книги из ГПНТБ / Рябинин И.А. Надежность судовых электроэнергетических систем и судового электрооборудования учебник
.pdfЛюбая ФАЛ может быть записана в СКНФ в виде |
|
|
/ |
• • •, хп) — & Д/, |
(1.34) |
где Д,- — член СКНФ с у'-м номером и произведение берется по всем наборам, на кото
рых функция / (А-!, . . ., |
хп) равна нулю. |
ортогональ |
О п р е д е л е н и е |
7. Две элементарные конъюнкции называются |
|
ными, если их произведение равно нулю. |
|
|
Например, произведение элементарных конъюнкций x'jX, и х^х^х^ |
равно нулю, |
так как одна из них содержит х%, а другая л'2 и, следовательно, они ортогональны. О п р е д е л е н и е 8. ДНФ называется ортогональной ДНФ (ОДНФ), если все
еечлены попарно ортогональны.
Всоответствии с этим определением СДНФ является ОДНФ, так как все ее члены попарно ортогональны. Но СДНФ является самой неэкономной из всех ОДНФ, так как она содержит максимальное количество букв.
О п р е д е л е н и е 9. Бесповторной ДНФ (БДНФ) называется такая ДНФ, в которой все буквы имеют разные номера. Буквы х^ и х\ имеют одни и тот же номер,
поэтому они не могут одновременно входить в БДНФ.
О п р е д е л е н и е 10. Бесповторной формой ФАЛ называется такая форма, в которой все буквы имеют разные номера. Частным случаем бесповторной формы ФАЛ является БДНФ.
Например, функция / (хь . . ., .v8) — хх (х2 V * 3 V .v,j) V дг5 (A:6 V
сана в бесповторной форме, так как все буквы имеют разные номера.
Функции алгебры логики могут быть представлены в табличной форме, в виде аналитической записи в строку (как приводилось выше), а также в виде логических матриц. Для представления логических уравнений в виде логических матриц конъ юнкции обозначаются расположением логических символов в строке, а дизъюнкции —
их |
расположением |
в столбце. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
К логическим |
матрицам |
применимы |
все |
известные |
преобразования |
алгебры |
||||
логики. Так, переместительный закон |
конъюнкции допускает перестановку логиче |
||||||||||
ских символов в строке, а переместительный закон |
дизъюнкции — перестановку |
||||||||||
строк логической |
матрицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пусть функция алгебры логики |
имеет вид |
|
|
|
||||||
|
/ (хи |
xs)= |
{{х\&х3& |
[хъ V (х4&Хй&х8)]} |
V |
|
|||||
|
|
|
V {.VO&A-4& [хв\>(х3&хь&хв)]}}&хт |
|
|
(1.35) |
|||||
|
В матричной форме уравнение (1.35) может быть представлено в виде |
|
|||||||||
|
/Ч*и |
• • |
ха) = |
I |
|
|
|
х~, |
Х\Х3ХЪХ^ |
(1.36) |
|
|
|
|
|
|
|
Х^ХвХь |
|
|
х2.ХзХцХвХ^Ха |
|
|
|
|
|
|
х^х^ |
ХВ |
|
|
XyX/jX^Xi |
|
||
|
|
|
|
|
|
Х3Хс,Х$ |
|
|
Х2Х3Х^Х-аХ^Ха |
|
|
|
Вторая матрица уравнения (1.36) записана в ДНФ. |
|
|
||||||||
|
При приведении к нормальной форме логические матрицы упрощаются. Напри- |
||||||||||
мер |
используя распределительный закон конъюнкции, получаем выражение |
||||||||||
|
/ (*i, х2, |
х3) = |
*!& (х2 |
V х3) |
= (х1&х2) |
V (*i& *з) = |
|
||||
|
|
|
|
= |
Xl |
х2 |
= |
Х]Х^ |
|
|
(1.37) |
|
|
|
|
|
|
х3 |
|
%1х8 |
|
|
|
а применяя закон |
инверсии, |
находим |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
= |
х±х2 |
/ |
x'l |
Н |
|
|
(1.38) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
X3Xi |
|
Ч |
х\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20
Как видно из последнего примера, инверсия логических матриц осуществляется заменой конъюнктивных связей логических символов в строке на дизъюнктивные связи отрицаний этих символов, располагаемых в столбце, а дизъюнктивных связей между строками — на конъюнктивные связи между столбцами, образованными из этих строк.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ГЛАВА |
2" |
|
|
|
|
|
|
|
|
КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ |
ХАРАКТЕРИСТИКИ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
НАДЕЖНОСТИ |
|
|
|
|||
|
|
|
§ 4. Надежность невосстанавливаемых изделий |
|
|
|
||||||||||
Отказ и восстановление — это два противоположных |
случайных |
|
||||||||||||||
события 1 . На практике часто вместо случайных событий оказывается |
|
|||||||||||||||
удобным оперировать со случайными величинами. |
|
|
|
|
||||||||||||
Случайной |
величиной |
называется величина, |
которая в |
результате |
|
|||||||||||
опыта может принять то или иное заранее неизвестное значение. |
|
|||||||||||||||
Между случайными событиями и случайными величинами |
существует |
|
||||||||||||||
органическая |
связь. Рассмотрим, |
как |
устанавливается такая связь |
|
||||||||||||
и какие основные случайные величины используются в теории на |
|
|||||||||||||||
дежности для характеристики изделий однократного и многократ |
|
|||||||||||||||
ного |
действия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть m одинаковых изделий (элементов или систем) однократ |
|
|||||||||||||||
ного действия поставлены на испытания, которые должны выявить |
|
|||||||||||||||
их надежность. Испытания проводятся в практически одинаковых |
|
|||||||||||||||
условиях. Каждое изделие проработает какое-то время и откажет. |
|
|||||||||||||||
На рис. 6 результаты описанного эксперимента показаны гра |
|
|||||||||||||||
фически. Промежутки времени исправной работы от начала испыта |
|
|||||||||||||||
ния до момента отказа обозначены через хок, |
а |
моменты |
времени, |
|
||||||||||||
когда |
появились |
отказы, через |
t0k- При отсчете |
времени от |
одного |
|
||||||||||
и того |
же |
начала |
т о й = |
t0k, |
если |
же |
испытания |
начинались |
разно |
|
||||||
временно, |
то |
в общем |
случае |
т о й |
=}= |
t0k. |
|
|
|
|
|
|
||||
Указанную информацию об отказах можно связать либо с не |
|
|||||||||||||||
прерывной случайной величиной Та—временем |
|
исправной |
работы' |
|
||||||||||||
до первого отказа, либо с дискретной случайной величиной |
JV0 [tc_v- |
|
||||||||||||||
tt] — числом |
отказов |
за |
рассматриваемый |
промежуток |
времени |
|
||||||||||
l ^ - i . |
^ - ] - Условимся |
случайные |
величины |
обозначать |
большими |
|
||||||||||
буквами, |
а их возможные |
значения — соответствующими |
|
малыми |
|
|||||||||||
буквами. При подсчете числа отказов |
от ti_1 |
= |
0 для |
сокращения |
|
|||||||||||
записи |
N0 |
не будем указывать левую границу промежутка |
времени, |
|
||||||||||||
т. е. будем писать N0 |
(г; ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Теперь рассмотрим аналогичные испытания на надежность оди |
|
|||||||||||||||
наковых изделий многократного действия. После выхода из строя |
|
|||||||||||||||
эти |
изделия |
восстанавливаются. |
Результаты |
процесса |
испытаний |
|
||||||||||
•' 1 |
В'общем случае эти события могут быть и неслучайными, например преднаме- |
• |
ренно вызванный отказ изделия.
21
в данном |
случае |
также удобно |
представить |
графически (рис. |
7). |
||||||
На рисунке xoki—промежуток |
времени |
исправной |
работы |
/г-го |
|||||||
изделия до 1-го отказа, xBki |
— промежуток |
времени, затрачиваемого |
|||||||||
на 1-е восстановление |
k-ro |
изделия. |
|
|
|
|
|
||||
При испытании изделий многократного действия |
рассматриваются |
||||||||||
следующие случайные |
величины: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Т — время |
исправной работы; |
|
|
|
|
|
||||
|
Тъ—время |
восстановления; |
|
|
|
|
|
||||
|
Тх |
= Т~\-Тв— |
время между отказами |
(восстановлениями); |
|||||||
N0 |
(t) |
— число |
отказов |
за промежуток |
времени |
[0, |
t]; |
|
|||
NB |
(t) |
— число |
восстановлений |
за промежуток |
времени [0, |
t]. |
|
|
Рис. |
6. |
Графическая |
иллюстрация |
процесса |
испытаний |
|
|
|||||
|
|
на надежность |
m изделий однократного действия. |
|
|
|
||||||||
|
При исследовании профилактического обслуживания техниче |
|||||||||||||
|
ских систем иногда бывает удобно рассматривать следующие слу |
|||||||||||||
|
чайные величины: длительность |
межпрофилактического |
периода |
Ты |
||||||||||
|
и длительность |
профилактики |
Тп. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Наиболее полной характеристикой любой случайной величины |
|||||||||||||
|
являются |
законы |
распределения. Законом |
распределения |
случайной |
|||||||||
|
величины |
Т называется всякое соотношение, устанавливающее |
||||||||||||
|
связь между возможными значениями случайной величины и соот |
|||||||||||||
|
ветствующими |
им вероятностями. Функцией |
распределения |
случай |
||||||||||
|
ной величины |
Т |
(или |
функцией |
ненадежности) |
называют функцию |
||||||||
1 |
времени |
t вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q(t) |
|
= P\T<t\, |
|
|
|
|
(2.1) |
||
|
где Р {Т |
<it\ |
есть вероятность |
отказа |
изделия |
до момента |
t. Q |
(t) |
||||||
|
является |
неубывающей, |
положительной, |
непрерывной |
функцией |
|||||||||
|
во всем диапазоне времени |
от 0 до оо. |
При t = |
О Q (0) |
= |
0 и при |
||||||||
|
t —> оо Q(t)—*l. |
Эта |
функция |
полностью |
определяет |
надежность |
||||||||
* |
изделия, |
работающего |
до |
первого отказа. |
|
|
|
|
|
22
Наряду с Q (I) |
часто |
используется |
и другая |
функция |
R |
(0 = |
1 — Q (0 = |
Р t \ , |
(2.2) |
которую назовем функцией надежности. Она характеризует вероят ность того, что отказ не наступит в течение времени t, т. е. вероят ность безотказной работы изделия за время [0, t]. Примерный вид функций Q (t) и R (t) показан на рис. 8.
Производная от функции ненадежности
q (t) = Q' (t) = -R' |
(t) |
(2.3) |
Рис. 7. Графическая иллюстрация процесса испытаний на на дежность т изделий многократного действия.
называется плотностью вероятности отказа. Она представляет собой дифференциальный закон распределения времени безотказной работы. График плотности q (t) дает наиболее наглядное представле
ние о надежности |
изделия. Плотность q {t) есть неотрицательная |
со |
|
функция, а | q (t) |
dt = 1. |
о |
|
Выразим вероятность отказа и вероятность безотказной работы изделия через плотность вероятности отказа:
t
Q(t) = |
\q(x)dx; |
(2.4) |
|
о |
|
|
t |
|
R(t)=\ |
— \q(x)dx. |
(2.5) |
|
о |
|
На рис. 9 показан типичный график плотности q (t) для |
изделия, |
у которого отказы возникают по случайным причинам, а также из-за
23
старения. Геометрически вероятность отказа Q (I) есть не что иное, как площадь под кривой распределения, лежащая левее t.
С течением времени работающее изделие становится менее надеж ным. За величину, характеризующую степень надежности изделия в каждый данный момент времени, принимают отношение числа изделий, отказавших в единицу времени, к общему числу изделий, исправно работающих в данный момент времени. Назовем эту ха рактеристику в соответствии с ГОСТ 13377—67 [20] интенсивностью отказа и обозначим ее через К (t). Интенсивность отказа есть не что
Рис. 8. Примерный вид некоторых ннте- |
Рис. 9. Примерный вид некоторых |
тральных характеристик надежности. |
дифференциальных характеристик на |
|
дежности. |
иное, как отношение «скорости» изменения вероятности отказа изде лия к вероятности безотказной работы изделия в данный момент времени:
dQ{t)
|
|
= |
= |
=- - w |
= - ж [ l n R |
|
<2-6) |
||||
|
|
|
J |
q(x)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
В терминах |
теории вероятностей A. (t) |
есть плотность |
условной |
||||||||
вероятности отказа в момент t |
при условии, |
что до этого |
момента |
||||||||
изделие |
работало безотказно. |
|
|
вероятность q (t) |
dt, т. е. |
||||||
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим |
|||||||||||
безусловную |
вероятность |
того, что изделие, введенное в |
действие |
||||||||
в момент t = 0, откажет |
на участке времени |
[t, |
t + dt]. |
Это есть |
|||||||
вероятность |
совмещения |
двух |
событий: |
|
|
|
|
|
|||
А — изделие |
работает |
исправно на |
отрезке времени [0, t]; |
||||||||
В — изделие |
отказывает на |
участке |
времени |
[t,t-\-dt]. |
|||||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q{t)dt |
= P{A[\B) |
= P (А) Р (В\А) |
= |
R(t) |
Р (В}А), |
(2.7) |
|||||
где Р (В\А)—условная |
вероятность |
отказа |
изделия |
на |
участке |
||||||
времени |
U, t + |
dt] при условии, что за период времени |
[0, t] оно |
||||||||
не отказало. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24
Из выражения (2.7) следует, что
P(B\A) = ^ l d i = l(t)dt.
Интегрируя выражение (2.6), получим
|
R (0 = ехр |
j " К (х) dx |
|
(2.8) |
|||
Если задана |
функция |
X (t), |
то этим задана |
и функция |
q (t), по |
||
скольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— j A (.v) dx |
|
||
|
q(l) = |
X(t)R(t) |
= X(t)e |
0 |
. |
(2.9) |
|
В связи с тем |
что преобразования |
(2.6) |
и (2.9) являются |
взаимно |
обратными, функция К (t) содержит ту же информацию о надежности
изделия, что и функция |
q |
(t). На рис |
9 по заданной плотности ве |
|||||
роятности отказа |
q {t) |
по |
уравнению |
(2.6) построена |
соответству |
|||
ющая ей интенсивность отказа % (t). |
|
|
|
|
||||
Функция надежности R (/) определяет вероятность безотказной |
||||||||
работы в интервале времени [0, t]. |
Но |
если известно, |
что |
изделие |
||||
уже проработало |
исправно |
время |
tlt |
то |
можно вычислить |
вероят |
ность его безотказной работы на последующем промежутке времени
[tv |
t2). Действительно, |
вероятность |
безотказной |
работы |
изделия |
||||||||
в |
интервале времени |
[0, |
t2] |
равна |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
R (U) |
= R |
(*i) R (fsl 'i) . |
|
|
(2-10) |
|||||
где R(t2\t1)-—условная |
|
вероятность |
безотказной |
работы |
изделия |
||||||||
в |
интервале времени [tx, |
to,], вычисленная в предположении, что |
|||||||||||
данное |
изделие |
работало |
безотказно |
в |
интервале [0, |
t]. |
Решив |
||||||
уравнение (2.10) |
относительно R ( £ 2 | ^ ) , |
с учетом |
выражения |
(2.8) |
|||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
R{t2\t1) |
= |
M± |
= |
e |
. |
|
|
(2.11) |
||
|
Мы |
познакомились |
с |
рядом |
характеристик Q (t), |
R {t), |
q (/), |
||||||
h (t), которые полностью |
определяют |
надежность |
изделия, |
работа |
ющего до первого отказа, с вероятностной точки зренияЗаметим, что при одной и той же точности для оценки указанных функций требуется гораздо больший объем испытаний, чем для оценки какойлибо фиксированной вероятности, например Q (tj) или R По этой причине на практике во многих случаях надежность характе ризуют не указанными функциями, а некоторыми числовыми вели чинами, которые, как правило, легче определить из эксперимента.
25
Важнейшей из таких величин является средняя наработка до первого отказа, которая определяется как математическое ожидание случайной величины Т0:
|
с о |
|
Т0 |
= М[Т0} = \ tq(t)dt. |
(2.12) |
|
о |
|
Полезно преобразовать этот интеграл к другому виду, взяв его по частям:
Т0 = J iq (t)dt = -\tR' |
(t)dt = -tR (i) |
+ |
|
|
:0 |
+ \R(t)dt=\ |
R{t)dt. |
(2.13) |
о |
0 |
|
Из формулы (2.13) видно, что средняя наработка до первого отказа геометрически выражается площадью, ограниченной осями координат и кривой R (t). Эта величина в какой-то мере дает пред ставление о надежности изделия, характеризуя среднее значение, около которого группируются возможные значения времени его исправной работы. По этой причине среднюю наработку до первого
отказа |
нельзя |
смешивать |
ни |
со |
средним |
возрастом |
действующих |
||||||
в данный момент изделий, ни со средним |
|
возрастом отказавших. |
|||||||||||
Говоря об изделиях, уже проработавших исправно |
определенный |
||||||||||||
срок tlt |
уместно характеризовать |
их не только средней |
наработкой |
||||||||||
до первого отказа Г 0 , но и средней |
продолжительностью |
|
предстоящей |
||||||||||
безотказной |
работы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
с о |
|
|
|
|
|
|
|
T0(ti) |
= М[Т0-tj |
= |
\ ( t - |
tjq(tI |
tjdt, |
|
(2.14) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t\ |
|
|
|
|
|
где q (t |
I ty) — плотность |
условной |
вероятности отказа |
в момент t |
|||||||||
при условии, что до момента |
tt изделие |
работало безотказно. |
|||||||||||
В соответствии |
с (2.9) и (2.11) имеем |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
q{t\t1) = |
% (t)R(t |
|
I tt) = |
X (t) -ZUL. |
|
(2.15) |
||||
Подставляя |
(2.15) |
в (2.14), находим |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
с о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
( / - |
tJqW dt |
|
|
|
|
|
|
|
(t-tJkWRWdt |
|
_ft |
|
R (*J |
|
(2.16) |
|||
|
1 о (h) |
= |
J |
R (fl) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Взяв по частям интеграл, стоящий в числителе (2.16), оконча тельно получаем
\R(t)d(
26
Из формулы (2.17) видно, что средняя продолжительность пред стоящей безотказной работы при условии, что изделие исправно
проработало на интервале времени |
[0, tx], |
численно равна площади, |
||||||||||||
показанной |
|
штриховкой |
на |
|
|
|
|
|
|
|||||
рис. 10, деленной на R (t-y). |
|
'\Ш |
|
|
|
|
||||||||
|
Средняя |
наработка |
до |
пер |
|
|
|
|
|
|
||||
вого отказа |
Т 0 |
является, таким |
|
|
|
|
|
|
||||||
образом, |
частным |
значением |
|
|
|
|
|
|
||||||
функции |
Т 0 (tj) |
при |
tx |
— 0. |
|
|
|
|
|
|
||||
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
CD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Го (0) |
|
J*<0 dt |
Та. |
|
Рис. 10. |
Графическая иллюстрация |
фор |
||||||
|
|
0 |
Л(0) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мулы (2.17). |
|
|
||
|
Другой числовой характеристикой надежности является |
диспер |
||||||||||||
сия |
времени |
безотказной |
работы |
|
изделия |
|
|
|
||||||
|
|
D [То] = |
М [(Т0 |
- |
То)2 ] = |
М [То] - {М [То] }2 |
= |
|
|
|||||
|
СО |
|
|
|
|
|
|
со |
с о |
|
с о |
|
|
|
= |
\t2g (t) dt |
- |
То = |
— t2R(t) |
+ |
j /? (0 2t dt — Tl = 2\ |
tR (t) dt |
— |
T0, |
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
(2.18) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которая характеризует степень разбросанности значений случайной
величины Т 0 около среднего |
значения |
Т0 - |
|
§ 5. Процесс функционирования |
восстанавливаемых |
||
|
изделий |
как поток событий |
|
Исследование вопросов |
надежности |
на современном уровне |
требует знания основных понятий, выработанных при изучении потоков событий в теории массового обслуживания [8, 34].
Под потоком событий в теории вероятностей понимается после довательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени tr События, образующие поток, в общем случае могут быть и различными. Мы будем рассматривать лишь потоки однородных событий, различающихся только моментами их появле
ния. |
Такой |
поток можно изобразить как последовательность точек |
|
tlt |
t2, . . ., |
th |
. . ., соответствующих моментам появления отказов |
(рис. 11, а) или восстановлений (рис. 11,6). |
|||
Кроме того, |
функционирование восстанавливаемого изделия за |
длительный период времени может быть представлено графически либо в виде потока бесконечно коротких импульсов (рис. 12, а) — при нулевом времени восстановления, либо в виде прямоугольных
импульсов (рис. |
12, б) — при |
конечном времени |
восстановления. |
Для каждого |
фиксированного значения t > |
0 число отказов |
|
N0 (/) и число восстановлений |
jV„ (/) представляют |
собой случайные |
27
величины. |
При |
переменном |
t, изменяющемся |
в полуинтервале |
||
t£ [О, оо), NQ (I) |
и NB |
(i) представляют |
собой однопараметрические |
|||
семейства |
случайных величин, |
которые |
называют случайными функ |
|||
циями или случайными |
процессами. Случайную |
последовательность |
отказов (восстановлений), образующую поток событий, будем назы
вать процессом |
отказов |
(восстановлении). |
Для определения потока |
а) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
* |
5) |
1 |
! |
|
1 |
0 |
t, |
и |
|
Рис. 11. Графическое представление |
потока отказов (а) и потока вос |
||
|
становлении |
(б) с помощью |
последовательности точек. |
отказов достаточно знать все моменты появления отказов (или про
межутки между ними). Поскольку |
промежутки между отказами Т1 |
(I = 1, 2, . . . , ш) — случайные |
величины, то для определения |
потока отказов нужно задать только закон распределения этих слу
чайных величин, т. е. m-мерный |
закон |
распределения |
вектора |
1Ти Т2, |
. . ., |
Тп]. |
(2.19) |
О |
t, |
t2 |
tL-t |
tL |
tM |
t |
Рис. 12. Графическое представление потока отказов (о) и потока вос становлений (б) с помощью прямоугольных импульсов.
Фундаментальное значение в теории надежности играет так назы ваемая функция восстановления Н (/), которая равна среднему числу восстановлений изделия, происшедших за интервал времени [0, t\:
|
|
|
|
|
СО |
СО |
|
|
|
H(l) |
= M [NB (01 = |
S kPk [0, t]= |
^kP |
\NB |
(0 = /г}, |
(2.20) |
|||
где Pk |
10, |
t] — P |
\ NB |
(t) — k\ •—• вероятность |
появления |
в про |
|||
межутке |
времени |
[0, t\ |
ровно /г восстановлений. |
|
|
||||
Н (t) — всегда |
положительная, конечная |
и неубывающая |
функ |
||||||
ция времени. График Н (t) показан на рис. 13. |
|
|
|||||||
В теории надежности рассматриваются процессы с нулевым |
|||||||||
временем восстановления |
и с конечным |
временем |
восстановления. |
28
Процесс с нулевым временем восстановления справедлив в том случае, когда время восстановления пренебрежимо мало по сравнению с временем исправной работы изделия, т. е. когда можно считать, что восстановление происходит мгновенно. Однако на практике, как бы быстро ни происходила замена отказавшего изделия исправным, на
это требуется какое-то (пусть очень |
л |
|
|||||
малое) время. |
|
|
|
|
|
||
Для |
процессов |
с |
«мгновенным» |
|
|
||
временем |
восстановления |
функцию |
|
|
|||
восстановления обозначим через Q (/) |
|
|
|||||
и назовем |
функцией |
отказов, так |
|
|
|||
как |
|
|
|
|
|
|
|
Cl(t) = |
M[Nn(t) |
= |
N0(t)\ |
= |
|
|
|
|
со |
|
|
|
Рис. 13. Функция |
восстановле |
|
= |
S |
kP{N0{t) |
|
= k}. |
(2.21) |
ния Н |
(t). |
|
k = 1 |
|
|
|
|
|
Весьма важными характеристиками потока отказов (восстановле ний) являются следующие дифференциальные характеристики:
1) интенсивность потока отказов в момент времени t
(0(f): dt
Q(t + At) — Q (t)
At->0 At
|
|
|
|
|
|
|
У kPk |
[t, |
t + |
Д/] |
|
|
= |
l i m Q [ M + |
A/] = Ш |
п |
^ |
|
|
|
(2.22) |
||
|
|
д/->о |
|
|
|
Al_>0 |
|
At |
|
|
|
2) |
интенсивность |
потока |
восстановлений |
|
в |
момент времени t |
|||||
|
|
Н® |
= Щ& |
= \\т Н |
[ и + Ы]; |
|
(2.23) |
||||
3) |
параметр |
(или темп) |
потока |
отказов |
{восстановлений) в мо |
||||||
мент |
времени t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ |
Pk{t,t |
+ At] |
|
|
||
|
|
a (t) = lim |
|
|
А |
|
, |
|
(2.24) |
г&еPk[t,t-\- At]— вероятность появления на промежутке \t, t+ At] ровно k отказов (восстановлений).
§ 6. Надежность восстанавливаемых изделий
Восстанавливаемое изделие в процессе функционирования может отказать много раз. Такой процесс можно описать либо с помощью непрерывных случайных величин, характеризующих время исправ ной работы Т, длительность восстановления Тв или время между последовательными событиями (отказами или восстановлениями)
29