Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Рябинин И.А. Надежность судовых электроэнергетических систем и судового электрооборудования учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

10.14 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 277 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Таблица 3

Точечные и интервальные оценки числовых характеристик, вычисленные для случайной величины Т по данным выборок табл. 2

Ч и с л о в а я								Н о м е р выборки
Ч и с л о в а я
х а р а к т е р и
	стика			1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	у1	^*		2184	2411	1389	2767	2101	1970	1379	3143	2364	1747
	а* [Т]			2690	3240	1520	2690	2074	1380	1140	2880	1667	2096
	а [Т]			2772	3300	1556	2758	2126	1415	1170	3033	1710	2150
	a!f			1,270	1,370	1,120	0,996	1,012	0,718	0,847	0,955	0,723	1,230
				620	738	348	616	475	316	262	690	382	480
Т х ^ Т —				1164	1197	816	1752	1319	1420	949	2011	1736	957
—		г2а[Т]
T2^f			-f	3204	3623	1962	3784	2883	2490	1809	4275	2992	2537
+	zs o [ f]
Г 1 = Г - 2 n / x \|				1565	1730	997	1987	1507	1415	990	2260	1696	1253
Г 2	= Г . 2л/х?			3296	3640	2096	4176	3170	2970	2080	4750	3568	2637
D [TJ-IO"0				7,648	10,88	2,421	7,606	4,520	2,062	1,358	9,200	2,918	4,613
а [£>]• 1(Гв				3,791	5,600	0,774	2,678	1,180	0,335	0,423	2,600	0,878	1,539
				1203	1292	1074	1790	1609	1196	814	2220	1215	1445
	а, [Г]			3735	4490	1922	3470	2543	1640	1430	3670	2080	2675
Ч и с л о в а я								Н о м е р выборки
Ч и с л о в а я
х а р а к т е р и
	стика			11	12	13	14	15	Ш	17	18	19	20
Y" J1 *				1588	2174	1904	2078	1932	2132	2422	1396	1718	1536
	a* [T]			1510	1776	1643	1804	1367	2190	1813	1413	1455	1073
	a[T]			1549	1821	1685	1850	1402	2245	1860	1450	1491	1104
	a/f			0,974	0,837	0,884	0,890	0,725	1,052	0,767	1,038	0,867	0,718
				346	407	377	414	313	501	416	324	333	247
	5 [T]
fl	=	f —		1019	1504	1284	1396	1418	1305	1738	864	1170	1131
— z2 a [f]
T 2 =		f	-!-	2157	2844	2524	2760	2446	2959	3106	1928	2266	1941
+	*2ff		[f]			1366	1490	1387	1530		1002	1232	1100
r 1 = f -		2/i/yJ		1139	1540	1366	1490	1387	1530	1737	1002	1232	1100
f 2 = f		-2,1/xl		2396	3280	2870	3130	2918	3218	3654	2107	2590	2318
b [T]-io-»				2,392	3,317	2,838	3,423	1,960	5,030	3,454	2,096	2,221	1,219
a [ D ] 1 0 - °				1,128	1,202	1,202	0,812	0,376	2,295	1,597	0,894	0,774	0,466
	aj	m		734	1158	1075	1475	1159	1120	910	729	974	670
	ст2	[Г]		2060	2300	2129	2182	1606	2940	2470	1890	1870	1408

величина действительно распределена по нормальному закону с па раметрами

М[Т]

= Т = 2000

с;

D [f] = ^р-

= ^-

= 200 ООО с2 .

На рис. 21 представлены

теоретическая

F (Т) и

эмпирическая

F* (Т) функции распределения случайной величины Т,

хорошо

согласующиеся друг с другом. Функция F (Т) построена по формуле

/?(Г) = 0 , 5 + Ф 0

( - ^ = ^ - ) ,

(3.49)

где

Ф0 (z)— нормированная

функция Лапласа, а 447 есть

[Т\.

табл. 3

приведены

вычисленные

коэффициентом

доверия

б 2

0,90 (z3

= 1,645) приближенные двусторонние границы

T^f-zp

[Г], f2~f

z2a[f]

для

всех

выборок, а

на

рис. 22

светлыми

полосами

изобра

жены

соответствующие

доверительные

интервалы

/ 0 , 9 [7\,

Т2].

Зная

в данном случае закон

распределения

величины

Т (или оцени

вая его по выборочным данным), построим также и точные довери тельные границы Т1 и Т2 по формулам (3.47), (3.48). Для этого сна чала, пользуясь табл. 2.2а из работы [5], найдем

х [1007!%, 2л] = х [5%, 40] = 55,758; х [100ах %, 2я] = х [95%, 40] = 26,509,

а затем вычислим точные двусторонние границы для Т по формулам

Т =	Т-2п	тр	Т-2п
1	55,758	- —	26,509
(см.'табл. 3 и рис. 22). Мы видим,		что точные доверительные интер

валы оказались несколько шире приближенных. Это полностью соответствует сказанному выше о построении точных доверительных границ.


Из рис. 22 весьма наглядно видно			и существо			произведенного
уточнения: из двадцати приближенных			интервалов			только	пятна
дцать накрывают	истинное значение параметра				Т = 2000 с,		а из
двадцати точных	интервалов — девятнадцать,			т. е.		95%.
На основании этого примера можно заключить, что даже при
хорошем согласии статистической		функции		распределения			F* (Т)
с нормальным законом N (Г; Т, а		[Т])	при я =		20 и оценке а [Т]

по формуле (3.34) приближенные доверительные интервалы факти чески накрывают истинное значение математического ожидания Т с коэффициентом доверия 62, меньшим, чем расчетное б2 . В рассмотрен-

*	=	15	*
ном примере б2	=	-^Q- =	0,75 < 0,90.

Номер	i
Номер
выборки

—

1000

2000

3000

4000

5000

Mill,с

Рис; 22. Приближенные (светлые полосы) и точные (темные полосы) двусторонние доверительные интервалы для математи ческого ожидания Т = 2000 с, построенные по данным 20 выборок из одной и той же генеральной совокупности

§ 11. Оценка интенсивности ординарных потоков отказов. Определение функций, характеризующих надежность судового электрооборудования

Выше мы познакомились с методами статистической оценки самых простых количественных характеристик надежности. Опре деление же функций, характеризующих надежность судового элек трооборудования, представляет собой более трудоемкую и сложную задачу. Учитывая специфику функционирования судового электро оборудования и особенности фиксации отказов в судовых условиях

(см. § 8), можно	рекомендовать	следующий	путь извлечения	ин
формации о надежности восстанавливаемых			изделий.
Первоначально	целесообразно	определить	функцию со* (t),	т. е.

интенсивность потока отказов за все время наблюдения, а также

функцию отказов Q* (t) = | со* (x)dx. Вид этих функций позволяет

обнаружить ряд таких свойств, которые говорят, например, о ста рении или приработке элементов, стационарности или нестацио нарности потока, статистической устойчивости результатов наблюде ния или большой разбросанности их.

Затем, в зависимости от принятой гипотезы о типе потока отка

зов, можно определить начало функции							ненадежности		Q* (t). Так,
для пуассоновского		потока		отказов	с	переменным		параметром
	Q* () = 1 — ехр ( — ( со (х) dx] 5									(3.50)
				V	о		/
для рекуррентного потока				отказов без запаздывания"
	Q* (/) = Q* (/) — \Q* (t-х)						dQ* (х)			(3.51)
				о
и для	рекуррентного		потока отказов			с	запаздыванием
				t
			Q* (t) = j q* (x) dx;							(3.52)
				о
				t
	q* (t) = со* (f) — J©( - x) f{x) dx,									(3.53)
				о
где / it) — плотность			распределения			времени исправной				работы
	между	отказами;
Я* (0 — статистическая				плотность		распределения			времени ис
	правной работы от начала процесса восстановления до
	первого	отказа.
При любой конечной длительности наблюдения потока отказов
нельзя	определить всю функцию вероятности отказа							Q* it)		в диапа

зоне 0 — 1,0 и, как правило, удается «проследить» только начальную часть этой функции. В зависимости от вида функции Q* (f) и ее

значений на интервале наблюдений [0, t] можно ставить вопрос о сглаживании этой функции теоретической кривой Q (t). Если за

время наблюдения	[0, t]	вероятность Q* (t) оказывается небольшой,
то нет и достаточно	объективных оснований для представления ее
аналитической функцией		и тем более для экстраполяции в область

больших времен. Если же, наоборот, за время эксплуатации удается проследить функцию ненадежности в большом диапазоне ее измене

ния, то сглаживание					этой	функции аналитической функцией Q (t)
особых	затруднений				не вызывает.
Мгновенная интенсивность ординарного потока отказов в соот
ветствии		с формулой			(2.42)	равна	следующему		пределу:
			(o(0 = lim P l l i > t				+ L t ]	+ o(At),			(3.54)
где Рх	[t,	t + At]		— вероятность			появления одного отказа				в про
межутке времени				[t,	t -4- At].
На практике обычно определяют не мгновенную, а среднюю
интенсивность потока					отказов
			ca[t,t-\-Ai]			= co(f, At) = Р ] [ / ' д ; +			Л < 1		(3.55)
на конечном интервале времени [t,							/ +	АЛ, причем величина			интер
вала выбирается отдельно в каждом конкретном случае.											Таким
образом,		средняя		интенсивность ординарного					потока	отказов есть
не что иное, как вероятность одного отказа на конечном										промежутке
времени	[t, t +		At],		отнесенная к длительности этого промежутка.
Иначе говоря,			это усредненная по времени вероятность отказа при
условии, что отказавшие элементы мгновенно									заменяются новыми.
Выше (§ 9) мы рассмотрели способы "оценки									вероятности		отказа
по частоте, которые применительно к средней интенсивности											потока
отказов	позволяют			оценить		ее либо точечно:
					<o*{t,At) =		' д ,	,			(3.56)
либо интервально:

где	со* (t, At) — статистическая	средняя интенсивность
	потока отказов	на интервале [t, t +
	+ A t ] >

сон (t, At) и шв (t, At) — нижняя и верхняя доверительные гра ницы для средней интенсивности потока отказов на интервале [/, t-\- At].

Формулу (3.56) можно записать

в явном виде:

со* (/, At)

= m{t,Al)M

(3.58)

где n(t,

At),

in (t, At) — число отказавших элементов и общее число

наблюдаемых

элементов

на интервале

времени

[t,

t -\- At] соответ

ственно.

Необходимо заметить,

что здесь

отличие

от

формулы

(3.2)

под m(t,

At)

следует

понимать

обязательно

постоянное

число

на

блюдаемых элементов

в п р о м е ж у т к е

времени

длительностью

тогда как при оценке

вероятности

Q(t,

At)

под т{1) мы

понимали

шШ, te''t/ч

Рис. 23. Эмпирическая функция со* (t), ее верхняя шв (t) и ниж няя со,, (t) доверитель ные границы.

общее число элементов в	м о м е н т времени	t [которое за промежу
ток At при п (t, At) =f=Q	всегда уменьшается	ввиду отсутствия восста

новления]. Численно величина т (t, At) равна in (t), но тем не менее

Pl(t,Ai)^Q\ttAi),

(3.59)

так как в первом случае я (г, At) выражает собой число отказов — замен из постоянного множества т (t, At), а во втором— из умень шающегося 1 .


Если за длительный период эксплуатации удается					зафиксиро
вать отказы	тех или иных	технических	изделий,	а общее		число
наблюдаемых	однотипных изделий достаточно велико,				то,	разбив
весь участок	наблюдения на	интервалы	времени	длительности At

(в общем случае неодинаковые), можно построить ступенчатую функ

цию со* (t), а также ее верхнюю и нижнюю доверительные		границы
шв (0 и со; (t) (рис. 23).
Главная информация об истинном виде функции со (t)		сосредо
точена в функции со* ((). Однако, учитывая	случайный	характер
1 Кроме того, следует иметь в виду, что за время	в первом случае некото

рые изделия могут отказать несколько раз, а во втором — не более одного раза.

5 и. А . Р я б н п и п

величин со* (t, At), целесообразно воспользоваться интервальными оценками для со (t, At). Тогда заштрихованную на рис. 23 зону следует понимать как доверительную область 50 : ! значений функ ции со (t), совместимых с опытными данными. Или, иначе, это такая область, которая в каждом временном интервале Ati с коэффициен том доверия не менее б 2 накрывает истинное и неизвестное нам зна чение функции о) (t). Так как доверительная вероятность 82 выби рается обычно порядка 0,90 или 0,95 (т. е. б 2 Ф 1), то доверительная область S0,, как правило, не обеспечивает 100%-иого накрытия искомой функции со (t). Увеличение 52 приводит к расширению зоны накрытия, но одновременно и к увеличению неопределенности в вы

боре	истинного вида функции со (t). Уменьшая		коэффициент дове
рия	б2 , мы сужаем зону S0a	и сталкиваемся в этом случае с другой
неприятностью — неполным		накрытием функции	со (t).

Конечной целью статистического исследования надежности изде лий, находящихся в эксплуатации, является определение функций распределения времени исправной их работы до первого отказа Fx (I.) или между отказами F (/). В том случае, когда все изделия поступают

вэксплуатацию одновременно, эти функции равны: Fх (t) — F (i) =

—Q (t). Для определения функции ненадежности Q (t) необходимо

знать распределение	случайных	величин	Т о 1 , т. е.	иметь	информа
цию о длительности	исправной	работы до	первого	отказа	большого

числа изделий. Однако по эксплуатационным документам чаще всего можно установить только число отказов, имевших место за какой-то ограниченный промежуток времени (навигацию, автоном ное плавание и др.), но не точные их даты. В тех случаях, когда удается точно зафиксировать некоторые реализации случайной вели чины То1, следует иметь в виду, что их не всегда можно рассматри вать в качестве представительной выборки. На практике совокуп ность случайных величин То1 зачастую образуется по отказам наиме нее надежных элементов. Те же элементы (а их, как правило, боль шинство), которые за период наблюдения не отказали ни разу, никак не учитываются при построении функции Q* (t) = Р* {То1 <Г. t\.

Иначе обстоит дело, если по эксплуатационным данным строится функция со* (t); в ее определении участвуют абсолютно все элементы, находящиеся в данный момент в эксплуатации.

По виду ступенчатой функции со* (/) или кусочно-линейной функции Q* (t) можно уже оценить хотя бы знак погрешности, возникающей от замены истинного рекуррентного потока пуассоновским, более удобным для вычисления.

При	спадающем характере зависимости со* (t) [или		выпуклой
кверху	функции Q* (t) ] замена	рекуррентного потока	пуассонов-
ским приводит к некоторому завышению вероятности отказа:
	Qn (0 >	QP (0.	(3-60)

где Qn и Qp— вероятности отказа соответственно пуассоновского и ре куррентного потоков. Это завышение иногда можно допустить, так как ошибка расчета идет в запас надежности.

При	возрастающем	характере зависимости со* (I) [или выпуклой
книзу	функции Q* (I) ] указанная		замена		приводит		к занижению
фун кции н ен адежности:
		Qn (0 <	QP	(0,			(3-61)
что недопустимо, особенно при ИТ >				0,5.		со* (I)
При	стационарном	характере	зависимости			со* (I)	[или линей
ности функции Q* (t)] вероятности отказов					Qn	(/) и Qp	(/) полностью
совпадают:		Qn (0 =	Qp И),				(3-62)
		Qn (0 =	Qp И),				(3-62)

так как в этом случае имеет место простейший поток отказов (ста ционарный и без последействия).

Следует заметить, что при любом законе распределения времени


исправной	работы функции		£2* (/), Qn			(/) и Qp (/) на начальном уча
стке практически		совпадают	(в диапазоне				0—0,10). Поэтому стати
стическую	функцию Q* (i)		в	первом		приближении		в указанном
диапазоне	можно	принять	и	за	начало		функции	ненадежности:
		Q* (0		^	Й* (/)•			(3-63)

Прямая проверка типа исследуемого случайного процесса отка зов-замен предусматривает статистическое доказательство незави симости либо чисел отказов, наблюдающихся в неперекрывающихся промежутках времени, либо промежутков времени между отказами.

Учитывая практические трудности такой проверки и рассмо тренные выше соотношения (3.60)—(3.62) между функциями нена

дежности Qn	(0	и Qp	(t),	целесообразно после определения характе
ристик со* (/)	и	Q* (f)	далее		вычислять	Qn (t) пли	Qp (t) в зависи
мости от того, что больше.
Остановимся		теперь		на	способах	вычисления	характеристик
надежности для		рекуррентных потоков				отказов.

Если по виду ступенчатой функции со* (/) можно определить интенсивность потока отказов со (t), то в соответствии с формулой (2.61) теоретически можно найти и плотность вероятности отказа для рекуррентного потока, разрешив интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно q (/):

		t
q(t)	=	a (t) — f со (x) q (t — x) dx.			(3.64)
		6
Уравнение (3.64)	может быть		решено	различными	способами:
1) аналитически [для некоторых простых				функций со (t)]; 2) с по
мощью преобразования		Лапласа;	3) численно (методом		последова

тельных приближений). В последнем случае для облегчения и уско рения расчетов желательно использовать цифровые вычислитель ные машины (ЦВМ) или аналоговые вычислительные машины (АВМ) с дополнительной приставкой типа БРВ (блок регистрации и воспро изведения).

Не останавливаясь на изложении первых двух способов, рас смотрим более подробно метод последовательных приближений, являющийся основным практическим методом решения уравнений типа (3.64). Согласно этому методу производятся последовательные вычисления по рекуррентному соотношению

fk+i (t) = » (0 - J со (х) qk(t - л-) dx

(3.65)

до тех пор, пока значения функций qk (t) и qk+l (i) не будут прак тически совпадать. В качестве нулевого приближения q0 (/) можно взять известную функцию со (г!), т. е. положить, что

Яо (0 = w (0-

(3-66)

Рассматриваемый метод может дать только приближенное реше ние интегрального уравнения (3.64). Однако, как показывает опыт решения подобных уравнений, уже значения qb (t) и qti (t), а иногда даже q2 (t) и q3 (t) становятся достаточно близкими.

При использовании метода последовательных приближений функ ция двух переменных (ядро уравнения Вольтерра) аппроксими руется функцией q (ti— л*), зависящей от одной переменной х при фиксированных значениях второй переменной ti (i = 1, 2, . . ., d). При такой аппроксимации ядра решение уравнения Вольтерра сво дится к вычислению по итерационной формуле

		i		— х) dx.
<?ft+i (*,-) = ш (it) — \Ф)			q^i			(3.67)
	о				q (I) получается
В процессе решения задачи значение				функции
в виде ряда точек,	соответствующих		значениям t;		каждая.	Таких
точек может быть от	10 до 50 в зависимости от вида				функции	q (t).
Значение функции q (t) получается		путем многократного применения
формулы (3.67) для	различных i	при	изменении х		от 0 до tL.	Если

интегрирование произведения со [x)qk (tL — х) = Sk (/,-, х) выполняется не на аналоговой вычислительной машине, а численным способом (пли

с помощью ЭЦВМ), то независимая							переменная х		изменяется от 0
до ti дискретно, принимая значения							Xj (/ = 0, 1, 2, . . .,			i)	в точках
квантования. При		этом		интегрирование				заменяется простым сум
мированием, например, по правилу трапеций.
Обычно шаг изменения переменной t принимают равным шагу
квантования	аргумента х и одинаковым во							всем диапазоне			времени
[0, t], т. е. полагают			At =	Ах =		const. Тогда алгоритм				вычисления
функции q (t) будет			следующим:
	«,) ~		со (*,) -		Ах	^ . x 0 )		+ Sk(tt.Xl)	+
+ Sk	(/,, Xl)	+	• • • + Sk		(th	x;) -;-•••+		Sk (i,., x^)]		,	(3.68)
где
Sk	(it, x,) = со (x,) qk				(ti	- Xj), / =		0,1,2, ... ,/ .			(3.69)
68

При использовании формулы (3.68) в этом случае необходимо четко договориться о том, что следует понимать под значением функ ции со* (t) в точках ее разрыва. Вполне естественно принять со* (t) равным полусумме значений функции со* (/) на смежных интерва лах, т. е.

(o*(tt)=

' ^

- i

- ^

+ ^

i l

(

где i — 1, 2, . . ., d •—

крайних точках

= 0 и t =

td),

где отсутствуют

смежные

интервалы, целесообразно

считать

со* (0) =

lx0,

x j ;

(3.71)

со* {xd) =

со* [ха_ъ

xd].

(3.72)

Следует заметить, что в большинстве практических случаев по

виду

зависимости со* (t{)

невозможно достоверно

определить

функ

цию

со (/). Аппроксимация функции

со* (tt)

гладкой

функцией

со (t)

сопряжена не столько

математическими

затруднениями,

сколько

с трудностями практического порядка: ограниченностью срока на

блюдения и числа объектов наблюдения т (t). В реальных

условиях

эксплуатации число т (t)

является

к тому

же

переменным, что

объясняется изменением состава судов за длительный период эксплуа тации (несколько лет) и необходимостью охватить наблюдением все возможные суда. Сказанное приводит к тому, что на практике обычно

удается построить ступенчатый график	со* (/), весьма «неустойчи
вый» по форме и слишком «короткий»	по времени,	чтобы можно
было с уверенностью обнаружить в нем теоретическую		функцию со (t).

С другой стороны, оказывается возможным, не прибегая к аппрок симации эмпирической зависимости со* (t) какой-то аналитической функцией со (t), сразу вычислить искомую характеристику q*k (t) путем численного интегрирования уравнения (3.64). Правда, при этом мы также получим ломаную кривую q*k (t), а не гладкую функ цию q (t).

Дальнейшее интегрирование функции q*k (i) позволяет получить и эмпирическую кривую вероятности отказа

t
Ql(t) = \ql(x)dx.	(3.73)
о

В том случае, когда нельзя пренебречь длительностью восста новления (при конечном времени восстановления), общая идея оценки функций, характеризующих надежность судового электро оборудования по результатам наблюдения его работы в реальных условиях, остается прежней, а именно:

1) по эксплуатационным данным строится ступенчатая функ ция /г* (t);

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 277 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ