книги из ГПНТБ / Рябинин И.А. Надежность судовых электроэнергетических систем и судового электрооборудования учебник

Решим данную систему алгебраических уравнений для начальных условий

Изображение функции надежности R (z) в данном случае удобнее искать непосредственно методом подстановок, учитывая при этом соотношение Р3 (г) = Q (z). Получаем

203

204

Получаем

Сопоставляя (7.56) с (7.31), можно заметить, насколько возросла громоздкость выкладок и преобразований по сравнению со случаем идентичных элементов (хх = х2 = х).

Зная изображение функции надежности R (z), нетрудно опреде­ лить математическое ожидание времени работы системы до первого отказа из соотношения

205

Подставляя значения постоянных коэффициентов а2 и а3, опре­ деляемых выражениями (7.45), в (7.59) и производя несложные пре­ образования, будем иметь

Проконтролируем правильность формулы (7.60) для частных

что справедливо для случая нагруженного дублирования с восста­

что справедливо для случая, когда один элемент— невосстанавливаемый.

Из соотношения (7.60) можно получить формулу

206

В заключение параграфа подведем некоторые итоги расчета надежности восстанавливаемых систем методами теории массового обслуживания.

Если принятые в рассматриваемой математической модели допу­ щения выполняются на практике, то расчеты надежности указан­ ными методами позволяют дать точную и объективную оценку про­ цесса функционирования восстанавливаемой системы. В случае же несоблюдения всех необходимых допущений рассмотренная модель является интересной в чисто научном отношении, как некоторый эталон точного решения задачи (с учетом восстановления) при разработке различных приближенных методов и контроле их точности.

Исследование надежности восстанавливаемых СЭС методами теории

исследуемая система, найти соответствующие переходные вероятности и вычертить схему изменения состояний;

3)составить дифференциальные уравнения, описывающие изме­ нение вероятностей-этих состояний в зависимости от стратегии об­ служивания и принятых особенностей системы (в полном соответ­ ствии со схемой изменения состояний);

4)проинтегрировать полученную систему дифференциальных уравнений (при необходимых начальных условиях) тем или иным известным способом, в том числе и методом численного интегрирова­ ния с помощью ЭЦВМ.

§ 26. Приближенный логико-вероятностный метод расчета надежности СЭС с учетом восстановления

Реальные СЭС являются восстанавливаемыми системами с резер­ вированием и разнотипными элементами. Поэтому расчет их харак­ теристик надежности представляет еще более сложную задачу по сравнению с рассмотренными выше. При построении математи­ ческой модели сложной системы получаются весьма общие схемы массового обслуживания, трудно поддающиеся аналитическому иссле­ дованию и требующие применения численных методов и средств вычислительной техники.

С другой стороны, на практике абсолютная точность решения системы дифференциальных уравнений высокого порядка, определя­ емого обычно числом состояний исследуемой технической системы, и не нужна. Удовлетворительную точность при практических рас­ четах можно получить, пользуясь приближенными формулами и оценками.

Например, точное выражение для вероятности безотказной работы дублированной и восстанавливаемой системы имеет вид (7.31) при нагруженном и (7.33) при ненагруженном резервировании, т. е. представляет собой сумму двух затухающих экспонент. Определим сейчас точные выражения и для математических ожиданий времени работы до первого отказа этих дублированных систем.

207

Из дифференциальных уравнений (7.29) и (7.30) нетрудно полу­ чить изображения функции надежности в виде

откуда по формуле (7.58) находим

и судового электрооборудования весьма малы (порядка 0,005 —• 0,05), корни (7.32) и (7.34) существенно отличаются друг от друга. Можно показать, что

Даже для рассмотренного в § 25 численного примера с завышенным

Действительно, при указанном выше соотношении корней (7.72)

208

Основываясь на малости р, можно также заменить еще более гро­ моздкую (но точную) формулу (7.56) одной эквивалентной экспонентой (7.73), в которой параметр Тг следует вычислять по точной формуле (7.60) или по приближенной формуле (7.66).

Таким образом, придя к выводу о целесообразности и необхо­ димости поиска приближенных решений для оценки надежности восстанавливаемых СЭС, следует определить и способ получения таких решений. Принципиально возможны два противоположных направления:

1) получение точных решений с последующим их упрощением;

2) поиск сразу приближенных решений с последующей проверкой их более мощными средствами.

Первое направление в настоящее время является доминирующим. Его преимущество заключается в том, что, имея точное решение в общем виде, всегда можно получить и достаточно точную оценку совершаемой погрешности в аналитической форме. Однако для слож­ ных систем, к которым относится СЭС, найти точное решение в общем виде весьма затруднительно, а подчас и невозможно.

Рассмотрим более подробно второе направление, ориентирующее на разработку приближенной методики оценки надежности СЭС, минуя точное решение. Заметим, что основные затруднения при этом обусловлены мостиковой структурой СЭС, достаточно большой избы­ точностью (резервированием) системы и разнотипностью резерви­ рованных элементов.

Прежде всего для исследуемой системы необходимо составить условия ее работоспособности, выраженные через конъюнкцию

Затем следует несколько упростить ФАЛ (7.79) с помощью опе­ рации вынесения за скобки одинаковых членов в некоторых конъюнк­ циях. При вынесении за скобки общих аргументов необходимо со­ хранить конъюнктивную форму записи функции ус. Иначе говоря, при этом преобразовании ФАЛ следует от конъюнкции элементарных дизъюнкций (5/) перейти к конъюнкции некоторых ДНФ (3t), кото­ рые будем называть звеньями схемы ненадежности системы:

видим, что расчет по формуле (7.81) действительно несколько зани­ жает фактическую надежность системы, т. е. является в некотором смысле гарантийным. С другой стороны, оценка надежности системы, получаемая по формуле (7.81), является более точной, чем нижняя оценка надежности системы, вычисляемая по формуле (7.83).

В примере 25 нам удалось достаточно точно оценить надежность иевосстанавливаемой системы, используя вероятности исправной работы звеньев схемы ненадежности. Далее задача состоит в том, чтобы получить расчетные формулы, позволяющие определять ве­ роятности R3. и с учетом восстановления элементов системы.

Как нетрудно заметить, функции Зр записанные в ДНФ, пред­ ставляют собой простые параллельные структуры, соответствующие нагруженному резервированию, а в последовательных цепях (чле­ нах дизъюнкции Зс) находятся, как правило, разнотипные элементы.

Указанная задача, таким образом, делится на две частные задачи:

1)по известным характеристикам безотказности и восстанавли­ ваемости элементов, находящихся в последовательной цепи звена, оценить соответствующие характеристики этой цепи;

2)по найденным характеристикам последовательных цепей оце­ нить надежность всего звена.

Эти две задачи при некоторых общепринятых допущениях можно решить с помощью теории совпадения импульсов независимых потоков.

На рис. 62 процесс функционирования каждого элемента xk (k =

— 1, 2, . . ., п) представлен в виде потока прямоугольных импуль­ сов, причем продолжительность исправной работы элемента постав­ лена в соответствие с длительностью паузы ук, а время восстановле­ ния — с длительностью импульса- zA.

При описании процессов в такой системе примем следующие допущения:

1)процесс восстановления элементов СЭС является стационарным;

2)процессы отказа и восстановления элементов СЭС независимы;

3)все исправные элементы находятся в режиме нагруженного резервирования, а все неисправные восстанавливаются (неограни­ ченное восстановление).

Совпадение двух и более импульсов будем считать состоявшимся, если их длительности перекрываются хотя бы частично (см. рис. 62). Импульс, образованный в результате перекрытия во времени задан­ ного числа s импульсов, будем называть импульсом совпадения.

Длительность такого импульса будем обозначать т„,s . На рис. 62 штриховкой показаны импульсы совпадения, образованные в ре­ зультате перекрытия четырех (ilui) И двух (т„.,) импульсов из п, а также импульс длительностью т„,х , который условно тоже будем считать импульсом совпадения. Через т„, „ обозначена длительность совпадающих пауз.

Процесс совпадения импульсов характеризуется только времен­ ными параметрами. Это позволяет форму импульсов каждого потока

считать прямоугольной, а их амплитуду равной единице. Длитель­ ность TtljS импульса совпадений, образованного в результате пере­ крытия во времени заданного числа s импульсов независимых потоков, является всегда величиной случайной.

Может быть доказана следующая теорема.

Если в процессе совпадения участвуют импульсы п стационарных и независимых потоков, то распределение длительности импульсов потока совпадений, образованных в результате перекрытия во вре­

212