалы времени, в пределах которых ведется интегрирование.

Воспользуемся формулой преобразования двукратного интеграла (формулой Дирихле) и изменим в (2.32) порядок интегрирования:

(2.33)

31

Формула (2.33) допускает простую и наглядную интерпретацию. Действительно, вероятность того, что по крайней м1 ре один отказ и одно восстановление произойдут на интервале [0, t], представляет сумму по всему этому интервалу произведений двух сомножителей: вероятности того, что отказ произошел в каком-то промежуточном интервале [х, х + dx], и вероятности того, что восстановление про­ изойдет на интервале, величина которого не превышает t—х-

Необходимо заметить, что плотность вероятности да (t) можно записать и иначе:

того, что отказ произойдет на интервале, величина которого не

в произвольный момент времени t- Таким образом, функция Кг (t)

зрения его безотказного функционирования в течение требуемого

32

времени. Это стационарное значение функции Кг (t) называется коэф­

доля времени, в течение которого изделие находится в исправном состоянии при длительной эксплуатации:

J/г (О dt

оо

§7. Основные свойства потоков отказов

ивосстановлений

Потоки отказов (восстановлений), встречающиеся на практике, обладают рядом свойств, зная которые можно упростить описание конкретного случайного процесса. Рассмотрим основные свойства этих потоков.

Поток отказов (восстановлений) называется ординарным, если вероятность совмещения двух или более отказов (восстановлений) в один и тот же момент времени настолько мала, что практически такое совмещение является невозможным. Аналитически понятие

с вероятностью появления в данном промежутке хотя бы одного события.

Очевидно, что поток отказов одного восстанавливаемого изделия всегда является ординарным, так как второй отказ может иметь место только после замены отказавшего. В дальнейшем мы будем иметь дело только с ординарными потоками отказов.

Таким образом, мгновенная интенсивность ординарного потока

его вероятностный режим не изменяется во времени, т. е. если вероят­ ность появления к отказов на участке времени длиной т [t, t + т] зависит только от т и не зависит от t. Очевидно, что для стационар­

тельно облегчает изучение потока отказов. Однако реальные потоки отказов (восстановлений) могут быть в общем случае и нестационар­ ными. Доказать стационарность потока можно только путем стати­ стической обработки результатов его наблюдения.

висит от числа отказов (восстановлений), попадающих в другие интервалы.

Итак, отсутствие последействия в потоке отказов означает взаим­

(при этом интервалы времени не обязательно должны быть различной п родолжител ьности).

Допущение о полном отсутствии последействия в потоке отказов (восстановлений) существенно упрощает статистическую модель случайного процесса. Пригодность такой модели для конкретного исследуемого процесса должна каждый раз проверяться по резуль­ татам статистических наблюдений этого процесса.

34

Однако на практике указанное допущение иногда оказывается слишком жестким, т. е. далеким от описания реального процесса, в котором на самом деле имеется некоторое последействие (меньшее или большее). Поэтому большой интерес для теории надежности представляют потоки с ограниченным последействием.

Поток отказов (восстановлений) называется потоком с ограничен­ ным последействием, если взаимно независимыми являются не числа отказов (восстановлений), а случайные промежутки времени между последовательными отказами r l t т 2 , . . ., т,-, . . . (восстановлениями). Взаимная независимость величин Т[ в значительной степени ограни­ чивает явление последействия, но не исключает его полностью.

Ординарные потоки отказов без последействия называются в тео­ рии надежности пуассоновскими потоками отказов. Такое их наиме­ нование связано с законом Пуассона, на основании которого в этом случае вычисляется вероятность того, что в промежутке времени

Количественное описание пуассоновских потоков намного проще описания других ординарных потоков. Действительно, распределе­ ние случайной величины N0 {t) в данном случае полностью опреде­ ляется единственным параметром Q (t), который зависит только от длины интервала [0, t].

Поток отказов, подчиняющийся закону (2.45), называют также

Интересно заметить, что интенсивность простейшего потока отказов со численно равна интенсивности отказа 1 невосстанавлнваемого изделия для периода нормальной его работы (когда к = const).

Приведем некоторые физические соображения, обосновывающие отсутствие последействия в ряде реальных потоков отказов.

Во-первых, пуассоновский поток отказов может возникать у сложных восстанавливаемых систем. Такие системы, как правило, состоят из большого числа элементов, причем каждый отдельный элемент является достаточно надежным и отказывает очень редко. Таким образом, поток отказов системы есть сумма большого числа редких потоков отказов ее элементов. Эти потоки отказов чаще всего являются независимыми. Отсюда следует, что появление отказов системы на одном интервале времени почти не меняет вероятности появления какого-либо числа отказов на другом интервале, не пере­ секающемся с первым. Эти условия могут нарушаться, если в составе системы имеются отдельные малонадежные элементы, интенсивность потока отказов которых соизмерима с интенсивностью потока отка­ зов всей системы. Выделяя потоки отказов таких элементов из суммарного потока, можно снова поток отказов оставшейся системы рассматривать как пуассоновский.

Пуассоновский поток отказов хорошо описывает также процесс отказов у отдельных конструктивных элементов, имеющих в основ­ ном однородную пространственную структуру (линейную, плоскост­ ную или объемную). Например, величины, характеризующие число повреждений изоляции кабеля, происходящих на различных его

случайными величинами. Аналогично протекает процесс отказов,

в которой вероятность отказа, например, изоляции считается зави­ сящей лишь от площади изоляции и возраста машины, совсем не означает, что ряд других факторов (влажность, температура, вибра­ ция, тип пропитки или качество изоляционного материала) не влияет на повреждаемость изоляции, а свидетельствует лишь о том, что существующими правилами производства и эксплуатации указанные

36

Говорят, что задан поток однородных событий, если для каж­ дого m 1 задано распределение случайного вектора (2.19)

ности, то соответствующий поток называется потоком с ограничен­ ным последействием. Для задания такого потока достаточно задать

Термин «рекуррентный» означает, что в момент каждого события процесс начинается заново и не зависит от характера протекания процесса в прошлом.

Как видно из определений, рекуррентный поток с запаздыванием отличается от просто рекуррентного потока только тем, что у него

времени (иначе говоря, имеется некоторое запаздывание в отсчете времени процесса восстановления относительно фактического начала этого процесса).

Ординарные и стационарные потоки с ограниченным последей­ ствием будем называть потоками отказов типа Пальма 3.

Можно показать, что для рекуррентного потока с запаздыва­ нием справедливо выражение

37

Отметим одно весьма важное свойство функций со (t) и h (t), связанное с их асимптотическим поведением при t—> оо. В теории восстановления доказывается, что'с течением времени процесс вос­ становления становится стационарным и его локальные характе­ ристики перестают зависеть от времени. Точнее, если q (t) —> 0 при t—>оо, то

и если со (t) —> 0 при t—>оо, то

38

ЧАСТЬ I I

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

ОНАДЕЖНОСТИ СУДОВОГО ЭЛ ЕКТРООБОРУДО ВАН И Я

ГЛАВА 3

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ

§ 8. О точности и достоверности

количественной оценки надежности

Выше был рассмотрен вопрос о важности и принципиальной возможности количественной оценки надежности технических устройств. Остановимся теперь более подробно на вопросе о практи­ ческой возможности получения этой оценки.

Дело в том, что на практике иногда из-за ограничений экономи­ ческого или временного характера бывает невозможно произвести непосредственную (по опытным данным) статистическую оценку надежности того или иного изделия с необходимой точностью и до­ стоверностью х . Особенно часто такая ситуация создается при оценке надежности сложных, уникальных систем (в том числе и СЭС) или при оценке исключительно надежных изделий. В этом случае коли­ чественные показатели надежности должны определяться не прямо, а косвенно: через показатели надежности тех изделий, которые можно и нужно испытать.

«Водораздел» между принципиальной возможностью количествен­

ного технического устройства.

Поясним эту мысль несколько подробней на примере какойнибудь количественной характеристики надежности.

Чтобы сравнивать между собой отказы различных изделий по степени их возможности, нужно с отказом связать определенное число, которое тем больше, чем более возможен отказ. Таким числом является вероятность отказа Q (/) — численная мера степени объек­ тивной возможности отказа изделия за время [0, t].

1 Под точностью количественного показателя надежности мы будем понимать здесь ширину доверительного интервала, накрывающего данный показатель, а под достоверностью — доверительную вероятность этого результата. Подробнее этот вопрос рассмотрен в § 10.

39