книги из ГПНТБ / Рябинин И.А. Надежность судовых электроэнергетических систем и судового электрооборудования учебник

Любая ФАЛ может быть записана в СКНФ в виде

/

• • •, хп) — & Д/,

(1.34)

рых функция / (А-!, . . .,

хп) равна нулю.

ортогональ­

О п р е д е л е н и е

7. Две элементарные конъюнкции называются

ными, если их произведение равно нулю.

Например, произведение элементарных конъюнкций x'jX, и х^х^х^

равно нулю,

их

расположением

в столбце.

К логическим

матрицам

применимы

все

известные

преобразования

алгебры

логики. Так, переместительный закон

конъюнкции допускает перестановку логиче­

ских символов в строке, а переместительный закон

дизъюнкции — перестановку

строк логической

матрицы.

Пусть функция алгебры логики

имеет вид

/ (хи

xs)=

{{х\&х3&

[хъ V (х4&Хй&х8)]}

V

V {.VO&A-4& [хв\>(х3&хь&хв)]}}&хт

(1.35)

В матричной форме уравнение (1.35) может быть представлено в виде

/Ч*и

• •

ха) =

I

х~,

Х\Х3ХЪХ^

(1.36)

Х^ХвХь

х2.ХзХцХвХ^Ха

х^х^

ХВ

XyX/jX^Xi

Х3Хс,Х$

Х2Х3Х^Х-аХ^Ха

Вторая матрица уравнения (1.36) записана в ДНФ.

При приведении к нормальной форме логические матрицы упрощаются. Напри-

мер

используя распределительный закон конъюнкции, получаем выражение

/ (*i, х2,

х3) =

*!& (х2

V х3)

= (х1&х2)

V (*i& *з) =

=

Xl

х2

=

Х]Х^

(1.37)

х3

%1х8

а применяя закон

инверсии,

находим

=

х±х2

/

x'l

Н

(1.38)

X3Xi

Ч

х\

ГЛАВА

2"

КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ

ХАРАКТЕРИСТИКИ

НАДЕЖНОСТИ

§ 4. Надежность невосстанавливаемых изделий

Отказ и восстановление — это два противоположных

случайных

события 1 . На практике часто вместо случайных событий оказывается

удобным оперировать со случайными величинами.

Случайной

величиной

называется величина,

которая в

результате

опыта может принять то или иное заранее неизвестное значение.

Между случайными событиями и случайными величинами

существует

органическая

связь. Рассмотрим,

как

устанавливается такая связь

и какие основные случайные величины используются в теории на­

дежности для характеристики изделий однократного и многократ­

ного

действия.

Пусть m одинаковых изделий (элементов или систем) однократ­

ного действия поставлены на испытания, которые должны выявить

их надежность. Испытания проводятся в практически одинаковых

условиях. Каждое изделие проработает какое-то время и откажет.

На рис. 6 результаты описанного эксперимента показаны гра­

фически. Промежутки времени исправной работы от начала испыта­

ния до момента отказа обозначены через хок,

а

моменты

времени,

когда

появились

отказы, через

t0k- При отсчете

времени от

одного

и того

же

начала

т о й =

t0k,

если

же

испытания

начинались

разно­

временно,

то

в общем

случае

т о й

=}=

t0k.

Указанную информацию об отказах можно связать либо с не­

прерывной случайной величиной Та—временем

исправной

работы'

до первого отказа, либо с дискретной случайной величиной

JV0 [tc_v-

tt] — числом

отказов

за

рассматриваемый

промежуток

времени

l ^ - i .

^ - ] - Условимся

случайные

величины

обозначать

большими

буквами,

а их возможные

значения — соответствующими

малыми

буквами. При подсчете числа отказов

от ti_1

=

0 для

сокращения

записи

N0

не будем указывать левую границу промежутка

времени,

т. е. будем писать N0

(г; ).

Теперь рассмотрим аналогичные испытания на надежность оди­

наковых изделий многократного действия. После выхода из строя

эти

изделия

восстанавливаются.

Результаты

процесса

испытаний

•' 1

В'общем случае эти события могут быть и неслучайными, например преднаме-

•

в данном

случае

также удобно

представить

графически (рис.

7).

На рисунке xoki—промежуток

времени

исправной

работы

/г-го

изделия до 1-го отказа, xBki

— промежуток

времени, затрачиваемого

на 1-е восстановление

k-ro

изделия.

При испытании изделий многократного действия

рассматриваются

следующие случайные

величины:

Т — время

исправной работы;

Тъ—время

восстановления;

Тх

= Т~\-Тв—

время между отказами

(восстановлениями);

N0

(t)

— число

отказов

за промежуток

времени

[0,

t];

NB

(t)

— число

восстановлений

за промежуток

времени [0,

t].

Рис.

6.

Графическая

иллюстрация

процесса

испытаний

на надежность

m изделий однократного действия.

При исследовании профилактического обслуживания техниче­

ских систем иногда бывает удобно рассматривать следующие слу­

чайные величины: длительность

межпрофилактического

периода

Ты

и длительность

профилактики

Тп.

Наиболее полной характеристикой любой случайной величины

являются

законы

распределения. Законом

распределения

случайной

величины

Т называется всякое соотношение, устанавливающее

связь между возможными значениями случайной величины и соот­

ветствующими

им вероятностями. Функцией

распределения

случай­

ной величины

Т

(или

функцией

ненадежности)

называют функцию

1

времени

t вида

Q(t)

= P\T<t\,

(2.1)

где Р {Т

<it\

есть вероятность

отказа

изделия

до момента

t. Q

(t)

является

неубывающей,

положительной,

непрерывной

функцией

во всем диапазоне времени

от 0 до оо.

При t =

О Q (0)

=

0 и при

t —> оо Q(t)—*l.

Эта

функция

полностью

определяет

надежность

*

изделия,

работающего

до

первого отказа.

Наряду с Q (I)

часто

используется

и другая

функция

R

(0 =

1 — Q (0 =

Р t \ ,

(2.2)

q (t) = Q' (t) = -R'

(t)

(2.3)

ние о надежности

изделия. Плотность q {t) есть неотрицательная

со

функция, а | q (t)

dt = 1.

о

Q(t) =

\q(x)dx;

(2.4)

о

t

R(t)=\

— \q(x)dx.

(2.5)

о

На рис. 9 показан типичный график плотности q (t) для

изделия,

Рис. 8. Примерный вид некоторых ннте-

Рис. 9. Примерный вид некоторых

тральных характеристик надежности.

дифференциальных характеристик на­

дежности.

=

=

=- - w

= - ж [ l n R

<2-6)

J

q(x)dx

t

В терминах

теории вероятностей A. (t)

есть плотность

условной

вероятности отказа в момент t

при условии,

что до этого

момента

изделие

работало безотказно.

вероятность q (t)

dt, т. е.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим

безусловную

вероятность

того, что изделие, введенное в

действие

в момент t = 0, откажет

на участке времени

[t,

t + dt].

Это есть

вероятность

совмещения

двух

событий:

А — изделие

работает

исправно на

отрезке времени [0, t];

В — изделие

отказывает на

участке

времени

[t,t-\-dt].

Имеем

q{t)dt

= P{A[\B)

= P (А) Р (В\А)

=

R(t)

Р (В}А),

(2.7)

где Р (В\А)—условная

вероятность

отказа

изделия

на

участке

времени

U, t +

dt] при условии, что за период времени

[0, t] оно

не отказало.

R (0 = ехр

j " К (х) dx

(2.8)

Если задана

функция

X (t),

то этим задана

и функция

q (t), по­

скольку

— j A (.v) dx

q(l) =

X(t)R(t)

= X(t)e

0

.

(2.9)

В связи с тем

что преобразования

(2.6)

и (2.9) являются

взаимно

изделия, что и функция

q

(t). На рис

9 по заданной плотности ве­

роятности отказа

q {t)

по

уравнению

(2.6) построена

соответству­

ющая ей интенсивность отказа % (t).

Функция надежности R (/) определяет вероятность безотказной

работы в интервале времени [0, t].

Но

если известно,

что

изделие

уже проработало

исправно

время

tlt

то

можно вычислить

вероят­

[tv

t2). Действительно,

вероятность

безотказной

работы

изделия

в

интервале времени

[0,

t2]

равна

R (U)

= R

(*i) R (fsl 'i) .

(2-10)

где R(t2\t1)-—условная

вероятность

безотказной

работы

изделия

в

интервале времени [tx,

to,], вычисленная в предположении, что

данное

изделие

работало

безотказно

в

интервале [0,

t].

Решив

уравнение (2.10)

относительно R ( £ 2 | ^ ) ,

с учетом

выражения

(2.8)

получим

и

R{t2\t1)

=

M±

=

e

.

(2.11)

Мы

познакомились

с

рядом

характеристик Q (t),

R {t),

q (/),

h (t), которые полностью

определяют

надежность

изделия,

работа­

с о

Т0

= М[Т0} = \ tq(t)dt.

(2.12)

о

Т0 = J iq (t)dt = -\tR'

(t)dt = -tR (i)

+

:0

+ \R(t)dt=\

R{t)dt.

(2.13)

о

0

отказа

нельзя

смешивать

ни

со

средним

возрастом

действующих

в данный момент изделий, ни со средним

возрастом отказавших.

Говоря об изделиях, уже проработавших исправно

определенный

срок tlt

уместно характеризовать

их не только средней

наработкой

до первого отказа Г 0 , но и средней

продолжительностью

предстоящей

безотказной

работы

с о

T0(ti)

= М[Т0-tj

=

\ ( t -

tjq(tI

tjdt,

(2.14)

t\

где q (t

I ty) — плотность

условной

вероятности отказа

в момент t

при условии, что до момента

tt изделие

работало безотказно.

В соответствии

с (2.9) и (2.11) имеем

q{t\t1) =

% (t)R(t

I tt) =

X (t) -ZUL.

(2.15)

Подставляя

(2.15)

в (2.14), находим

с о

f

( / -

tJqW dt

(t-tJkWRWdt

_ft

R (*J

(2.16)

1 о (h)

=

J

R (fl)

11

проработало на интервале времени

[0, tx],

численно равна площади,

показанной

штриховкой

на

рис. 10, деленной на R (t-y).

'\Ш

Средняя

наработка

до

пер­

вого отказа

Т 0

является, таким

образом,

частным

значением

функции

Т 0 (tj)

при

tx

— 0.

Действительно,

CD

Го (0)

J*<0 dt

Та.

Рис. 10.

Графическая иллюстрация

фор­

0

Л(0)

мулы (2.17).

Другой числовой характеристикой надежности является

диспер­

сия

времени

безотказной

работы

изделия

D [То] =

М [(Т0

-

То)2 ] =

М [То] - {М [То] }2

=

СО

со

с о

с о

=

\t2g (t) dt

-

То =

— t2R(t)

+

j /? (0 2t dt — Tl = 2\

tR (t) dt

—

T0,

0

0

0

0

(2.18)

величины Т 0 около среднего

значения

Т0 -

§ 5. Процесс функционирования

восстанавливаемых

изделий

как поток событий

Исследование вопросов

надежности

на современном уровне

ния.

Такой

поток можно изобразить как последовательность точек

tlt

t2, . . .,

th

. . ., соответствующих моментам появления отказов

(рис. 11, а) или восстановлений (рис. 11,6).

Кроме того,

функционирование восстанавливаемого изделия за

импульсов (рис.

12, б) — при

конечном времени

восстановления.

Для каждого

фиксированного значения t >

0 число отказов

N0 (/) и число восстановлений

jV„ (/) представляют

собой случайные

величины.

При

переменном

t, изменяющемся

в полуинтервале

t£ [О, оо), NQ (I)

и NB

(i) представляют

собой однопараметрические

семейства

случайных величин,

которые

называют случайными функ­

циями или случайными

процессами. Случайную

последовательность

вать процессом

отказов

(восстановлении).

Для определения потока

а)

1

1

1

1

*

5)

1

!

1

0

t,

и

Рис. 11. Графическое представление

потока отказов (а) и потока вос­

становлении

(б) с помощью

последовательности точек.

межутки между ними). Поскольку

промежутки между отказами Т1

(I = 1, 2, . . . , ш) — случайные

величины, то для определения

чайных величин, т. е. m-мерный

закон

распределения

вектора

1Ти Т2,

. . .,

Тп].

(2.19)

О

t,

t2

tL-t

tL

tM

t

СО

СО

H(l)

= M [NB (01 =

S kPk [0, t]=

^kP

\NB

(0 = /г},

(2.20)

где Pk

10,

t] — P

\ NB

(t) — k\ •—• вероятность

появления

в про­

межутке

времени

[0, t\

ровно /г восстановлений.

Н (t) — всегда

положительная, конечная

и неубывающая

функ­

ция времени. График Н (t) показан на рис. 13.

В теории надежности рассматриваются процессы с нулевым

временем восстановления

и с конечным

временем

восстановления.

это требуется какое-то (пусть очень

л

малое) время.

Для

процессов

с

«мгновенным»

временем

восстановления

функцию

восстановления обозначим через Q (/)

и назовем

функцией

отказов, так

как

Cl(t) =

M[Nn(t)

=

N0(t)\

=

со

Рис. 13. Функция

восстановле­

=

S

kP{N0{t)

= k}.

(2.21)

ния Н

(t).

k = 1

У kPk

[t,

t +

Д/]

=

l i m Q [ M +

A/] = Ш

п

^

(2.22)

д/->о

Al_>0

At

2)

интенсивность

потока

восстановлений

в

момент времени t

Н®

= Щ&

= \\т Н

[ и + Ы];

(2.23)

3)

параметр

(или темп)

потока

отказов

{восстановлений) в мо­

мент

времени t

с о

£

Pk{t,t

+ At]

a (t) = lim

А

,

(2.24)