книги из ГПНТБ / Рябинин И.А. Надежность судовых электроэнергетических систем и судового электрооборудования учебник

этом сложный стохастический процесс рассматривается как после­ довательность конечного числа взаимосвязанных элементарных сто­ хастических актов, а решение задачи представляет последовательное поэлементное теоретическое воспроизведение явления, моделирую­ щее реальную физическую систему.

Метод Монте-Карло является эффективным численным методом, поэтому на каждом этапе расчета исследователь имеет дело с конк­ ретными числами. Расчет, включающий случайную выборку раз­ личных случайных величин, дает возможность шаг за шагом накап­ ливать статистические данные, заменяющие многократное повторе­ ние физических экспериментов.

Теоретической основой метода статистического моделирования является закон больших чисел, устанавливающий при определенных условиях предельное равенство среднего арифметического наблю­ денных значений случайной величины математическому ожиданию этой случайной величины при бесконечном увеличении числа опы­ тов N. На основании закона больших чисел и предельной теоремы Ляпунова можно оценить и точность метода статистического моде­ лирования.

Рассматриваемый метод позволяет решать весьма сложные за­ дачи и обладает значительными преимуществами перед аналитиче­ скими методами. Он позволяет полнее учесть особенности функцио­ нирования сложной системы, использовать любые законы распреде­ ления случайных величин, имеет наглядную вероятностную трак­ товку, простую вычислительную схему и малую чувствительность к случайным сбоям машины в процессе решения.

Наряду с отмеченными преимуществами, метод статистического моделирования, как и любой численный метод, обладает тем недо­ статком, что его решение всегда носит сугубо частный характер. Оно соответствует фиксированным значениям параметров элементов системы и выбранным начальным условиям. Обычно для всесторон­ него анализа системы приходится многократно моделировать про­ цесс ее функционирования, варьируя исходные данные задачи.

В последние годы метод статистического моделирования для оценки надежности технических систем применяется все шире. Однако во многих случаях использованию этого метода препятствует одно важное обстоятельство. Дело в том, что сам по себе метод МонтеКарло прост и универсален. В принципе любую систему с явно за­ данным алгоритмом функционирования можно моделировать на ЭЦВМ и любой критерий надежности можно оценить по достаточно большой серии опытов (проб). Главные затруднения обычно возни­ кают не в вычислительной части метода, а в той, где требуется ана­ лизировать состояние системы, учитывать ее структуру и логические связи.

С целью преодоления указанных трудностей было создано боль­ шое число алгоритмов, каждый из которых, по существу, приспо­ соблен к решению только данной конкретной задачи или весьма уз­ кого класса задач вполне определенного типа. Приступая к расчету надежности технической системы методом статистического модели-

223

рования, каждому исследователю приходится заново разрабатывать свой собственный алгоритм, составлять по нему программу и тра­ тить много времени на ее отладку и проверку.

Известные к настоящему времени способы построения статисти-

• - ческих моделей для исследования надежности сложных технических систем можно подразделить на три группы:

1) методы, базирующиеся на графических моделях (так назы­ ваемых временных эпюрах) характерных ситуаций безотказной ра­ боты системы и ее неисправных состояний;

2)методы, построенные на логических моделях условий работо­ способности или неработоспособности системы;

3)методы, основанные на непосредственном анализе отказов элементов специалистами, в совершенстве знающими исследуемую систему.

Первая группа методов построения стохастического алгоритма, связывающего состояния системы с состояниями отдельных эле­ ментов (с помощью временных эпюр возможных ситуаций системы) ориентируется на разработку целой библиотеки стандартных про­ грамм для решения основных задач, возникающих в теории надеж­ ности. Авторы этого направления статистического моделирования считают, что использование компактного набора гибких вычисли­ тельных алгоритмов в инженерной практике приведет к резкому повышению эффективности инженерного труда и будет способство­ вать быстрейшему внедрению ЭЦВМ в практику проектирования. Однако число основных задач в теории надежности достаточно ве­ лико и будет непрерывно расти в дальнейшем. Поэтому вряд ли возможно заранее разработать стандартные программы на все слу­ чаи жизни, особенно для сложных систем.

Вторая группа методов ориентируется на разработку в некотором смысле универсальных программ, не зависящих от структуры и ре­ жимов работы системы.

Метод расчета надежности судовых электроэнергетических си­ стем, при котором структура СЭС и особенности функционирования системы описываются средствами алгебры логики, а количественная оценка ее надежности производится статистически, будем называть логико-статистическим методом (по аналогии с логико-вероятност­ ными методами).

Главным достоинством логико-статистического метода исследо­ вания надежности сложных технических систем является машинная диагностика состояний системы, что избавляет исследователя как от необходимости изучения графических моделей всех характерных для системы ситуаций, так и от непосредственного анализа послед­ ствий каждого отказа элементов системы. Однако возможности этого метода также не беспредельны. Как показал опыт расчетов надеж­ ности СЭС, логико-статистический метод наиболее эффективен при изучении проблем структурной надежности сложных восстанавливае­ мых систем. Его можно применять для любой системы, условия ра­ ботоспособности (или неработоспособности) которой удается записать в виде функции алгебры логики.

224

Для некоторых систем современная практика проектирования выдвигает такие проблемы, которые не удается пока полностью формализовать в рамках единого математического языка, в част­ ности с помощью двузначной алгебры логики. В этих случаях используется третья группа методов построения статистических моделей.

На первый взгляд, принцип непосредственного (поэтапного) анализа состояний сложной-системы в сочетании с методом статисти­ ческого моделирования процесса ее функционирования на быстро­ действующих ЭЦВМ представляется противоестественным и не­ прогрессивным. Однако это не так. В некоторых случаях такой под­ ход к решению задач является единственно возможным методом ко­ личественного исследования надежности (и эффективности) сложных систем. Например, для многофункциональных избыточных систем с большим числом входов и выходов и с перестраивающейся струк­ турой при наличии встроенной системы непрерывного автоматиче­ ского контроля и периодического тестового контроля, локальных схем защиты от ложных срабатываний и ограниченного восстановле­ ния отказавших элементов (при отказах двух типов) первые две группы методов построения моделей являются практически непри­ годными или годными только на определенном этапе исследования.

Несмотря на существенную задержку всего исследования из-за необходимости почти «ручного» анализа последствий отказов эле­ ментов систем (на что уходят не минуты и часы, а недели и месяцы кропотливого труда специалистов), рассматриваемый метод имеет свои преимущества.

Во-первых, суммарные затраты времени на все исследование этим методом, как правило, значительно меньше затрат времени на составление и отладку программы машинного анализа последствий неисправностей, в том случае если составление такой программы ока­ зывается возможным.

Во-вторых, непосредственный поэтапный анализ состояний си­ стемы можно механизировать и автоматизировать по частям, что

а) быстрее обнаружить наименее надежные (определяющие) эле­ менты, из-за которых чаще всего возникают отказы системы, и, повысив их надежность, уменьшить число отказов;

б) определить наиболее эффективные способы обслуживания си­ стемы, оптимальную частоту тестового контроля, необходимое число запасных блоков и т. д.;

в) определить эффективность принятых мер по резервированию системы, защиты ее от ложных срабатываний и т. п.

Статистическое моделирование в сочетании с непосредственным анализом результатов дает возможность не только количественно оценивать надежность сложных систем, но и находить структуру, удовлетворяющую требованиям по надежности при заданных огра-

ничениях на весовые п другие показатели, и способствует, таким образом, решению задачи синтеза системы.

Ниже будет рассмотрена только вторая группа методов иссле­ дования надежности судовых электроэнергетических систем.

Для моделирования процесса функционирования СЭС на ЭЦВМ необходимо формализовать этот процесс. В целях исследования надежности процесс функционирования технической системы можно

(при отказе) в цифровых разрядах ячейки памяти машины. При

xokl>

Ukl -\~XBkl\

^0*2 =

Kk2 —tok2 +T B * 2 !

. )

1 Под событием здесь понимается отказ или восстановление любого элемента системы.

226

системы.

Допустим, что мы умеем моделировать на ЭЦВМ поток событий (7-115), описывающийся моментами их наступления tQl в соответ­ ствии с выбранными (или заданными) законами распределения собы­ тий для всех элементов исследуемой системы. Спрашивается, каким

&m Act Aci-i

Рис. 65. Графическое изображение процесса функционирования резервированной восстанавливаемой СЭС, состоящей из разнотипных элементов.

образом можно использовать эту информацию для оценки надежности исследуемой системы?

Отметим здесь два принципиально различных подхода, которые назовем условно «параллельным» и «последовательным» решением поставленной задачи.

При «параллельном» решении необходимо для каждого /е-го элемента системы (k — 1, 2, . . ., m) сначала определить интервалы времени xokl и т ^ , а затем по формулам (7.118) вычислить моменты отказов и восстановлений toki и teki, которые могут произойти при выбранных законах распределения за весь интересующий нас период функционирования системы ta. Выполнив такую работу параллельно по всем элементам и за весь период ta, можно далее (путем сортиров­

Затем из множества состояний |Л с £ } необходимо выбрать только такие, которые приводят к отказу исследуемой системы. Подсчитав число L опытов, в которых наблюдались отказы системы за время ta,

и зная общее число проведенных опытов N*, можно оценить вероят­ ность отказа системы за период ta по частоте наблюдавшихся отказов:

Q c * ( g = д г * .

При «последовательном» решении задачи сначала моделируются

вого их отказа). По наименьшему из полученных моментов времени формируется новое состояние системы Ас1 и одновременно оно ана­ лизируется на отказ. Затем моделируется момент времени следующего изменения состояния для элемента, имевшего наименьший момент первого изменения и использованного для образования Ас1. Сформи­ рованный новый момент времени записывается в память ЭЦВМ на место стираемого при этом первого момента. Опять определяется наи­ меньший из записанных моментов времени изменения состояний эле­ ментов, формируется и анализируется второе состояние системы Л с 2 и так далее (последовательно) до тех пор, пока момент времени изме­

«отрицательным» результатом (отсутствием отказа системы) и дается команда на повторение опыта. Если же в некоторый момент времени /

число всех опытов («отрицательных» и «положительных» исходов), соответствующих времени функционирования системы [0, ta].

Сравнивая два указанных подхода к определению вероятности отказа системы, следует отметить, что «последовательное» решение задачи в большей мере соответствует естественному процессу функ­

Формирование потоков случайных событий (отказов и восста­ новлений) можно осуществить методами, разработанными под ру­ ководством Н. П. Бусленко для математического моделирования случайных процессов на цифровых вычислительных машинах.

располагать большим массивом случайных чиселПри этом коли­ чество таких чисел, используемых для статистического моделирова-

1 «Параллельное» решение заранее предусматривает независимость функциони­ рования элементов в системе, а при «последовательном» решении можно учесть и за­ висимые события.

228

пия процесса, колеблется в достаточно широких пределах. В простей­ ших случаях оно исчисляется десятками тысяч, а для сложных задач может достигать сотен тысяч и более.

Возможны два способа формирования случайных чисел на ЭЦВМ. Первый способ предполагает выработку случайных чисел при помощи специальных электронных приставок (так называемых генераторов, или датчиков, случайных чисел), связанных с ЭЦВМ, т. е. путем физического моделирования некоторых случайных процессов, а второй— выработку случайных чисел самой машиной (без приставок) по специальным алгоритмам.

Преимущество первого способа состоит в том, что генерирование случайных чисел специальными приставками обеспечивает подлин­ ную случайность моделируемого процесса и практически неограни­ ченное количество случайных чисел при весьма малой дополнитель­ ной загрузке оперативной памяти самой машины. Однако этот способ имеет и некоторые недостатки, связанные с необходимостью поддер­ живать строго стационарный режим подачи напряжения на генератор случайных чисел, а также с дополнительными затратами труда и средств.

Следует указать и на трудность контроля точности и достовер­ ности результата из-за невозможности двойного просчета на ЭЦВМ, так как при повторных просчетах генератор случайных чисел будет выдавать совершенно другие случайные числа и контрольные суммы будут не совпадать. Тем не менее при систематическом использовании метода статистических испытаний на ЭЦВМ универсального назна­ чения целесообразно иметь хорошо проверенный датчик случайных чисел.

Второй способ получения случайных чисел, широко распростра­ ненный в настоящее время, заключается в следующем. Случайные числа формируются в ЭЦВМ с помощью некоторого рекуррент­ ного соотношения. Это означает, что каждое последующее число t,. образуется из предыдущего (или группы предыдущих чисел) путем применения некоторого алгоритма, состоящего из арифметических и логических операций. В качестве исходного числа £ 0 берется любое наперед заданное число из интервала [0, 1]. Иногда его значение бывает заранее неизвестно и выбирается случайно каким-либо способом. Полученная последовательность чисел, не будучи по су­ ществу случайной, тем не менее может удовлетворять различным статистическим критериям случайности. Поэтому такие числа назы­ вают псевдослучайными. Алгоритмы для получения псевдослучайных чисел описаны во многих работах.

Главным недостатком псевдослучайных чисел является трудность теоретической оценки их статистических свойств. Кроме того, все выработанные программным способом последовательности псевдо­ случайных чисел являются периодическими и поэтому даже с прак­ тической точки зрения очень длинные последовательности не будут случайными. Существует ряд методов «улучшения» последователь­ ности псевдослучайных чисел, например путем периодического «возмущения» программы.

229

Определив случайные числа хок[, х м одним из наиболее удобных способов и вычислив по формулам (7.118) моменты отказов и восста­ новлений toki и tBk[ для каждого элемента системы, необходимо полу­ ченные значения toH и ^ записать в память ЭЦВМ с признаком отказа Аок или восстановления Аьк для k-ro элемента (рис. 66).

Таким образом, в одной ячейке или группе ячеек (если число элементов системы превосходит число разрядов ячейки памяти

все т элементов системы были исправны) и записи этой информации в ячейках памяти ЭЦВМ можно приступить к формированию пер­ вого состояния системы Ас1. Для ЭЦВМ необходимо состояние Л с 1

230

нии Ас1 систему нельзя считать отказавшей, то приступают к форми­ рованию второго состояния у Аз-го элемента: определяют длитель­

Снова определяют наименьший из всех записанных в памяти ма­ шины моментов времени изменения состояния элементов, т. е. tc2 =

Действительно, если при tc2 происходит восстановление k-vo элемента, то в соответствии с (7.119) имеем

4a = A a V в* = 0,1111110111111111 V

V 1,0000001000000000= 1,1111111111111111,

231

что свидетельствует об отсутствии отказов в системе в данный момент.. Если же при ^с 2 возникает еще один отказ у х-го элемента, то в соот­ ветствии с (7.120) имеем

СЭС Azl (t = 1,2,3, . . .) до тех пор, пока не будет зафиксирован первый отказ системы в данном опыте за время, меньшее, чем ta, или пока tc! не станет больше ta [при оценке вероятности безотказной работы СЭС за время ta, т. е. Rc (ta)}.

Отметим здесь одно важное обстоятельство, которое будет ис­ пользовано при анализе состояний системы.

Для сокращения объема вычислительной работы целесообразно анализировать не все моделируемые машиной состояния системы Aci, а лишь те, которые в принципе можно подозревать на отказ. Те же состояния системы, которые формируются после очередного восста­ новления какого-то элемента, можно не анализировать. Их нужно лишь запомнить, что необходимо для формирования следующих со­ стояний системы. Если расчеты ведутся до первого попадания си­ стемы в неработоспособное состояние, то указанное разделение мно­ жества состояний {Ас[\ на подмножества анализируемых состояний А и неанализируемых состояний В легко осуществить, используя зна­ ковый признак состояния элементов, а именно все состояния Ас1, выражающиеся положительными числами (т. е. числами, имеющими

232