книги из ГПНТБ / Рябинин И.А. Надежность судовых электроэнергетических систем и судового электрооборудования учебник

а значительные задержки в восстановлении системы наблюдаются редко.

Разумеется, часто время восстановления лучше описывается не показательным законом, а, например, законом Эрланга:

Однако в теории массового обслуживания чаще всего исполь­ зуется именно указанная выше гипотеза, так как, во-первых, харак­ теристики системы зависят главным образом не от вида закона рас­ пределения времени обслуживания (при условии, что Тв <^ Т0), а от среднего его значения Тв, и, во-вторых, допущения о показатель­ ном распределении времени между отказами и времени восстановле­ ния позволяют применить в теории надежности аппарат так называ­ емых марковских случайных процессов.

Процесс, протекающий в системе, называется марковским (или процессом без последействия), если для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от состояния системы в настоящий момент и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние.

В нашем случае процесс изменения состояний системы будет марковским процессом с непрерывным временем и конечным мно­ жеством состояний: состояние Е0 — система работоспособна, состоя­ ние Ег—система неработоспособна.

Два состояния системы, рассматриваемые как случайные события, свяжем со случайной величиной Е, равной Е0, когда система работо­

наступления отказа за последующее время A t равна Q (At) = 1 — е~х A t , а если система в момент t} находится в состоянии Ег, то вероятность восстановления за последующее время At равна V(At) — 1 • —e~ v A t .

Фиксируя какой-либо произвольный момент времени t, мы можем

По теореме сложения вероятностей несовместных событий полу­ чаем

Свойство отсутствия последействия, которое в данном случае имеет место, поскольку мы условились, что поток отказов является простейшим, позволяет, используя теорему умножения вероятностей, вычислить вероятность каждого из событий А и В. Так, вероятность события А равна

[здесь через о (At) обозначена величина, бесконечно малая по срав­ нению с At], Следовательно,

194

Схема возможных переходов исследуемой системы из одного состояния в другое дана на рис. 57.

Таким образом, для определения вероятностей состояний системы Ро (0 и Рг (t) в произвольный момент времени t мы имеем систему дифференциальных уравнений

Величина P0 (t) представляет собой не что иное, как вероятность застать систему исправной в любой произвольный момент времени t, т. е. функцию готовности КГ (t), которую и требовалось найти:

Зависимость функции готовности Кг (/) от значения коэффициента неисправности р показана на рис. 58. При увеличении р надежность

2) р = оо, ?i = const. Так как здесь Тп = оо, то этот случай соответствует отсутствию восстановления. Из (7.14) получаем Кг (t) =

Величина Кг представляет собой постоянную стационарную вероятность того, что система будет находиться в исправном состо­ янии в любой момент времени после tc, т. е. коэффициент готовности системы (2.38). Из выражения (7.16) видно, что можно достичь высокого уровня готовности систем даже при низкой исходной их надежности, для чего необходимо добиться условия

о

Вероятность непрерывной безотказной работы системы в течение времени т, начиная с момента t, в условиях рассматриваемой задачи

196

Подводя итог, следует отметить, что в данной задаче восстановле­ ние повышает надежность системы только в смысле увеличения ее готовности к действию. Вероятность же безотказной работы системы целиком определяется интенсивностью отказов X. При отсутствии восстановления формула (7.19) превращается в выражение

Эффективность восстановления можно количественно оценить коэффициентом Э (/), равным отношению вероятностей, определя­ емых по формулам (7.19) и (7.21):

Как и следовало ожидать, эта эффективность возрастает с увеличе­ нием интенсивности восстановления v, интенсивности отказов X и времени t.

Рассмотрим теперь восстанавливаемую систему с резервированием. Такая задача возникает, например, при оценке надежности электро­ станции, состоящей из двух идентичных генераторов, каждый из которых обеспечивает заданную мощность режима.

Для составления уравнений, описывающих поведение такой системы, воспользуемся допущениями о справедливости марковского случайного процесса, о равенстве параметров Хх — Х2 — X; \>г =

=v 2 = v и о невозможности отказов у неработающих генераторов. Рассмотрим четыре возможных варианта этой задачи:

1)оба генератора находятся в действии (имеется нагруженное резервирование, дублирование), а в случае их отказа они могут ремон­ тироваться как порознь, так и одновременно (т. е. восстановление

происходит без ограничений); 2) оба генератора находятся в действии, а в случае их отказа

ремонтируются по одному (ограниченное восстановление);

3)один генератор находится в действии, второй—в ненагруженном резерве; восстановление происходит без ограничений (как в первом варианте);

4)то же, что п в третьем варианте, но восстановление ограни­ ченное.

Дифференциальные уравнения, описывающие возможные состоя­ ния исследуемой системы ( £ 0 , Ех и Е2) для названных четырех вариантов задачи, имеют следующий вид:

для первого варианта

198

В табл. 32 представлены функции готовности К г 1 (I) — K r i (t) для четырех вариантов задачи, а на рис. 59 они представлены в гра­ фическом виде для следующих значений параметров:

% = 0,002 1/ч (Т0 = 500 ч), v = 0,01 1/ч (Тв = 100 ч), р = 0,2.

Из рассмотрения кривых К г (t) следует, что наибольшую готов­ ность имеет третья система, наименьшую — вторая и промежуточ­ ную готовность имеют первая и четвертая системы, что не противо­ речит и интуитивному представлению о степени готовности этих систем.

1,00КгW

а.

Стационарные значения коэффициентов готовности исследуемых систем равны

К л = 0,9722, Д'г 2 = 0,9459, /<г 3 = 0,9836, K T i = 0,9677.

При уменьшении коэффициента неисправности р коэффициент готовности системы Л"г возрастает. Уже при р — 0,1 соответствующие К г будут равны 0,9917; 0,9836; 0,9954; 0,9909.

При составлении дифференциальных уравнений для определения функции надежности системы R (t) следует «запретить» переходы системы из состояния Е% в состояние Ех, т. е. рассмотреть марков­ ский процесс, у которого состояние Е2 является поглощающим. Дифференциальные уравнения в этом случае примут вид:

для первого и второго вариантов

199

ность безотказной работы дублированной системы при нагруженном

Для принятых выше в качестве примера параметров, получим следующие численные выражения этих функций:

201

В случае различных параметров Хг =/= Х2 и vx ф v 2 описание дублированной системы намного усложняется, хотя методика в прин­

202