Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Рябинин И.А. Надежность судовых электроэнергетических систем и судового электрооборудования учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

10.14 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 276 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Рассмотрим теперь несколько примеров оценки неизвестной вели
чины вероятности отказа по частоте отказов.
Пример 1. Воспользуемся статистическими данными о повреж
даемости	изоляции	обмоток	статоров турбогенераторов и опреде
лим доверительные		границы	вероятности	отказа турбогенераторов
по данной	причине	в интервале времени		(0; 10 ООО). Известно, что

за первые 10 ООО ч наблюдения из 684 турбогенераторов отказало 15.

Требуется определить с коэффициентом доверия

6* =

0,95 вероят

ности

отказа

QB (0; 10 000) и QH

(0; 10 000).

Точечная оценка вероятности отказа будет равна

Q*(t,

At) =

Q* (0; 10 000) =

= ^

0,0219 ~

0,022.

Из соотношений (3.10) и (3.11) определим

бх =

1 + 2 ° - 9 5 =

0,975; У

1 =

1 ~ 2

° ' 9 5

= 0,025.

Согласно формулам (3.15) и (3.16) искомые доверительные гра

ницы

будут

равны

(О i n o n m -

*[Ю0-0.025 %,2(15 + l)]

*(2,5%,32)

V b 1

, ~

2-684—15 + 0,5.v[2,5%,32]

1353 + 0,542,5 %, 32|

4 9

' 4 8 0

0,0359;

1353 +

0,5-49,480

О =(0- 10 000) =

А: [ЮО-0.975

%, 2-15]

Цн

( u . i u u u u j

2-684 -

1 5 +

1 -0.5.V [97,5%, 30]

л-(97,5%,30)

'6.791

- - П П 1 Р Ч

1354 + 0,5*[97,5,30] ~

1354 +

0,5-16,791 ~

U > U I Z 0 -

Итак,

мы получили следующий

результат: истинная

вероятность

отказа турбогенераторов по причине пробоя изоляции их статорных обмоток в промежутке времени (0; 10 000) с коэффициентом доверия

0,95 накрывается интервалом / 0 i 9 5 =	[0,0123; 0,0359], т. е.
Р {0,0123 < Q (0; 10 000) <	0,0359} ^ 0,95.

Пример 2. Воспользуемся снова статистическими данными о по вреждаемости изоляции обмоток статоров турбогенераторов, но взятыми не в начале, а в конце периода наблюдения. Требуется определить с той же достоверностью, что и в примере 1, доверитель ные границы для вероятности отказа турбогенераторов (из-за про боя изоляции статорных обмоток) в промежутке времени [210 000; 220 000].

Этот пример интересен тем, что здесь мы имеем весьма малые числа т (t) = 15 и п (t, At) = 1.

Итак,

Q* [t, At) — Q* (210 000; 10 000) = -jL _ 0,0666.

По формулам (3.15) и (3.16) имеем
QB(210000; Ю000) = 2 , 1		5 _ ; - ^ ( 2 . 5 о / о , 4 )
1 1 Л 4 3		0,32232;
34,5715
QH(210 ООО; 10 ООО) = 2 . 1	Б _	Д ^ * ^ 5 % . 2 )
0,0506	= 0	0 0 1 6 9 i
30,0253

Из этого примера наглядно видно, сколь мала точность опреде

ления вероятности отказа по малому числу			наблюдений.
Попутно	заметим,	что доверительные	интервалы,	найденные
при точном	решении уравнений (3.13) и (3.14), незначительно отли
чаются от результатов,		полученных по приближенным		формулам

(3.15) и (3.16). Точные значения QB и Qa в этом случае равны соот ветственно 0,31948 и 0,0016864.

Пример 3. Воспользуемся данными, собранными Ю. А. Светликовым с 94 судов речного флота за одну навигацию 1963 г., т. е. при мерно за 4400 ч, и оценим вероятность отказа электродвигателей постоянного тока единой серии (типа П) за это время. Из 278 электро

двигателей, установленных на этих	судах, по разным причинам
отказало 27, т. е.
Q* (0; 4400) = ~	= 0,0973.

Определим Qn и Q„ с коэффициентом доверия б 2 = 0,90:

О (0- 4400) =		* [5%. 2 (27+ 1)]	74,468	_ Q	^ g .
Vb (U,<*WUJ		2 - 2 7 8 - 2 7 + 0.5*(5 %.56)	566,234 ,		i 0 ° '
3" № 4	4 0 ° ) = 2.278-27+Vto;5 T(95o/ o ,54)		= Т щ	! =	° ' ° 6 9 5 -
Таким	образом,

Р {6,95 - Ю" 2 < Q (0; 4400) < 13,15 -Ю"2 } ^ 0,90.

Пример 4. На практике иногда приходится встречаться со свое образной задачей определения доверительного интервала для вероят ности отказа, когда полученная из опыта частота отказа равна нулю. Если число отказов п (t, At) = 0, то формула (3.13) превра щается в выражение

S c°mQ°,(l-Q*)",-* = [l-QB]m

= vi-

(з - 1 8 )

Разрешая уравнение (3.18) относительно QB, определим

С в = 1 - 7 т Г = 1 - 1 ^ Г - Л -

- (3.19)

Пусть за время испытаний [0, t] на судне не отказал ни один из 10 электродвигателей. Спрашивается, какова надежность этих электродвигателей? Задавшись коэффициентом доверия 5Х = 0,90, определим по формуле (3.19) верхнюю доверительную границу:

QB (0, /) = 1 — у 1 — 0,90 = 1 — 0,794 = 0,206.

Таким образом, если за все время испытаний не возникло ни одного отказа, то с гарантией в 90% можно утверждать, что вероят

ность	отказа	данных электродвигателей					не превышает	0,206 (при
т = 10).
Можно инвертировать последнюю задачу, ставя целью									опреде
лить число элементов т, которые должны безотказно								проработать
время	[0, t],	чтобы утверждать с гарантией в 1006!%,						что вероят
ность	отказа	Q (t) ^	QB (/). Решение получается из формулы						(3.19):
						l)			(3.20)
						• Q B ( 0 1			(3.20)
						• Q B ( 0 1
или из формулы (3.15):
			х[100(1		А )	%.2]	•0,5"		(3.21)
							•0,5"		(3.21)
							<Эв (О
Целесообразно запомнить,				что для		6г =	0,95
		ш 0 1 в 6 =	2,996	LQB	(О	•0,5	— 1,5.		(3.22)
		§ 10. Оценка средней наработки до первого
				отказа и наработки на отказ
Числовые		характеристики			случайных величин, используемых

в теории надежности, играют большую роль, так как с их помощью удается компактно выразить наиболее существенные черты соответ ствующих распределений. Важнейшей числовой характеристикой, как известно, является математическое оокидание случайной вели чины М [Т]. Оно характеризует среднее значение случайной вели чины, около которого группируются возможные ее значения.

В теории надежности обычно рассматриваются следующие мате матические ожидания: средняя наработка до первого отказа Т0, наработка на отказ (среднее значение наработки ремонтируемого изделия между отказами) Т, среднее время восстановления Тв, среднее время между восстановлениями (отказами) Ts, средняя длительность межпрофилактического периода Тм, средняя длитель ность профилактики Т п и др.

Для характеристики рассеивания, разбросанности значений слу чайной величины около ее математического ожидания служит дис персия D [Т] или среднеквадратичное отклонение случайной вели чины а [Т] = ] / D [Т]. Среднее время и дисперсия могут быть

найдены по результатам наблюдения соответствующих случайных величин в виде точечной или интервальной оценки.

Любое значение искомой числовой характеристики, вычисленной на основе ограниченного числа наблюдений, будет содержать эле мент случайности. Такое приближенное, случайное значение будем

называть

оценкой

числовой характеристики М или D,

обозначая

ее той же

буквой,

но с волнистой чертой наверху: М,

Пусть имеется случайная величина Т с математическим ожида

нием М [Т] и дисперсией D [Т]; обе

числовые

характеристики

неизвестны. Наблюденные значения случайной величины Т оказа

лись

равными Tj,

т 2 ,

. . .,

тя .

[Т] и D

[Т] будут равны

Точечные оценки для характеристик М

М[Т\ = Т=М*[Т]

= ~—;

(3.23)

( Т ; - Т * ) 2

m = т г ^ тD * f Г ]

= 1

- i — '

где Т* =

М* [Т]

и D* [Т] — статистическое

среднее

статисти

ческая

дисперсия

случайной

величины

Т.

При малом числе наблюдений п точечные оценки М

[Т] и D

[Т]

в значительной мере случайны и приближенная

замена

М [Т]

на

М [Т] и D [Т] на D [Т] может привести к серьезным ошибкам.

Чтобы дать представление о точности оценок М [Т] и Ь

[Т],

пользуются методом доверительных

интервалов,

с которым мы уже

познакомились в предыдущем параграфе. Двусторонним доверитель

ным интервалом для математического ожидания М

[Т] с коэффици

ентом доверия, не меньшим, чем<52, называется случайный интервал

Je2 =

[Тг,

Г 2 ] , концы

которого

Тг<СТ2

зависят

от

исходов

на

блюдений

(тх , т 2 ,

. . .,

хп) и для любого Т

Р{Тх<Т<Т2\^Ьг.

(3.25)

Верхним (О, Г 2 ] и нижним [7\, ею) односторонними

доверитель"

ными

интервалами

называются

такие случайные

интервалы

/б,>

для

которых при любом Т

соответственно

Р\0

Т <

f 2 } =г 6 1 ;

(3.26)

P \ T 1

< f \ ^ 5 l .

(3.27)

Аналогично определяются доверительные интервалы и для дис персии D [Т].

Перейдем	к	вопросу о нахождении	доверительных границ 7\
и Т 2 . Основная		трудность здесь состоит в том, что закон		распреде
ления оценки	f	= Т* зависит от закона	распределения	случайной

величины Т, который чаще всего заранее неизвестен. В математи ческой статистике разработаны точные и приближенные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины. Для применения точных методов необходимо знать зара нее вид закона распределения величины Т, тогда как при исполь зовании приближенных методов это необязательно.

Рассмотрим сначала приближенное решение задачи. Воспользу емся тем, что величина Т представляет собой сумму а независимых, одинаково распределенных случайных величин Ti и согласно пре дельной теореме при достаточно большом я ее закон распределения близок к нормальному.

Напомним, что распределение случайной величины Y называется

нормальным,	если соответствующая ей		функция распределения
выражается	формулой
P{Y<y\^N(y;		а, о) = уУ~	\ e ' ^ d x ,	(3.28)

—со

где а и о— параметры распределения (\а \ < оо — математическое ожидание; а >• 0 — среднеквадратичное отклонение), а у может при нимать все действительные значения.

Функция нормального распределения удовлетворяет равенству

N(y;a,o) = N(£=^-,0,l),

(3.29)

поэтому для вычисления ее значений достаточно иметь таблицу функций

z	х ,
0(z) = N(z- 0, 1) = - ~ - J е	2dx	(3.30)
— с о

или только таблицу так называемой нормированной функции Лап ласа

Ф0(г) = -^-\е~^(1х

= Ф(г)-0,5,

(3.31)

значения которой даны в табл. 1.1, приведенной в работе [5].

На практике даже при относительно небольшом числе слагаемых

(порядка 10—20) закон распределения величины f	можно прибли
женно считать нормальным с параметрами
М [Т] — М [Т] = f ;	(3.32)
D[fi = 2EL:	(3.33)

Дисперсия D [Т], как правило, неизвестна. В качестве ее ориен тировочного значения можно воспользоваться оценкой D^lT] и положить приближенно

	В1Т\~Ш=	f j ?	•	(3.34)
Зная	теперь вид закона	распределения	случайной величины		f
и его параметры (3.32) и (3.34), нетрудно найти				доверительные
границы	Тх и Г 2 для неизвестного математического			ожидания	Т.

Напомним, что метод доверительных границ, предложенный Р. Фи шером, предусматривает определение таких двух функций 7\ и Т2

0.	У7ЯШЩР%ЯЩ_					t
	ъ	т	т	L

Рис. 20. Двусторонние			доверительные		интервалы	для
	математического ожидания				Т.
от результатов	испытаний	(но не		от оцениваемого		параметра Т),

для которых вероятность покрытия неизвестного параметра Т интервалом [7\, Т2] равна заданной величине ст2. Обозначим диапазон практически возможных случайных ошибок, возникающих при за

мене истинного значения параметра Т его оценкой Т,											через ± е
(рис.	20). Тогда функции				7\ и Tz		можно выразить формулами
						7\ = Г - е 6 г			;		(3.35)
						Тг = Т + гй1,					(3.36)
где	е6 г	— наибольшая по				абсолютной			величине ошибка,		гаранти
рующая		с коэффициентом				доверия		б 2	выполнение неравенства
				Р \Т -	гб2	< Т < f		+ ее,} = 62.			(3.37)
Выражение (3.37) эквивалентно								уравнению
				Р\Т-еб!<Т			< Г - г - е б г } =			б2 ,	(3.38)
разрешив			которое	относительно				определим		по формулам (3.35)
и (3.36)			искомые	доверительные			границы Тг			и Т 2 .

Вероятность попадания случайной величины Т, подчиненной

нормальному закону	с	параметрами		Т	и D	[ Т ] , на участок [Т —
— ee., Т + e6. ] равна
Р	\ Т	- е	ь , < Т < Т	+	вв,}	=
			Г +Е бо	[Т—Т)2
			е	[Т—Т)2
			е	2о СП		rfr =
	2nD		[Т\

У 2л

2 Лх=2Ф„

- Z —

62,

(3.39)

V / D [ f ]

У о

[ П

г д е —

. = 2 . , — аргумент

нормированной

функции

Лапласа.

D [Т]

Из

уравнения

Ф 0 ( _ Д _ \ = : - | -

(3.40)

\ V D\T]

находим

значение

еб.,:

еб 2 =

z, Yd[J\

Z2 У 2

—

(3-41)

где z2

Фо"1 (0,582 ) — функция,

обратная функции

Лапласа,

т. е.

такое

значение аргумента z2, для которого нормированная функция

Лапласа равна 0,5б2 .

С учетом (3.34)

имеем

Итак, приближенно доверительные границы для математического ожидания Т определяются из следующих уравнений:

/ »

— ;(3.43)

п (п -

Г~ п

На практике часто интересуются не только двусторонним довери тельным интервалом, но и нижним односторонним доверительным интервалом [Tlt + оо). На основании предыдущих рассуждений нетрудно получить формулу для определения Тх:

IT]

zi = Фо1 (б

Если задаваться одинаковым числовым коэффициентом доверия при определении двусторонних доверительных границ и нижней


односторонней доверительной			границы, т. е.			принимать б 2 = 8г =
= б, то zL	будет всегда меньше,			чем z2 , так		как
	0,5б2	— (б! — 0,5)		=	0,5 (1 — б) >		0.
Таким	образом,	при одном	и том		же риске у =		1 — б ошибиться
в оценке неизвестного параметра				Т в случае одностороннего довери

тельного интервала нижняя доверительная граница будет распола гаться ближе к точечной оценке Т = Т*.

В тех случаях, когда закон распределения случайной величины Т известен, можно дать более точную оценку наработки до первого отказа или наработки на отказ.

Например, если удается установить, что время исправной работы изделия до первого отказа подчиняется нормальному закону распре деления с параметрами Т и D, то доверительный интервал для сред ней наработки до первого отказа следует вычислять по формулам,

аналогичным (3.43) и (3.44), но с заменой в них аргумента			z2 другим,
несколько	большим	аргументом to. Значения / 3	приводятся
в табл. 3.1а	работы	[51.

При экспоненциальном законе распределения величины Т точ ное построение доверительного интервала для неизвестного мате

матического ожидания			Г производится по				следующим	формулам:
						п
					2	S т '
•j,		_	Г*.Ill	_		i t \
1	1		х 2	-	A-[100Vi%,2«1 '			\ 6 А < )
					2 У,
T	i	=		=	*[100сУ/0,2пГ '			( 3 ' 4 8 )
где %г = х (Q, /') есть			Q-процентная			точка	х 2 ~ Р а с п Р е Д е л е н и я П Р И

г = 2и степенях свободы.

Пример 5. Для численной иллюстрации изложенных методов сле довало бы рассмотреть примеры статистической оценки числовых

характеристик каких-либо наблюденных случайных величин, исполь зуемых в теории надежности. Однако для таких величин, как пра вило, неизвестны ни истинные числовые характеристики, ни законы распределения, которым они подчиняются. Поэтому, определив оценку числовой характеристики наблюденной величины (каким-

либо	из рассмотренных	выше способов), мы не можем сравнить ее
с истинным параметром,		получить наглядное представление о случай
ности	доверительного интервала J&.,, о законе распределения вели

чины Г и о характере реализации заданного коэффициента доверия б2 .

В таком случае целесообразнее		обратиться к некоторому искус-
гт. Fir)			—Г"
			—Г"
	Fit)
ГШ		Г	\
N s	^		Г "(Г)
N s	^

О 500 ЮОО 1500 2000. • 2500 3000 3500 4000 t, Т-Я1т1,с

Рис. 21. Статистическая F* (Т) и теоретическая Р (Т) функции распределения оценки математического ожидания Т при экспоненциальном законе распределения F (I) случайной величины Т.

ственному примеру, для которого нам были бы заранее известны истинные параметры и закон распределения. С этой целью было получено 20 выборок (табл. 2) из совокупности случайных чисел Т, распределенных по экспоненциальному закону F (f) с параметром Т = 2000 (рис. 21).

Совокупность случайных чисел Т с заданным параметром Т =

— 2000 и законом распределения F (t) = 1 — ехр ^ =-j была

заранее образована с помощью ЭЦВМ методом статистических испытаний1 и проверена на согласие критерием %2 К. Пирсона. Дан ные табл. 2 можно рассматривать, например, как результаты 20 наблюдений времени восстановления Тв сопротивления изоляции определенной судовой электроэнергетической системы (по одному наблюдению объемом в 20 чисел на 20 суднах или по нескольку наблюдений того же объема на меньшем числе судов).

Определив по формуле (3.23) точечную оценку Т для каждой выборки (см. первую строку табл. 3), нетрудно обнаружить, что эта

1 Подробнее см. в § 27.

Номер ре ализации

Таблица 2

Случайные выборки из совокупности случайных чисел Т, распределенных по экспоненциальному закону

спараметром Т — 2000

Но м е р выборки

1	1419	633	3006	1770	412	2556	313	1358	229	1464	450	877	2243	458	679	1701	69	283	4013	1701
2	1122	' 214	679	3868	4379	2678	1366	5238	1907	412	1739	2388	1244	229	1076	595	2640	5722	2777	1373
3	122	6622	4379	412	1441	595	2335	343	2441	1770	2441	1441	6065	2106	1099 5722		3174	2205	412	1518
4	2098	5753	641	832	2678	1122	1099	9041	1441	6622	6470	1510	5043	122	3174	343	389	122	404	1953
5	2640	1747	214	168	931	397	2098	10124	389	145	916	1441	877	2494	2541	1510	961	389	1701	1892
6	168	13145	83	214	412	595	4150	1358	3006	198	435	1831	5371	793	1464	771	3868	420	1495	1510
7	1770	122	4715	2708	23	168	450	5753	3166	6065	328	4715	916	1099	2143	3601	1541	2777	877	1099
8	3906	283	412	1632	1007	.2640	3815	7187	1632	4379	229	3815	1167	435	2037	4585	1159	1076	328	1808
9	1731	183	618	2388	1632	2464	679	1663	2464	595	1213	4295	931	1083	1564	1831	893	931	1381	1747
10	69	1754	198	137	6065	519	3174	122	2708	496	542	961	893	2853	1213	473	1464	916	595	1152
11	618	1404	2388	4440	6622	458	1510	1441	168	1244	1358	1419	931	5630	1892	4295	2098	1083	2335	412
12	1396	1152	4715	641	1312	542	283	1'404	877	404	175	7187	725	404	107	870	9041	2205	2021	2342
13	1152	931	641	7698	961	3609	641	5371	2037	1632	2640	4379	137	4585	1907	76	4180	3441	5722	4440
14	10376	1747	923	10124	1953	4585	244	542	4364	458	2037	214	2678	916	679	816	3815	3014	214	205
15	1953	31	1152	5753	6470	3174	633	3288	2441	542	389	389	916	1953	4013	1244'	1770	618	984	389
16	2853	7187	244	1404	359	3166	1213	1747	4295	595	1244	2655	1099	931	4180	.1419	1495	1404	3441	3906
17	679	1739	816	1907	2678	2655	1701	679	5238	6020	1464	1396	1808	4715	23	1122	3815	107	1152	229
18	496	1419	725	145	2098	618	343	4585	6470	641	4150	168	2342	1213	2655	1122	786	214	404	1518
19	70	1419	893	5238	175	2471	404	76	1518	877	946	1510	595	3906	5371	1510	3174	107	3601	412
20	9041	725	343	3868	412	4379	1122	1541	496	389	2640	893	2106	5630	816	9041	2106	893	496	1122

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 276 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ