книги из ГПНТБ / Рябинин И.А. Надежность судовых электроэнергетических систем и судового электрооборудования учебник

мощью ее структурной

схемы является очень наглядным, но,

как правило, неполным и

неоднозначным.

является

наиболее

четким, полным,

однозначным и экономным,

но пока

еще мало

распространенным

и непростым.

5)

Г2

ГРЩ2

(*№

ГЩ1

К1

Рис. 42. Схема СЭС

без перемычки:

а — принципиальная;

б — структурная.

способности, компенсируя их взаимные недостатки и дополняя одно

'

описание другим. Особенно

нужно обратить внимание на совершен-

,'

ствование формализованной

записи условий работоспособности, как

'

вания

надежности системы .с разветвленной структурой,

которая

может находиться только в двух характерных состояниях: в.состоя­

нии полной

работоспособности

(у =

1) и в состоянии полного отказа

(у — 0). При этом предполагается,

что действие системы детермини-

рованно зависит от действия

ее элементов, т. е. что у является функ­

цией

A - J ,

х2,

• • •,

- V / , ,

.

. .,

хт,

которые в свою очередь могут нахо-

диться также только в двух несовместных состояниях: либо в состоя­

нии полной

работоспособности

(xk

— 1), либо в состоянии полного '.

отказа

(xk =

0).

В целом это предположение является до некоторой -

степени

условным и ограничительным, так

как

оно исключает (хотя

и не полностью) возможность частичного функционирования

системы.

Однако

оно

обладает

тем

достоинством,

что

приводит к

модели,

которая имеет строгое аналитическое решение и вдобавок

является

достаточно реальной.

Функцию

алгебры логики,

связывающую

состояние

элементов

с состоянием

системы,

у {xlt

Л'2,

. . ., л-ш) = у (х),

(6.5)

будем называть функцией

работоспособности

системы.

^Из самого названия структурной схемы

системы следует, что

она является

графическим

образом системы,

призванным

раскрыть

буквой х с различными номерами, произвольно присвоенными этим

элементам) и одинаковым графическим изображением (в виде кружка

или квадрата). Способ соединения элементов (не в

электрическом,

а функциональном смысле) и раскрывает структуру

системы.

Запишем теперь в матричной форме функцию (6.5)

для системы,

изображенной

на рис. 42:

У

хь . .

X\X^XbXf

—

ХуХ3Х 5

х2х±х$х7

1 X^X^XQ

Последовательным соединением

элементов

в системе

(с точки зре­

дизъюнкции

(1.32)

ранга г.

Исследуя теперь функцию (6.6), видим, что она описывает рабо­

тоспособность

так

называемой

последовательно-параллельной

струк­

туры. Вынеся общий

элемент х7 за скобки и заменив элементарные

конъюнкции

ранга

3

новыми

одноместными переменными

zx v и г2,

получим выражение

У(х-1

х,) =

(6.7)

z2

с «элементом» (гх\/го),

представляющим собой параллельное соедине­

ние элементов zx и 22

(т. е. элементарную

дизъюнкцию

ранга 2 ) . /

После формализации условий работоспособности системы с по- ;

мощью

функций

алгебры

логики

необходимо

перейти к

вероятно- •

стной

функции

типа

пли

Р\у(хх,

xm)

=

\\ =

Rc

( 6 . 8 )

P{y(xlt

....

xm) = 0\=Qc,

( 6 . 9 )

где Rc

— вероятность

безотказной

работы

системы;

Qc

— вероятность

отказа

системы.

Аналогично

для элементов

будем

иметь

P\X/l

=

\}=Rk;

( 6 . 1 0 )

P{xk

=

Q\

=

Qk.

( 6 . 1 1 )

В общем случае переход от ФАЛ произвольного вида к соответ­

ствующей вероятностной

функции

является

достаточно

сложным.

тарной конъюнкцией

ранга п

ус=&хк.

( 6 . 1 2 )

Чтобы определить

вероятность

безотказной

работы такой системы

в соответствии

с формулой ( 6 . 8 ) ,

необходимо

вычислить

RC = P[

п

l l .

( 6 . 1 3 )

Применив

теорему

умножения

вероятностей,

получим

Яс = Р\х1

= 1)Р{хя = 1 \хх=

ЦР\х3=

1 \(xlXi)

= 1} . . .

...Р\ХП=:1\(ХХХ2

. . . Ха_1)=Ц.

( 6 . 1 4 )

Если события хл =

1, л:2 =

1 ,

• • •, хп

— 1

независимы

в сово­

купности, то формула

( 6 . 1 4 ) существенно

упрощается:

Rc

= P\Xl=l\P\x2=l\

...

Р {хп = 1} = RiR*

...

Rn = П

Rk.

*=i

(6-15)

1

См. § 3.

тельной

структуры

с учетом формулы ( 6 . 9 ) . Сначала преобразуем

функцию работоспособности

( 6 . 1 2 ) с помощью теоремы де

Моргана

( 1 . 2 2 ) к

виду

\у(хъ

х„) =

0] =

\у(хъ

х„) = 1 Г =

= | &хк |' = у 1

4 = у i х к

= 0 .

( 6 . 1 6 )

Для

вычисления

вероятности

отказа последовательной

системы

Qc = W v * * = o }

( 6 . 1 7 )

стных

событий

Qc =

S Р W = Щ -

S

Е Р №

= 0) & (л-,. =

о)} -|-

*

i

к

+ Е

Е

Е

^ { ( * * = 0) &

(.V,. = 0 ) &

{х, =

0 ) } -

|-

л. ( _ 1 ) « - • / > { j U ;

= o J ,

( 6 - 1 8 )

где суммы распространяются

на различные значения

индексов k, I, j

и т.

д.

0 , х2

0 , . . ., хп = 0

Если события

л'х =

=

независимы

в сово­

купности, то

формула

( 6 . 1 8 )

упрощается:

Qc = £ < ? * - Е Е Q k

Q t + Е Е Е Q k Q i Q , -

i - ( - 1 ) '

п Q k .

k

I

k

/

i

к

к~\

( 6 . 1 9 )

Формула ( 6 . 1 9 ) выражает вероятность суммы любого числа неза­

висимых отказов

через

произведения вероятностей отказов,

взятых

формулы ( 6 . 1 5 ) после перемножения

всех сомножителей 1 — Q k и

группирования членов, содержащих

произведения из Q k по одному,

по два и т. д.

Ус

V

хк.

(6.21)

л=1

Тогда вероятность безотказной

работы

системы будет

равна

V хк

=

1

(6.22)

а вероятность отказа

QC = P

к=1

(6.23)

- I - ( - 1 ) ' " - > { & xk= l).

(6.24)

10 И . А . Р я б и п н н

145

Если события А'! =

1, А\, =

1, . . ., х„, =

1 независимы в со­

вокупности, то формула

(6.24) примет БИД

Яс = ЪЪ-%Ъ

ЭД

-!- S

Е S /?*/?,/?, -

A-

i

/.•

/

С I!

in

( . (_!)»>-'

П

(6.25)

ft=i

а выражение (6.23) преобразуется

в

формулу

Qc

= Р \х\ =\)Р{х'2

=

\)

... Р \хт

=

1] =

=

Р'{д:1 =

0 } / ' { ^

=

0}

. . . Я|А-„, =

0} =

т

-

Qi<?2 • • • Q* =

П Q,.

(6.26)

/.•-=1

Пренебрежение статистической зависимостью отказов в случае

параллельного

соединения

элементов

приводит

к з а в ы ш е н и ю

расчетной надежности,

что необходимо

иметь

в виду и принимать

соответствующие меры.

имеются резервные элементы, обеспечивающие ее исправную

работу

в условиях, когда отказывает один или несколько основных

элемен­

конструкцией

пли местоположением в системе.

В случае

смешанной, последовательно-параллельной структуры

при электрическом

расчете

последовательно-параллельных

цепей,

т. е. поэтапно.

Пример 16. Определить вероятность безотказной работы системы,

функция

работоспособности

которой описывается ФАЛ (6.6),

(6.7).

Пусть

отказы

всех

элементов будут

событиями,

независимыми

в совокупности,

тогда

Rc

=

Р

\ [* 7 ( * 1*3*5

V * 2 * 4 * < ) ) ] |

=

= Р \х7

=

1} Р \ (xlXax6

V * W o ) = Ц-

(6-27)

Здесь

уже возникает

первое затруднение, а именно следует ре­

шить, рациональнее

ли

преобразовывать

выражение

вида

Р КА-ЛА^ \/ А-2А-Л) -

1}

(6.28)

последовательных

структур — формулы (6.13)

и (6.15), что

объясня­

ется удобством и простотой этих формул для случая

конъюнкции

независимых

событий.

С помощью теоремы де Моргана можно доказать

справедливость

следующего

предложения:

вероятность

равенства

единице

функ­

ции у

(*!,

. . .,

хп),

представленной в БДНФ, можно

найти

по ее

конъюнктивной

форме

из

выражения

Р\у{хъ

X„)=1} = P J

VK,-

=

i u

1

'»

[Ki=

=

1

= 1 -TIP

1)

=

t/l

P [Kt=

= 1 -

П

0},

(6.29)

где Ki — независимые элементарные конъюнкции различных

рангов.

Применяя преобразование

(6.29) к

выражению (6.28),

получим

Р

\ {ххх3хъ

V * 2 * Л )

=

Ц =

Р { [(хгх8хаУ

(ХоХ4хе)'}'

=

1} =

=

1 -

Р

| ( х , г А ) '

=

1} Р\(х2х,хбу

=

1}

=

-

1 -

[1 -

Р

j ( . w 5 )

=

\\]Ц-Р

[(х.2х,хв)

=

1} ] =

=

1 -

[1 _

Р | X l

=

1} Р \х3

=

1} Р \хъ

=

1}] X

X

\\

— Р \х.г =

\ \ Р {*4 =

1} Р {хв =

1 } ]

=

=

1 _

[1 — R^Rt

] [1 — # я # 4 # в ] .

(6.30)

Подставляя

(6.30)

в

(6.27),

окончательно

получим

Re

=

R7

{1 —

[1 — R±R3Rb]

[1 — RsRiRe]\.

(6.31)

описать

в

виде полинома

Rc

=

R {1 — [1 — R3}2] = R \ \ — [1 — 2R3

+ R*]\ =

= R \2RS — R«\ = 2R* — R1,

(6.32)

10*

147

RZ

= Р Щ Л - Л Х ^ ) V

(X-1.W,)}

=

1} =

= Р

\(х1ХзХбх7)

-

1} +

Р { ( л : . , в д ' :

)

= 1} —

-

Р

{[(х.х^х,)

-

11 &

[ ( A V W - ) =

1 1} =

- RtRsRsR,

+ R3RtRaR,—

Р\(х,хах&х7х,хАх,)

=

1} -

=

RiR3RbRi

+

RSR-IRIRT—

RiRaRbR-RtRiR*

----

=

2R*— R7.

(6.33)

дежности

и живучести СЭС между

главными распределительными

и другими

щитами устанавливаются

специальные перемычки, обла­

дежностью,

не

равной

единице.

Например, если связать ГРЩ1 и ГРЩ2,

изображенные на рис. 43,

перемычкой

Я

(как это и делается фактически), то поставленную

в § 21 задачу

можно

описать функцией

работоспособности

у{хъ ...,х„) =

(6.34)

х, л".

ХХ

А,; X-

X , А-4

Хй

X-

Х.2 Х 4

А"8

А'з

А'5

рис.

43, б представлена структурная схема системы, принципиаль­

ная

схема

которой изображена на рис. 43, а.

Всякая

ФАЛ, записанная

через конъюнкцию и дизъюнкцию (без

отрицания),

задает

так называемую монотонную функцию. Более

строгое определение

монотонных ФАЛ состоит в следующем.

Функция у (х) называется

монотонной,

если для любых

наборов

а =

(аг, а 2 ,

. . ., ат)

и р =

(рх , р 2 , . . .,

р,„) таких, что ак

=sc р ь

имеет место

соотношение

(6.35)

& xk,

(6.36)

1)

\ГРЩ2

1

А5

Г2

hi

А1

П

£2._ПгЩя

К1_

т п т

L * _ _ _ J

5)

грщг

Г2

К2

ГРЩ1

К1

Рис. 43. Схема СЭС с перемычкой П:

а — принципиальная;

б — структурная.

ного набора работоспособных

элементов,

абсолютно необходимых

для осуществления данного варианта работы системы.

Минимальное сечение отказов

системы

представляет собой такую

S,-=

& 4 ,

(6.37)

где Ks- означает множество

номеров, соответствующих

данному

а) либо

в виде дизъюнкции

всех

имеющихся

кратчайших

путей

успешного

функционирования

у(хъ

хт)

d

d

(6.38)

V

&i =

V

&

хк

/=1

/=1

/; f К

I

у [Xh . . ., Хт) = & S'j =

&

V хк

(6.39)

1=1

/=1

k £ K S ,

кратчайших путей успешного

функционирования:

у(хъ .. ., у8) =

= Х\

Х3

Х§

\у

(6.40)

Хх

Х3

Л ' з

Х^ Х6

X;

QJ о

Х_у Хй

x~t

Л 2

# 4

Ч

х8

Хи

х-

у(хи

хв) = Xi

Xl

Xl

x%

x3

Xy

Xi

хъ

Xl

x2

Xl

x3

Xi

x6

Xo

X й

Xa

xb

x8

xs

= \ Si S2 . . . Si

(6.41)