книги из ГПНТБ / Кашин Г.М. Автоматическое управление продольным движением упругого самолета
.pdfпости, остановимся на применении интеграла Дюамеля и тео ремы обратимости при определении аэродинамических коэффи циентов.
2. Применение интеграла Дюамеля к задачам о крыле
Из изложенного выше следует, что характер воздействия по тока на крыло для заданного числа М определяется видом гра ничных условий на поверхности крыла (2.24). Причем измене ние этих граничных условий не сказывается ни па волновом уравнении, ни на граничных условиях на бесконечности, на пелене и т. п. В связи с линейной постановкой задачи граничные условия можно представить в виде произвольно выбранных функциональных зависимостей и получить общее решение нало жением частных решений для каждой функции скоса. Подобный подход упрощает исследование, так как позволяет получить раз личные линейные комбинации из этих решений и тем самым практически изучить широкий класс задач о воздействиях по тока на крыло. Так ставится задача в общем виде. Однако реше ние может быть еще более простым, если воспользоваться интег ралом Дюамеля [2, 5, 41]. В этом случае достаточно получить частное решение для ступенчатого закона изменения граничных условий. После этого переход к любым законам изменения во времени, и в частности к гармоническим, осуществляется с по мощью простого преобразования. Для примера рассмотрим колебания крыла, граничные условия непротекания которого имеют вид (2.25). Представляя вертикальные смещения точки л:, z через безразмерную функцию f(x, z) и параметр смещения Я{т), условие (2.25) перепишем согласно [2] в следующем виде:
ду у=о |
— та |
df(x, z ) |
(*) — ®0 / |
(■*, z ) d~ ~ - . (2. 33) |
||
|
дх |
|
|
dx |
||
где |
|
|
— X |
— |
z |
|
I f { x , |
z ) | < 1, X = ~~t, |
|||||
x = |
, 2 = |
— |
При произвольных во времени законах смещения точек крыла его аэродинамические коэффициенты cq(x, г, т) будут иметь вид
с (х, z, x) = 'cl (х, z, х) + с2(эс, г, т), |
(2. 34) |
где сх(х, z, т) и Сг(х, z, х) — коэффициенты, соответствующие решениям при первом и втором членах в граничных условиях
50
(2.33). Используя интеграл Дюамеля, составляющие в (2.34) можно записать следующим образом:
C, (x, z. |
r ) = q |
г i (ту |
к |
Л |
( |
||||
|
|
. Я') |
J |
d X i |
rl 1 1
Яо
dtj,
(2. 35)
Co (x, z, t ) = ^ |
-=о |
С-2(т) |
! r<Pq с2(т—Ti) dxu |
|
d r |
Яо |
Т J dx\ |
Яо |
|
|
|
|
Гю (тп где L яо J
<?_> (T) ' |
переходные |
функции при ступенчатом |
|
|
|||
] |
изменении |
q (т) |
q (т) |
|
соответственно ----- |
и ~ — ; |
|
|
|
Яо |
Яо |
<7= — <?; |
|
<7о></о — амплитудные значения параметров; |
|
tj — момент скачкообразного изменения соответствую |
|
щего параметра. |
|
В том случае, если зависимость кинематических параметров |
|
от времени является гармонической, т. е., |
например, q{%)= |
cos р*х, а р'*= -^-, то коэффициенты |
аэродинамических |
|
/ |
производных по этим параметрам могут быть определены с по мощью интеграла Дюамеля в следующем виде [2]:
сч (х, |
Z , |
р*) = р* |
\ [ |
sin p*xdx, |
|
|
|
Л |
Яо |
|
|
|
о |
(2.36) |
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
с'4 (х, |
z, |
р*) = ^ |
с ^ |
j cos p*xdx. |
Таким образом, чтобы определить коэффициенты аэродинамиче ских производных гармонически колеблющегося упругого крыла, граничные условия которого имеют вид (2.33), нужно применить интеграл Дюамеля дважды в соответствии с обоими членами граничного условия. В атом случае выражения (2.35) примут вид
cl (x, |
z, |
p*) = cf(x, |
z, |
p* )q + ci (x, z, |
p*)q, |
|
|
|
|
|
( 2. 37) |
c2(x, |
z, |
p* )~ cf (x, |
z, |
p*)q — p*2cH*, |
z, p*)q. |
51
Имея в виду зависимость (2.34), с учетом (2.37) получим окон чательные выражения для аэродинамических коэффициентов в следующем виде:
cg(x , z , p*):-=cq(x, z, p*)q + c4 (х, z, p*)q,
cq (x, z, /;*) = C\ (x, z, P': )~ p - ' i (-V, z. p*), |
(^-38) |
cq(x, z, p*) = cf(x, z, p*)-\-cl{xt Z, /;*).
В (2.37) и (2*38) c\ и cf определяются по первому уравнению
(2.36), а с? и С2 — по второму уравнению (2.36)
3. Применение теоремы обратимости к задачам о крыле
Теорема обратимости устанавливает связь между аэродина мическими характеристиками крыла в прямом и обращенном потоках. Она позволяет существенно упростить вычисления сум марных аэродинамических характеристик деформирующихся крыльев. Теорема базируется на основных линеаризированных уравнениях газовой динамики и применима как на дозвуковых так и на сверхзвуковых скоростях для общего случая неустановившегося движения. В рамках линейной теории теорема обра тимости и ее следствия являются точными. Не останавливаясь на
,теоретических основах теоремы, которые можно найти, напри мер, в [2, 4], приведем лишь способы ее применения в практи
ческих расчетах.
Пусть для данного числа М полета требуется определить суммарные аэродинамические коэффициенты подъемной силы су(т) и продольного момента тг(т) крыла, деформации поверх ности которого изменяются по произвольному закону в функции времени. Рассмотрим, например, деформацию крыла, заданную функцией f(x, z), при параметре деформации, характеризующим ее масштаб, q{т ). Граничные условия на крыле при этом имеют вид (2.33). Повернем вектор скорости крыла у0 на 180° вокруг оси Оу. В общем случае, если начало координат взято не на се редине корневой хорды, то связь между началами координат прямого (хт+) и обратного (хт-) крыльев будет иметь вид
хт- —1—хт+, |
(2.39) |
где хТ— расстояние от начала осейкоординат до носка |
корне |
вой хорды, выраженное в долях корневой хорды. В соответствии с [2] для решения задачи о деформирующемся прямом крыле не
обходимо найти нагрузки жесткого обратного |
крыла |
при |
зако- |
|
нах изменения угла атаки а |
„ |
- |
(0,ЙП |
|
и угловой скорости (о =■-----, совпа |
ло
52
дающих с законами изменения параметров деформации q(x), (](т), т. е. при
а ( т ) |
__Ч( П |
“ z ( Т ) |
_Ч(х) |
|
а , . |
Чо |
Ч г о |
Чо |
|
|
|
|
|
|
а ( т ) |
_Ч ( И |
“ z ( Т) |
_Jq ( т ) |
(2.40) |
И |
|
|
|
|
а 0 |
Чо |
“ zo |
Чо |
|
|
|
Здесь «о, qo, оно, qо — не зависящие от времени амплитудные зна чения соответствующих параметров. После этого суммарные аэродинамические коэффициенты деформирующегося крыла, от несенные к амплитудным значениям параметров, вычисляются
по следующим формулам:
Г»Г*---
СУ + |
S J5J1 |
dS, |
Чо |
дх |
|
Чо |
|
(2.41) |
|
|
т^ -{ Х) =
Чо
|
^ Ч * ) = — | |
^ |
( т ) f +dS, |
|
|
а |
“ |
J J |
“ z o |
|
4 |
|
S |
|
где |
Л Р _ , . |
Д Р _ , , |
— нагрузки, полученные при расчетах |
|
----- •(?), |
——(т) |
|||
|
а 0 |
“ г о |
|
|
обратного жесткого крыла.
Аэродинамические коэффициенты деформирующегося крыла в прямом потоке получаются в этом случае из очевидных выра жений:
Су+{х) = — |
ix)qQ^rC- ^ - {x)q0\ |
|
Чо |
q 0 |
|
mz+{X) = '^± {x)q0 + ^ : ( x ) q 0. |
(2.42) |
|
Чо |
Чо |
|
При исследованиях широкого класса деформаций здесь так же удобно применить интеграл -Дюамеля. В этом случае все расчеты жесткого обратного крыла производят при ступенчатых
изменениях q ( х) и q(x). Затем коэффициенты, • полученные по (2.41), пересчитывают по (2.35) на интересующий закон q(x).
Таким образом, применение теоремы обратимости вместе с интегралом Дюамеля в расчетах суммарных аэродинамиче ских коэффициентов деформирующегося крыла позволяет суще ственно сократить объем вычислений, так как в этом случае при
53
новых законах f (.х, z) и q{т) нет надобности заново решшь крае вые задачи. Рассматривая отклонения рулевых органов крыла как частный случай деформации, можно по аналогии с изложен ным определить аэродинамические характеристики крыла при
. |
_. |
d f [х, |
г) |
отклонениях рулей. Здесь функции f(x, |
z) и |
-= : |
имеют |
ненулевые значения только на поверхности руля З'р и, |
например, |
|||||||||
|
|
|
|
для правого руля |
могут быть запи |
|||||
|
|
|
|
саны в виде |
(рис. |
2.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
(Я z ) = x cos xt, — z sin хр — |
|||||
|
|
|
|
— do cos ХР, |
ох |
= |
cos хР, |
(2.43) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В качестве параметра деформа |
||||||
|
|
|
|
ции в этом случае берется угол отк |
||||||
рактеристики |
|
рулевой по лонения руля 6 (т). |
коэффициен |
|||||||
|
верхности |
Аэродинамические |
||||||||
|
|
|
|
ты, отнесенные к амплитудным зна |
||||||
чениям 6о и 6о, определяются по |
формулам |
(2.41) |
с |
учетом |
||||||
(2.43). Например, |
для коэффициента |
подъемной |
силы |
будут |
||||||
справедливы следующие формулы: |
|
|
|
|
|
|||||
s0 |
(f) = - | - |
f |
f ^ |
(t) cos y d s , |
|
|
|
|
|
|
5 J |
J |
a0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
_ |
|
|
|
|
|
|
(2- 44) |
^fL (t ) = - § 'l |
|
f |
(t) (x cos yv — z sin xP —Я) cos xP) dS. |
|
||||||
5n |
5 J J |
аэ |
|
|
|
|
|
|
|
s ?
Здесь интегрирование ведется только по площади правого руля. Аналогичным образом могут быть записаны коэффициенты мо мента.
В заключение остановимся на связях производных аэродина мических коэффициентов крыльев в прямом и обращенном пото ках. Эти связи при хт+= т т- согласно [2, 3] имеют вид
|
С а |
= = с а |
са / = С а |
С г |
|
: ) П а , С Z = т а- |
|
|||
|
У + |
У—' |
</-г |
у — ' У - |
|
Z — ' |
у + |
Z - |
(2.45) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
г, |
СО |
„ |
|
00 |
СО |
СО |
О) |
СО |
|
m z + = c y - ' m z z - = c y L , m z l = m z L , m z z+ = m z L , |
|
|||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
2-(,v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vo |
|
ч* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uo |
|
|
||
Выражения |
(2. 45) |
|
могут |
служить |
для |
контроля точности |
||||
расчетов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
54
2 . 2 . АЭРОДИНАМИЧЕСКИ Е Х АРАКТЕРИСТИК И В УСТАНОВИВШЕМ
И КВАЗИУСТАНОВИВШЕМСЯ Д ВИЖЕНИЯХ
При установившемся движении волновое уравнение (2.23), которому удовлетворяет потенциал скоростей ср, можно записать в более простом виде
|
|
|
д-<? |
|
|
дЧ |
|
|
|
|
(1 - |
М2) dxi |
|
|
дгп- |
|
|
(2.46) |
|
Если |
рассматривается |
|
несжимаемый |
поток, |
то скорость |
||||
звука становится относительно большой, |
а |
следовательно, |
|||||||
число М малым, |
и уравнение (2.46') приводится |
к уравнению |
|||||||
Лапласа |
|
|
дЧ |
|
дЧ |
, дЧ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(2.47) |
|||
|
|
|
дх"2 |
' |
ду2 |
1 дг2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Граничные условия при установившемся движении |
получаются |
||||||||
с помощью приведенных в 2. |
1 соотношений, |
если в них положить |
|||||||
дЧ с>2(Ь |
dv |
д’Ь |
п |
|
|
|
|
|
|
---- = —- = — = — = и и во всех функциональных зависимостях |
|||||||||
д (2 |
d t |
d t |
|
|
|
|
|
|
|
исключить время t.
1.Аэродинамические характеристики профиля
Не с ж и м а е м ы й п о т о к . Рассмотрим крыло, представлен
ное в виде тонкой пластины бесконечного размаха, изогнутой в направлении хорды с кривизной, эквивалентной средней ли нии профиля (рис. 2.5). Моделируя крыло вдоль оси Ох слоем двумерных вихрей с напряженностью на единицу длины y+(£)d£, можно получить потенциал скоростей от этой системы в точке у, у, удовлетворяющей граничным условиям и волновому урав нению (2. 47) при отбрасывании в нем последнего члена согласно [41] в виде
|
ь |
|
?(*, у )= |
^ У+ (Н arrtg (—^ ) |
(2.48) |
|
о |
|
Беря производную от (2. 48) по у и переходя на поверхность крыла (точнее на проекцию поверхности на плоскость xOz) при */->-0, получим интегральное уравнение для у+ в следующем виде:
dtp |
Wy(x) |
1 Y+ (5) |
d%, |
(2.49) |
ду |
|
2я |
|
|
где Wv(x) — скос потока в точке х, определяемый из граничного условия непротекания
(2. 50)
55
Если с помощью (2.49) и (2.50) определить у+, то по теореме Жуковского «в малом» нетрудно получить распределение давле ния вдоль хорды профиля в виде
Tt.}(' х ) = 2-*±Щ = '2у(х). |
• |
(2.51) |
Щ |
|
|
Последующее интегрирование (2.51) по хорде профиля приво дит к выражениям для определения аэродинамических коэффи циентов в следующем виде:
|
|
|
ь |
|
ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
с = 4 - \ у(л-)^х, |
ст= ^~ \ y ( x ) ( x 0- x ) d x , |
|
(2.52) |
||||||||
|
|
|
Ь о) |
|
62о |
|
|
|
|
|
|
|
где |
х0 — координата точки, |
относительно |
которой вычисляется |
|||||||||
|
|
|
|
|
коэффициент момента. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Следует заметить, что при реше |
|||||||
|
|
|
|
|
нии |
(2.49) |
существует особая |
точка |
||||
|
|
|
|
|
g = x, |
приводящая к несобственному |
||||||
|
|
|
|
|
интегралу. Однако |
физическое тре |
||||||
|
|
|
|
|
бование |
непрерывности |
Wy(x) |
во |
||||
|
|
|
|
|
всех точках крыла |
позволяет |
огра |
|||||
|
|
|
|
|
ничиться вычислением главного зна |
|||||||
|
|
|
|
|
чения этого интеграла в смысле Ко |
|||||||
|
|
|
|
|
ши. |
|
|
|
|
|
|
нап |
|
|
|
|
|
Представляя распределение |
|||||||
|
|
|
|
|
ряженности |
y + r/g в~ виде |
тригоно |
|||||
Рис. |
2.5. Схема |
двухмерного |
метрического |
ряда |
(см. |
[41]) |
и ре |
|||||
|
крыла |
(профиля) |
шая |
(2.49) при граничных условиях |
||||||||
|
|
|
|
|
(2.50) , с помощью |
(2.52) |
получим |
|||||
|
Cj,= |
2n(a + |
So). сп |
Р'о |
2 с° |
£о_ |
-У' |
(2. 53) |
||||
где |
b |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 = ---- — \ |
d x |
(1 — cos ф)d'b, |
р.(| |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
я J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2. 54) |
|
|
= ---- — |
~ |
(1 — со^ 2ф) di\ |
х = -^-( 1 — cos ф). |
|
|
|
|||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из выражений (2. 53) и (2. 54) следует, что для плоской пластинь) бесконечного размаха в несжимаемом потоке производная
коэффициента подъемной силы по углу атаки с*ь =2я, а ее фокус расположен на 0,25 хорды.
56
Приведенная схема моделирования отображает физическую картину обтекания крыла установившимся потоком. Если поток
неустановившийся, то интегральное уравнение |
(2.49) |
теряет |
силу, так как наряду с присоединенными вихрями |
здесь |
появ |
ляются свободные вихри, сносимые вниз по потоку. В этом слу чае каждый свободный вихрь индуцирует на крыле вертикаль ные скорости и поэтому должен быть учтен в интегральном уравнении. Однако в том случае, если движение слабонеустановившееся, то можно ввести предположение о его квазиустановившемся характере и воспользоваться предыдущими форму лами.
Представляя движение профиля через вертикальное'смеще
ние Й его точки х0 и-поворот на угол относительно этой точки, |
||||||
запишем граничные условия (2.50) |
в следующем виде: |
|
||||
W у { х , |
t)= — v0b-\- Й —{х0 — х)<-о2. |
(2.55) |
||||
В этом случае выражения для |
аэродинамических коэффициен |
|||||
тов профиля, обусловленных его смещениями, примут вид |
||||||
су= 2‘ л |
3 |
хп |
-------Н |
|
||
4 |
b |
|
||||
|
|
vo |
|
(2. 56) |
||
|
£о___L |
|
|
|
|
|
С т |
С у- |
Z |
|
|
||
|
Ь 4 |
|
|
|
|
|
С ж и м а е м ы й |
д о з в у к о в о й |
п о т о к . |
В рамках линейной |
|||
теории учет влияния сжимаемости |
можно |
произвести |
прибли |
женно с помощью аффинного преобразования координат, назы
ваемого преобразованием |
Прандтля — Глауэрта. В этом |
случае |
волновое уравнение (2.46) |
для сжимаемого потока приводится |
|
к виду (2.47), соответствующему несжимаемой среде. |
Причем |
так же, как и раньше, последний член этого уравнения отбрасы вается, так как рассматривается только двумерное течение. Здесь вместо координат физического пространства х, у сжимае мого газа вводятся преобразованные координаты хм, ум так, что (2.46) записывается в виде
|
<Э2ср . |
d2f _q |
(2.57) |
|
' |
дУм |
|
|
|
||
где |
д = д м ] / l —М2, у = г /м, |
(2.58) |
|
т. е. |
плоскость ХмОум рассматривается как некоторая |
фиктив |
ная плоскость, заполненная несжимаемой жидкостью. Преобра
зуем форму |
несущей поверхности в новой системе координат |
с помощью |
(2. 58) и определим вид граничных условий на ней |
в фиктивной плоскости несжимаемой среды так, чтобы на исход ной несущей поверхности в сжимаемом потоке удовлетворялись рассматриваемые граничные условия. В этом случае можно по-
57
лучить формулы для определения аэродинамических характери стик профиля с учетом сжимаемости. Например, для плоского крыла в установившемся движении аэродинамические коэффи циенты в сжимаемом потоке, выраженные через соответствую щие коэффициенты в несжимаемой среде, примут вид
' У с ж
|
Xq_ |
• — 2ла |
|
2ли |
Ь |
|
|
4 1___ |
(2. 59) |
||
М2 |
|
—М2 |
|
|
|
Как видно, |
формулами |
(2.59) можно пользоваться только в диа |
пазоне 0 |
\\<1. |
п о т о к. Для решения задачи при сверх |
С в е р х з в у к о в о й |
звуковом обтекании обычно применяют моделирование крыла слоем сверхзвуковых источников. Потенциал скоростей, индуци руемых таким слоем в точке х, у плоскости £Ог|, удовлетворяю
щий уравнению |
(2.46) и граничным условиям для |
двумерного |
||
сверхзвукового обтекания, согласно [5] имеет вид |
|
|||
|
|
.V—у I М2— |
|
|
<?(•*, уУ |
|
___________ A ( S W S ____________ |
||
2л |
/ ( * - е ) 2- ( М 2- |
i)Ci2+!/2) |
||
|
||||
|
|
|
(2.60) |
где A (g) — интенсивность слоя источников на единицу площади. Так как в профиле передняя кромка является сверхзвуковой, то можно рассматривать его верхнюю и нижнюю поверхности раздельно. Проведя несложные математические преобразова ния (2.60), можно показать (см. [5]), что для верхней поверх
ности ( у =+0) потенциал возмущения приводится к виду
?(*, + 0 ) = - - 7Ц = [ у ( х ) - !/(0)]. |
(2.61) |
Пр-ямо противоположные условия имеют место на нижней поло вине профиля при у = —0. Имея в виду (2.32), где следует отбро сить производную по времени, с помощью (2.61) получим фор мулу для распределения давления в следующем виде:
ДР = |
|
4 dy |
(2. 62) |
|
, |
М2 — 1 dx |
|||
|
|
Так как коэффициенты подъемной силы и момента тангажа вы
ражаются через ДР в виде (2.9), то окончательно для плоского профиля, перемещающегося в сверхзвуковом потоке, получим
4а |
Хо |
_1_ |
|
(2. 63) |
М2 |
Ь |
С |
у |
|
2 |
|
|
58
Вторая формула и (2.63) показывает, что в сверхзвуковом по токе теоретическое положение фокуса профиля находится на
0,5 его хорды. Приведенные выше формулы, нетрудно обобщить и на случай скользящего крыла бесконечно
го размаха, т. е. крыла, |
у которого передняя |
v0 |
|
кромка неперпендикулярна к направлению |
|
||
движения. Аэродинамические коэффициен |
|
||
ты здесь могут быть легко выражены через |
|
||
характеристики профиля, если |
учесть, что |
|
|
касательная составляющая v0i у рассматри |
|
||
ваемого крыла в идеальной среде возмуще |
|
||
ний не вызывает (рис. |
2.6). В этом случае |
|
|
аэродинамические коэффициенты, напри |
|
||
мер, подъемной силы, |
можно |
написать в |
зящее крыло |
виде |
|
|
|
^ —- — 2яа cos у
1 — ЛИ cos2 у
4а cos у
У М2 cos2 >; — 1.
Аналогично можно получить мента.
при |
п |
. |
М cos у ■ |
0 < |
|
||
|
|
|
(2.64) |
при |
М cos у О 1. |
формулы и для коэффициента мо
2. Аэродинамические характеристики крыла конечного размаха
Г и п о т е з а п л о с к и х с е ч е н и й . |
При расчетах упругих |
деформаций крыла конечного размаха |
в первом приближении |
часто пользуются формулами (2.56), полученными для профиля. В этом случае вводится гипотеза плоских сечений, т. е. по суще ству пренебрегают аэродинамическим влиянием одного сечения на другое. Как показывает практика, использование этой гипо тезы в ряде случаев, особенно для крыльев больших удлинений, дает достаточно удовлетворительное приближение.
Рассмотрим стреловидное крыло большого удлинения, при
веденное на рис. 2.2. |
Предположим, что его движение |
является |
|
квазиустановившимся |
и |
может быть охарактеризовано верти |
|
кальным смещением |
Н (t) |
точки О, вращением wz(/) |
относи |
тельно оси Oz, изгибом и кручением относительно средней ли нии хорд. Допустим далее, что на крыло действует вертикаль ный воздушный порыв с амплитудой Wb(t). Используя гипотезу плоских' сечений, применим выражения (2. 56) для определения аэродинамических коэффициентов сечения крыла. Предвари тельно заметим, что точность решения может быть повышена, если в (2. 56) ввести поправки на конечность размаха (см. на пример, [41]) или, что более желательно, применить эксперимен тальные значения аэродинамических коэффициентов и их произ-
59