книги из ГПНТБ / Рябинин И.А. Надежность судовых электроэнергетических систем и судового электрооборудования учебник

4. Отрицания элементарных конъюнкций К\ выразим с помощью

Как видно из уравнения (6.91), все члены этой дизъюнкции дей­ ствительно попарно ортогональны. Уравнение (6.91) по внешнему виду сильно отличается от уравнения (6.66), тем не менее оно при­ водит к тем же самым количественным результатам.

Действительно, согласно формуле (6.80), имеем

При одинаковой надежности всех элементов вероятность безотказ­

ными выше методами показала, что в ряде случаев эти логические преобразования бывают весьма громоздкими, а число слагаемых в формулах (6.68) и (6.80) нередко превышает 100. При небольшом числе (d < 10) членов ДНФ функции у (6.38) указанные затруднения удается преодолеть с помощью табличного метода расчета надеж­ ности СЭС.

Этот метод основан на использовании теоремы сложения вероят­ ностей совместных событий, в качестве которых здесь непосредственно выступают элементарные конъюнкции условий работоспособности (или неработоспособности) системы, записанных в ДНФ с помощью

162

Согласно этой теореме и выражениям (6.94) и (6.95) вероятность безотказной работы системы (или вероятность ее отказа) можно вы­ числить по формулам

где знаки суммы распространяются на различные значения индек­ сов i, j , k.

Несмотря на кажущуюся громоздкость формул (6.96) и (6.97), расчеты надежности с их помощью оказываются достаточно простыми и легко контролируемыми. Для этого предлагается производить расчеты в табличной форме, чем и объясняется название данного ме­ тода расчета.

Согласно этому методу необходимо составить' специальную таб­ лицу, в которой нужно разместить т строк (по числу элементов в си­

боты элементов RXk (или вероятности их отказов QXk), а в названиях столбцов записываются все возможные сочетания конъюнкций аРг (или Sj), взятых по одной, по две, по три и т. д. Кроме того, указы­ ваются знаки вероятностей этих конъюнкций («+» или «—»), чере­ дующиеся в соответствии с формулой (6.96) или (6.97). Указанную таблицу следует заполнить крестиками и черточками, причем крести­ ками отмечаются вероятности тех событий, которые входят в данную конъюнкцию, а черточками — вероятности событий, отсутствующих в ней.

2) взаимно уничтожаются многие одинаковые конъюнкции, ве­ роятности которых имеют различные знаки.

Для сравнительной иллюстрации затрат времени на вычисление

приведем данные о затрате времени одним и тем же специалистом при использовании трех рассмотренных методов: 40 ч (алгоритм разрезания), 25 ч (алгоритм ортогонализации), 5 ч (табличный метод).

Пример 19. Решим ту же самую задачу, которая уже рассматри­ валась в предыдущих примерах 17 и 18, причем за исходное условие работоспособности примем функцию (6.40), записанную в повтор­ ной дизъюнктивной нормальной форме. Будем считать для простоты надежность всех элементов одинаковой и равной Rxk = 0,9.

164

рования системы по уравнению (6.40). Затем последовательно за­ полняем следующие столбцы, например пятый согласно функции

2 = (х^Х^Х^Ху) & (Х^Х^Х^Х^Х^Х^) = XyXgX^X^XgX^Xg.

Заполнив всю таблицу крестиками и черточками, вычеркиваем те

Теперь можно приступить к вычислению вероятности безотказ­ ной работы системы, перемножая в каждом столбце те вероят­ ности RXk, которые оказались отмеченными крестиками.

При одинаковой надежности элементов (что имеет место в рассма­ триваемом случае) расчет существенно упрощается, так как сводится к непосредственному подсчету степеней R в полиноме

который тождественен (6.71) и (6.93).

Схемно-логический метод расчета надежности СЭС. Рассмотрим теперь четвертый метод расчета надежности СЭС. Он основан на обобщенной теореме разложения произвольной функции алгебры логики по любым / аргументам

являющейся наглядной графической моделью условий работоспо­ собности исследуемой системы.

Использование схемно-логического метода преобразования ФАЛ для расчета надежности СЭС позволяет найти вероятность безотказ­ ной работы системы значительно быстрее, чем применение предыду­ щих методов. Это объясняется тем, что в данном методе использу­ ется разложение повторной ФАЛ не по одной букве, а сразу по целой комбинации повторяющихся аргументов и, кроме того, все преобра­ зования проводятся по РКС, что дает возможность избежать многих промежуточных проебразований, неизбежных при других методах ортогонализации.

не мостиковых структур!) с многими повторяющимися контактами. РКС дает наглядное представление о комбинации «выгодных» переменных, по которым следует делать разложение ФАЛ, и о наиболее целесообразной последовательности' преобразований, которая при­

водит схему к простейшему виду.

Для упрощения графической части работы условимся контакты на схемах не изображать и обозначать не буквами xt (замыкающий)

165

и x'i (размыкающий), а просто их номерами: i (замыкающий) и г" (размыкающий), как это показано на рис. 47, а.

На рис. 47, б — и дана графическая иллюстрация некоторых соотношений алгебры логики с помощью релейно-контактных схем. Например, на рис. 47, б показано преобразование РКС, соответ­ ствующее операции склеивания, которая записана справа от схемы.

IL

S)1—2т I3 T

S) - ~"T:

Рис. 47. ^Графическая иллюстрация некоторых соотношений алгебры логики с помощью релейно-контактной схемы (PKQ.

Преобразования РКС, показанные на рис. 47, в яг, соответствуют операциям поглощения и вынесения за скобки. Преобразования РКС, показанные на рис. 47, д и е, позволяют заменить группу последо­ вательно или параллельно соединенных контактов, имеющих один и тот же номер, одним контактом. Смысл преобразований, пока­ занных на рис. 47, ж—и, понятен без пояснений. Следует только отметить, что постоянно разомкнутая цепь обозначена на рис. 47, ж нулем, а постоянно замкнутые цепи на рис. 47, з и и— римской цифрой 1, чтобы отличать такую цепь от контакта с номером 1.

166

После этих замечаний сформулируем алгоритм схемно-логичес- кого метода преобразования ФАЛ для расчета надежности СЭС:

1. По условиям работоспособности системы, записанным в ДНФ, изображаем релейно-контактную схему. При этом контакты, вхо­ дящие одновременно в несколько параллельных цепей, выносим в общую для них последовательную цепь.

2. Выбираем для вынесения в последовательную цепь такую комбинацию контактов, которая обеспечивает размыкание всех или большей части параллельных цепей РКС. Опыт расчета надеж­ ности СЭС показывает, что при числе параллельных цепей не более 20 для их одновременного размыкания обычно достаточно комбинации, состоящей из двух—пяти контактов. После вынесения группы из г контактов РКС распадается на 2Г параллельных схем.

3. В каждой из 2Г полученных параллельных схем производим преобразования, вытекающие из теоремы разложения (6.102), а именно: контакты, одинаковые с вынесенными, замыкаем, а отрицания вынесенных контактов размыкаем.

4.В схемах, полученных в результате преобразований, удаляем все разомкнутые цепн и заменяем все группы контактов, оказавшиеся короткозамкнутыми, проводом (линией). Кроме того, контакты, имеющиеся во всех параллельных цепях, выносим в общую после­ довательную цепь, а цепи, поглощаемые другими, параллельными им цепями, удаляем.

5.Изучаем каждую из 2Г преобразованных как указано в п. 4 схем (последовательная цепь, состоящая из г контактов и контактов, вынесенных в эту цепь дополнительно, не рассматривается).

Если схема оказалась постоянноразомкнутой, то она из дальней­ шего рассмотрения исключается.

Если схема оказалась постояннозамкнутой, то она дальнейшим преобразованиям не подвергается.

Если схема оказалась бесповторной, то на этом процесс ее пре­ образования также заканчивается. Бесповторную функцию, соответ­ ствующую данной схеме, записываем в конъюнктивной форме.

Если схема не является бесповторной, то переходим к п. 2 и производим дальнейшие преобразования в соответствии с пп. 2, 3, 4 и 5.

6.По полученным в результате преобразований схемам записы­ ваем ФАЛ.

7.От ФАЛ переходим к вероятностной функции и по ней вычисляем вероятность безотказной работы системы как вероятность равенства ФАЛ единице.

Переход от ФАЛ, полученной в результате преобразований (пп. 1—6), к вероятностной функции осуществляется по следующим правилам:

1) каждая буква в ФАЛ заменяется вероятностью ее равенства

167

2) отрицание функции заменяется разностью между единицей и вероятностью равенства этой функции единице; например,

однако, широкое использование в нем перехода к конъюнктивной

вынесены в общую для них последовательную цепь. Кроме того, вынесены в последовательную цепь контакты 1, 3 и 2, 4.

168

В соответствии с алгоритмом преобразования применим разло­ жение схемы по контактам (переменным) 5 и 6, которые входят во все параллельные цепи. Так как число г выносимых контактов равно двум, то можно составить четыре ортогональные конъюнкции

XgXg, XgXg, XgXg, XgXg.

Результат разложения схемы, представленной на рис. 48, показан на рис. 49. При вынесении контактов 5' и 6' и размыкании в схеме на рис. 48 контактов 5 и 6 схема превращается в постоянноразомкнутую цепь (схема /) . Схемы / / и / / / на рис. 49 после вынесения контактов 4 и 3 в общую

По схемам II, III и IV рис. 49 запишем ФАЛ (6.40) в виде суммы трех ортогональных слагаемых, заменив цифры соответствующими переменными:

169

Теперь бесповторные ДНФ в каждом слагаемом запишем в конъ­ юнктивной форме:

X7ZQZXX

• * 8 2 1 0 Г 1 1

X2X3X4X^X7ZX2

XiXaX^XaXSZ12

PKC, соответствующая функции (6.111), приведена на рис. 50. Нетрудно видеть, что в данном случае целесообразно применить разрезание функции у (хг, . . ., z12) сразу по четырем переменным х&, х„, х, и х8 . Во всех параллельных цепях обязательно содержатся какие-то из этих переменных, причем в четырех цепях имеется по две переменных из четырех, а в двух нижних цепях — по одной.

170