книги из ГПНТБ / Рябинин И.А. Надежность судовых электроэнергетических систем и судового электрооборудования учебник

Для перехода от ФАЛ к вероятностной

функции требуется такое

преобразование

повторных ФАЛ, которое

обеспечивает применение

к ним основных

теорем теории вероятностей.

х7

Х3

У (Хх, Х2, . . .,

Х[,

. . ., Хт) — Х{Уг {хъ

х2, . . .,

1, . . ., х,„) V

V

x'lyo {xi, хо, . . ., 0,

. . ., хт).

(6.42)

Таким образом,

если аргумент xt функции у является совместной

двоичной переменной,

то путем преобразования

(6.42) мы переходим

отрицанием х\. Функции уг и у0

отличаются

от функции у тем, что

в них везде вместо аргумента xi

поставлены

соответственно единица

и нуль (в соответствии с этим выбраны и индексы у функции ух

и у0).

Теорема разложения (6.42) позволяет свести мостнковую

схему

к последовательно-параллельным

структурам.

вается уравнением

у{хъ . . ., х6 ) = Xl

х3

(6.43)

хь

хл

х2

хл

Ч

х3

Н

Ъ

х+

Ч х,

х3 И

Ч х,

х3

*3

V 4

-Vl

ха

(6.44)

1

х.х

0

х.,

х2

Хл

Х-2

х4

1

x.s

0

хя

Ух

Xi

х3

х3 1

1

х4

х4

Х-2

Х.1

Х2

х4

1

х3

х-.

(6.45)

;

Но =

х\

1

Xi

Х-Л

хя

0

х4

0

х2

X]

0

х3

0

Вынося из скобки

(х3 V х4 ) в выражении для ух

и применяя

пра­

вило 6 (1.14) в выражении для у0,

окончательно

получим

У\ = * i

*з ;

Уа =

* i

I А'з =

хх

х3 ,

(6.46)

откуда

(6.47)

/У =

•«Б

Х3

x-z

Xi

А'5

Xi

х 3

А'2

Xi

ный опыт

короткого

замыкания),

а в другом—разомкнуты (опыт

холостого

хода).

представленная на рис. 43, а и б,

Следует

заметить,

что система,

функции

у (хг,

Хо, . . .,

хт):

{пъп.2, ...,пт)

= \п1\.

(6.48)

2.

Среди

чисел nt находим максимальное и соответствующую

букву (не ограничивая общности,

можно считать, что это будет х±)

полагаем равной сначала 0, затем

1 и для каждого случая

отдельно

выписываем

результат

подстановки

соответствующей

константы

в у (xj,

х.2,

. . ., х,„):

Xi

=

0;

у0 = у (0, х2 , . . ., х,п) = у0(х2,

л-31

. . ., хш );

(6.49)

* i =

1;

lJi

У (1. * 3 ,

. . .,

хт) =

уг (л'2,

ха ,

. . .,

х,„).

(6.50)

Эту

операцию

назовем

разрезанием

по переменной

xv

3.

Преобразовываем

у0

и ух

с

помощью

уравнении

§ 3.

4. После применения указанных преобразований и упрощения

функций уа и ух

может оказаться, что любая из них либо

превраща­

У оо =

У о

Ф>Л'з> х и

• • •! хш) ~

У on

(хз*

•

хт) >

(6.51)

У01

~

У0

0 '

Л ' 3 ' Xii

• • •> Хт) ~

У01

( Х 3 '

ХИ

•

хт)»

(6.52)

если

разрезанию

подвергалась

функция

у0,

или

Ую

= У\ (° . * з . * 4 . • • •> *„,) =

(х3 ,

х4 ,

. . .,

хт)\

(6.53)

1/и

=

Ух (1. *з» *4 . • •

Л'ш) =

Ун (*s. -*4,

• • •,

х,„),

(6.54)

если

разрезанию

подвергалась

функция

ух

(может случиться, ко­

нечно, что разрезаются обе функции: у0

и уг).

способности (6.40), точнее говоря, к функции

z (у = z&x7), записан­

ной в^виде

z (хъ . .

хл

ха

хь

(6.55)

Х8

X.i

Л'0

Х2

Л'.1

х в

ха

х з

хъ

1.

В уравнение

для z буквы хг и х2 входят по одному

разу, а

остальные — по два

раза.

2.

Среди чисел

ni

максимальным является число два,

но букв,

можно взять любую из них. Возьмем для

примера букву xs

и ра­

зобьем сложное событие z на два несовместных

события:

Z—

\Хх

Х

\Х&

| = | А'8

| Х

Х

| Хг,

| =

х'ауо V xsyi.

(6.56)

х з

х

ь

—

Xs

Xiг

з

Ъ

1Л

я

х я

ха х± xs

0

Х 1

XQ

х.2

xi хй

Х 2

ч

хв

XgX3

х ь

0

х з

хъ

A'g

Х 1

х3

х ь

1

Xi

х о

х-г

X,i

хъ

1

х3

х ь

3.

Преобразуем

уп

и

ух.

Уо =

Х-^

ч

ха

Xi

х3

хь

x i

х3

х5 I;

(6.57)

0 х 4

0

Х'2 Х 4

Х$

А'2 Х±

хв

^2

"^4

ха

0 х3

хь

0

Ух

—

Хх

х3

Хь

X j

Х 3

хь

(6.58)

1

А\, х6

Xi

х0

Хг,

х±

Ха

Хп х^

х«

1 А-з Хь

хз

хь

4. В уравнение (6.57) все буквы

входят

только

по одному

разу,

поэтому

функция у о будет бесповторной. В уравнение

(6.58)

буквы

Л'з, х4 , Хь и А-,-, все еще входят по два раза,

поэтому нужно

продолжить

преобразование

ух,

произведя

разрезание,

например,

по х3 .

5.

Разрезаем

функцию

ух

по аргументу

лу.

yi =

x3

хх

0

Хь

\ / * з

X i

1

Х5

=

х3ую\/

х3уи.

(6.59)

Xi

хв

х4

х0

X ,

Л'4

Х0

X ,

-V.1

хй

0

х 5

1

ХЬ

i / n

6.

Преобразуем

ухо

и

ухх:

Ую =

хх

0

Хь

0

Хь

| А 2 А 4

х4

хе

Xi

Хв

Х 2

Х 4

х0

Х'2 Х±

хв

0

А 5

0

хх

1

*5

=

хх

А'5

(6.61)

Л'4

Л'„

Х 4

Хв

х2

х4

А'о

х2

Xi

Хв

1

* 5

Хь

7. Функция г/1 0 будет бесповторной функцией, а функция

требует дополнительного

разрезания

по какой-нибудь из следующих

букв:

х4 , х5 ,

хв .

Произведем

разрезание

по

лу.

Уп

Xl

Л'5

Хд

= х4

Л'1

-\'5

ч

V -V4

•Vl

х5

=

X4t/m V

х4ут. (6.62)

0

1

•V,;

Л'.»

0

ч

X.,

1

А'С,

ч

-\'5

9. Преобразуем

у110

и

уП1:

"по =

1

ч

=

Л'1

хъ

(6.63)

х6

0

0

2

0

0

хв

* 5

* 5

Xl

Хъ

3

Xl

Хъ

— хл

(6.64)

-v

х-а

1

Л'а

хв

х0

Х-2

х0

X-z

1

ха

х2 Хь

-v5

хп

х&Уо

х&Уо

=

I хъу0

ХзУю

хвУ1

хя ХзУю

Ха

х-зУи

Хъ х<\Ут

ХАУШ

xs

Xi

х3

х§

(6.65)

Х2

Х±

Хц

xs

Хъ

х2

х.\

хв

Хъ

Х\

Х 5

Это уравнение полезно

представить

в виде

х'в Л'1

Л'з

х5

=

Hi

Xl

х3

хь

xG

х2

х4

л'е

Хв Хз | Х-2хА

Хб

н2

х2

xi ха

х&Л'з

х\

Х\

х*

Hi

Xl

Хь

х

8

Х3

X j

х'г

Хъ

Xi

Хъ

Хо

Хв

х2

х0

где буквами Я обозначены несовместные (ортогональные)

гипотезы,

т. е.

Н\=Х8,

11-2 =

ХвХз,

Н3 =

ХВХЗХА,

Я,| =

X$X3X.i.

(6.67)

Р\у(хъ

хт) =

1} = /?с

-

ЬР

(Я,) Р (у | Я,.),

(6.68)

1=1

где

события

Hi

образуют

полную

группу

несовместных

гипотез,

a P(y\Ht)—

условные

вероятности

исправного состояния

системы

при

каждой

гипотезе

Нг

Для примера 17 формулу (6.68) можно записать в следующем

виде:

P\z=l\=P(H1)P(z\H1)

+ P(H2)P(z\H2)

+

+

Р (Я3 ) Р (г | Я8 ) + Р (Hi) Р (z | НА)

=

=

Р (xi) Р (у0) -|- Р (xsx3)

Р (Ум) + Р (хахзх$

Р (//по) +

Р (ХвХзХА)

Р (уп1).

(6.69)

Р (л-8) - Q8;

Р Ы = 1 -

(1 - /?,/?3/?5) (1 -

RORARS);

\

Р {x&i) = RsQz;

Р (ую) =

RZRARS;

(6.70)

Р ( w - 4 ) = RSR3QI;

Р {упо) =

RiRБ;

Р ( а д л ) =

^ (Уш) = (1 -

QiQs) (1 -

QbQ«) •

Приняв допущение

о равной

надежности

всех

элементов (RX

=

= R„ =

..-. — RA

=

R), определим вероятность

безотказной

ра­

боты системы в виде следующего

полинома:

Р

\У = И =

#с = 1(1 — R) [1 -

(1 -

R3) (1 ~R3)]

+

+ R (1 — R) R3 + R- (1 — Д) R2 + R» [1 — (1 — Я)2 ]2 } R =

=

2/?4 + 2R* — 5Я7 +

2tf8 .

(6.71

Л'о

Л'4

Л'б

Xl

х3 х8

Hi -v.,

л-0

Xl Хп Ха

(6.72)

Хо

Х.г

х5

Х3

X

ХА

Хв

Но

х2

xt

-Vfi

х5

х3

Х\

я .

Xl

Х-2 Х4

Х2

Л'4

Хс,

ХЯ

т. е. число гипотез уменьшилось бы на единицу

[см. (6.66) I, однако

руем

два предложения.

П р е д л о ж е н и е

1.

Отрицание элементарной

конъюнкции

ранга

г /С. =

л;"1 *"2 . . . ха/

эквивалентно

дизъюнкции

К\ = х? V

V

r-Ii.X,aiГ

(6.73)

1 -V ,

члены

которой

попарно

ортогональны.

( A W . . Х г у = х[ =

х\

(6.74)

Х\

Х-2

Хз

Xl

Хп Х'з

Х'г

XiX<iX%X4

• • •

Xr—lXr

Справедливость преобразования (6.73) нетрудно доказать с по­

мощью теоремы разложения (6.42), применив

ее

последовательно

для

букв

Ху, х2,

. . ., хг_г

к элементарной

дизъюнкции ранга г

Dt=x^yxfy...\Jx<,

(6-75)

получаемой по теореме де Моргана из элементарной

конъюнкции

Действительно,

разлагая (6.75)

по хг,

имеем

х*[

V x?V

• • • V

ха/

=

(1 V xf

V • • • V

xf)

V Хл'

(О V xf V • • •

f{Xl, х2, . . ., хт)= V Kt

(i^2m),

(6.77)

/ (х-у, х2, . . ., х,„) = Ку

Ку

. (6.79)

Справедливость

данного

преобразования

также

легко доказы­

вается с

помощью

теоремы

разложения.

Если

вместо каждого из

выражений К\

(is=c п)

подставить его

ции у (хи

х 2 , . . ., хт)

к ОДНФ:

1.

Преобразовываем сначала функцию у

(.v,, х 2 ,

. . .,

хт) к ДНФ.

2.

Производим

нумерацию

членов

ДНФ

от 1

до

п {п =^ 2"1),

причем

членам низшего

ранга

присваиваем

низшие номера.

3. Определяем ОДНФ функции у (хх , х 2 ,

. . .,

хт)

с

помощью

преобразования (6.79).

Для уменьшения количества операции целесообразно в конъюнк­

ции

KiKi

• • • K'i-\

Ki

выполнить

следующие

упрощения:

а)

приравнять нулю те члены ДНФ

(у

i — 1), которые орто­

гональны члену Л',-;

б)

приравнять

нулю

те

элементарные

конъюнкции

отрицаний

К) (у

i — 1), которые

ортогональны

/<,..

Преобразовав условия работоспособности системы к ОДНФ,

можно приступить к вычислению вероятности безотказной

работы

системы

по формуле

суммы

вероятностей

несовместных

событий:

Р \У(л-!, • • ., х,„) =

1} =

Rc

=

У

Р (О,.),

(6.80)

где Ot — ортогональные

члены

функции

у

(xit

х.,,

. . .,

хт),

запи­

санной

в

ОДНФ:

у(хи

х,,

. . .,

л-,„)= \ ) л ' , =

\/0,.

(6.81)

i=i

/^1

Пример 18. Применим алгоритм ортогонализацип

к той же функ­

ции

(6.55),

которая

рассматривалась

в

предыдущем

примере.

1.

Преобразуем

функцию

z

(хи

х.2,

. . ., х8 ) к ДНФ:

±

я

ч

=

х

:!

Г)

(6.82)

х

х

Х Х Х

Ч

л-.1

хв

Xi A'.., Xi Хв

Х8

X2

,Y.i

X,

Х4

Х„

Л"8

А";,

А'.,

Л"о

Х.\_ -^5

-^8