книги из ГПНТБ / Кашин Г.М. Автоматическое управление продольным движением упругого самолета
.pdf(1.41) и соответствующим граничным условиям удовлетворяет бесконечное число пар собственных частот и взаимно ортогональ ных нормальных функций. В соответствии с этим общее решение (1.38) может быть найдено положением частных решений (1.39) в следующем виде:
в(
г=1
Рассмотрим теперь балку, загруженную непрерывно распре деленным крутящим моментов М (z, t). Уравнение вынужденных колебаний балки в этом случае имеет вид
J m* - { Q J pWy = M. |
|
(1.42) |
По аналогии с (1.36) будем искать решение (1.42) |
в виде |
|
* со |
|
|
<-)(z,H=2 |
■ |
(1-43) |
i=i |
|
|
|
где ф г (? ) — нормированная нормальная функция г-ro тона, удов- |
|
| j летворяющая заданным граничным условиям. |
В случае свобод- |
|
! |
ной балки здесь также одна из нормальных |
функций нулевого |
: |
тона будет иметь вид, соответствующий движению балки как |
iтвердого тела. Так же как и при изгибных колебаниях, нормаль ная координата определяется из решения системы обыкновен ных дифференциальных уравнений вида
^iQi ~Ь |
— 44й(-, |
|
|
|
(г = 1,-2,. . . , со), |
|
|
где обобщенная масса |
и обобщенная сила Mhi i-й формы соб |
||
ственных крутильных колебаний |
соответственно имеют вид |
||
|
г |
|
|
M i = \ v l { z ) J m{z)dz, |
|
||
|
6 |
|
|
|
i |
|
|
М ы = j*М (z, t) срг (г) dz. |
|
||
|
6 |
|
|
С о в м е с т н ы е и з г и б н о-к р у т и л ь н ы е к о л е б а н и я |
|||
ба лк и . В ряде случаев можно |
рассматривать |
колебания кру |
|
чения и изгиба балки |
раздельно. Например, |
при колебаниях |
|
с собственной частотой |
изгиба преобладают изгибные колеба |
||
ния, а при колебаниях с собственной частотой |
кручения — кру |
тильные. Однако в исследованиях балочной схемы во всем диа пазоне частот или при достаточно большом расстоянии между центром тяжести и центром жесткости сечения ограничиться расстоянием раздельных колебаний уже не удается. В этом слу-
20
чае необходимо решать систему дифференциальных уравнений, описывающих совместные колебания изгиба и кручения в сле дующем виде:
{EJy")',J^my — тх<д = О,
1.44)
(ОУр0 ') '+ mxy — J j i = О,
где х — расстояние между центром тяжести и центром жесткости сечения.
Для определения собственных форм и частот колебаний урав нения (1.44) преобразуются к виду
{EJ/")" - |
[т/ |
- тхч)= О, |
|
|||
(G-/ p?')' + |
lu2(-/ mcp — гпх/) = 0. |
(1-45) |
||||
При консольной заделке граничные условия для (1.45) |
будут |
|||||
иметь вид |
|
|
|
|
|
|
f = О, / ' = |
0, |
ср = |
0 при |
z = |
0, |
|
E J f " = 0, [EJ/" )' = |
0, |
GJpср' = |
0 |
при z = l |
(1.46) |
Так же, как и в случае раздельных изгибных и крутильных коле баний, решение системы (1.45) при ненулевых правых частях (вынужденные колебания) будем искать в виде (1.36), (1.43), где нормальные координаты qi(t) определяются из следующей системы дифференциальных уравнений:
|
44,-<7,- + M iwtqi— M wki, |
|
где |
(г — 1, 2, . . . , со), |
|
i |
||
M-t = |
||
f [(mfi - x n v ?i) f iJr(Jmvi - m x f i)yi}dz |
||
|
о |
|
представляет собой обобщенную массу, а |
||
|
M »ki = f (Pfi + M ^ d z |
|
|
6 |
|
— обобщенную |
силу, соответствующие i-й форме собственных |
колебаний.
С о в м е с т н ы е к о л е б а н и я с и с т е м ы п е р е к р е с т н ых б а л о к . Рассмотрим теперь динамические деформации всего самолета в целом. Схематизируем конструкцию системой жестко связанных между собой перекрестных балок так, как это показано на рис. 1.1 ,а. В результате имеем сложную упру гую систему, все части которой совершают совместные колеба ния. Например, изгибные колебания крыла вызывают изгибные колебания фюзеляжа и стабилизатора, кручение крыла вызы вает изгиб фюзеляжа и т. д. Каждому тону колебаний упругого самолета очевидно будет соответствовать определенная частота и совокупность форм колебаний его отдельных элементов (крыла,
21
фюзеляжа и т. д.). Обычно условно относят те или иные тона собственных колебаний целого самолета к отдельному его эле менту. Эта условность дает представление о том, от какого эле мента в основном зависит та или иная частота и формы колеба ний целого самолета. Т. е. условно различают частоты и формы собственных колебаний крыла, фюзеляжа и т. д. Имея в виду сказанное, перейдем к дифференциальным уравнениям, описы вающим колебания всего самолета. На основании выражений, полученных для изгибных (1.35) и изгибно-крутильных (1.44) колебаний, нетрудно получить систему дифференциальных урав нений для всей конструкции. В соответствии с обозначениями, приведенными на рис. 1.1, а, эта система имеет следующий вид:
(E J KyKf + ткук - |
ткх А -= Рк, |
|
“ ( G J p А )' + J mА - тЛУк = |
|
|
[EJcyQ) -j-tnzyc |
тсх с&с Рс, |
^ 47)* |
-(°JPА )' + JmА - тсх сус = М С, {EJtly J ' Jr mHyli= PH,
[EJxyx) -фотхрх Рх,
где у и # — соответственно прогиб и угол поворота сечения балки.
Так же, как и раньше, решение системы (1.47) ищем в виде
п1
Ук = '2/к1У1(*), i=i
i=1
n
Ус —
‘'I 1 |
[ |
(1.48)** |
= 2 Tc /=1
n
*/h= 2 / h^ W’
/=1
n
1 = 1
* Здесь и далее штрихи над параметрами обозначают дифференцирование этих параметров по соответствующей координате.
** Здесь учтены первые п тонов собственных колебаний.
22
Подставляя (1.48) в (1.47) и приравнивая правые части (1.47) нулю, получим систему обыкновенных дифференциаль ных уравнений для отыскания форм и частот собственных сво бодных колебаний самолета в следующем виде:
(1.49)
При решении (1.49) должен выполняться ряд граничных условий. При стыках крыла и стабилизатора с фюзеляжем дол жны выполняться геометрические граничные условия равенства поперечных перемещений и углов поворота поперечных сечений. Эти условия имеют вид
(1.50)
где сгс — расстояние от точки Ос до ближайшего сечения хвосто вой части фюзеляжа, к которому крепится стабилизатор (ас>0, если точка Ос находится позади сечения); Х с — координата се чения.
В местах стыков должны соблюдаться также равенства суммы поперечных сил и суммы изгибающих моментов, взятых слева (—) и справа (+ ) от сечений х = 0 и х = Хс поперечным силам и соответствующим составляющим изгибающих момен тов, приходящим от обеих консолей крыла и стабилизатора, т. е.
- 2 {EJKf K)' = {EJHf"„)' + { E J j ’j |
, |
2 E J j l sin xK- 2QJp KcpK' cos Zk= |
при zK= xH= x x = 0; |
=-e j j : - e j j :, |
|
(1.51)
- 2 ( E J j l y = { E J j : )'+ ~ ( E J j : )1,
2£7c/cSin Xc — 20Jp Ccpc cos xc —
■при (хх = Х с)гш0
~ 2 a c(E /c/ : y = - ( E / x/ ; ) + +
+ (EJXA )-. |
J |
23
На свободных концах балок должны выполняться условия равенства нулю перерезывающих сил, изгибающих и крутящих моментов. Эти условия имеют вид
( E J J K)' = EJKf''K= QJpKv'K----=0 при z K= lK, \ |
|
|||
(EJcf с) EJ с/ с |
рс?с |
0 при z c |
/с, J |
^ 5‘2) |
(EJHf ’H)' = EJн/н — 0 |
при |
хн = /н, |
| |
|
i.EJJyi)' = E J J nyi = 0 |
при |
*х= / х. |
\ |
|
Имея формы и частоты собственных колебаний, смещения точек конструкции можно получить с помощью (1.48), где нормаль ные координаты qi{t) определяются из системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида
(1.53)
( / = 1 , 2 , . . . ,п),
при начальных условиях (^= 0)
У к |
К |
Ус |
Ун |
Ух |
|
(1.54) |
|
|
|
|
|
|
|
Ук |
Ик |
Ус |
== Ун |
Ух == О* |
|
|
В системе (1.53) обобщенная масса |
и обобщенная сила Р,-, |
|||||
соответствующие i-y тону колебаний, имеют вид |
|
|||||
Mt — 2 f \(tnKf к i — ткх кук i ) f K |
K<pKi |
mKxKf K,-)cpK,] d zK-f- |
||||
o |
|
|
|
|
|
|
!c |
|
|
|
|
iticx cf c i) ®c ,•] dzc -j- |
|
~Ь 4 [(mcf c i tncx c®c i)f c i -|- (Jmc<pc i |
|
|||||
6 |
|
|
|
|
|
|
+ |
f m j h d x a+ |
m j l i d x x, |
(1.55) |
|||
о |
|
0 |
|
|
|
|
lK |
|
|
lc |
|
|
|
Pi = 2 j" (Pnf к i ~f~ ^ k?k/)dzK-j—2 j* (Pc/ |
c (--j-44ccpc i)dzc-\- |
|||||
6 |
|
|
о |
|
|
|
|
l H |
|
lx |
|
|
|
if |
J P J n i d x h+ |
f P J x i d x x. |
(1.56) |
|||
|
о |
|
0 |
|
|
|
24
При наличии на балках в общем случае упруго прикреплен ных сосредоточенных грузов к уравнениям (1.47) нужно доба вить уравнения, описывающие колебания этих грузов в соответ ствии со схемой упругого крепления, и в граничных условиях счесть скачки перерезывающей силы, изгибающего и крутящего моментов, обусловленные наличием этих грузов. В этом случае в (1.55) вводятся соответствующие составляющие, определение которых не представляет трудностей.
Э н е р г е т и ч е с к и е м е т о д ы и с с л е д о в а н и я д и н а м и ч е с к и х д е ф о р м а ц и й. Выше был применен метод, осно ванный на принципе Д ’Аламбера. В ряде случаев более удобным является энергетический метод. Энергетические методы приме няются для построения уравнений равновесия, которые выво дятся как следствие обращения в нуль вариации энергии. Част ным случаем использования энергетических методов является применение уравнений Лагранжа второго рода к системам, про странственная конфигурация которых может быть описана неко торой совокупностью дискретных обобщенных координат. В авиационных конструкциях оказывается возможным выбрать такие независимые координаты, т. е. координаты, изменения которых представляют собой виртуальные перемещения системы. Как известно, уравнения Лагранжа имеют следующий вид:
(1.57)
где Т — кинетическая энергия системы; U — потенциальная энергия системы; qi — i-я обобщенная координата;
Q i — обобщенная сила, вызывающая изменения i-й обобщеннои координаты.
Уравнения (Г. 57) могут быть применены к системам с непре рывно и дискретно распределенными параметрами. Однако в пер вом случае эти уравнения дают приближенное решение, которое полностью зависит от выбора обобщенных координат. Во втором случае уравнения Лагранжа дают точное решение.
В качестве примера рассмотрим применение уравнений Л а гранжа к определению динамических смещений самолета, схе матизированного системой перекрестных балок с непрерывно распределенными параметрами. Начало осей координат основ ной системы расположим в условной точке фюзеляжа, соответ ствующей центру тяжести недеформированного самолета. Ось Ох направим назад в плоскости симметрии самолета. Положе ние остальных осей системы оставим в соответствии с рис. 1. 1, а.
25
Представим вертикальное смещение любой точки самолета относительно инерциальной системы OgXgygZg (рис. 1.6) в виде
|
у{х, 2 ,0 = ^ |
ri ( x , z )ql {t), |
(1.58) |
||
|
|
i=1 |
|
|
|
где |
fi(x, z ) —i-я — нормальная форма колебаний; |
|
|||
|
qi(t) |
— обобщенная координата i-й степени сво |
|||
|
|
боды. |
|
|
центра |
|
Например, q\(t) — вертикальное смещение условного |
||||
тяжести, q2( t ) — угол |
поворота |
оси Ox, |
qi(t) — прогиб |
конца |
|
крыла и т. д. |
|
|
|
|
|
|
Кинетическая энергия всей |
системы |
может быть получена |
суммированием по всему самолету кинетических энергий отдель ных его точек в следующем виде:
|
|
|
|
|
|
|
(1.59) |
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
где |
= j I" m{x ,z)r 2{(x ,z )d xd z — являются |
обобщенными |
|||||
|
s* |
|
|
|
массами си |
||
инерционными коэффициентами или обобщенными |
|||||||
|
|
стемы; |
точки |
на поверх |
|||
|
|
|
т(х, z) — масса |
||||
|
|
|
ности самолета; |
|
|||
|
|
|
S* ■— площадь |
поверхности |
|||
|
|
|
самолета, |
по |
которой |
||
|
|
|
проводится |
интегриро |
|||
|
|
|
вание. |
|
|
системы |
|
|
|
Потенциальная |
энергия |
||||
|
|
получается из условия |
ее свободных |
||||
|
|
гармонических колебаний, приводяще |
|||||
|
|
го к |
равенству максимальных |
значе |
|||
|
|
ний |
кинетической |
и потенциальной |
|||
Рис. 1.6. |
Обобщенные коор |
энергий. В этом случае выражение для |
|||||
потенциальной энергии записывается в |
|||||||
динаты, |
характеризующие |
следующем виде: |
|
|
|
|
|
смещение конструкции |
|
|
|
|
|||
|
|
|
U = ± M ^ j q ] ( i ) , |
|
|
(1.60) |
где со* — собственная частота первой формы колебаний г'-й обоб щенной координаты.
Имея в виду выражение для кинетической (1.59) и потен циальной (1.60) энергий, с помощью (1.57) получим уравнения
26
для определения динамических смещений конструкции в сле дующем виде:
П
M ifij (0 -г M n^fli (0 — Qi (t), |
(1. 6 n |
7 = 1
(< = 1,2,.. •, я),
где обобщенные инерционные коэффициенты M i} имеют вид
/п(х >■гОМ-*, z ) r j {x,z)dxdz, |
(1.62) |
S*
а обобщенные силы Qi(t) определяются через работу, совершен ную внешними силами на виртуальных перемещениях qit т. е.
Qi |
dW |
|
(1.63) |
|
dqt |
’ |
|||
|
|
где W — работа внешних сил.
Нормальные формы г и собственные частоты со колебаний конструкции получаются с помощью приведенных выше выраже ний для расчета собственных функций и частот колебаний консольно закрепленных балок.
2.Динамические деформации схемы
сдискретно распределенными параметрами
Рассмотрим определение деформаций конструкции под дей ствием динамических нагрузок с помощью коэффициентов влия ния по двум отмеченным выше методам — форм и. сосредоточен ных масс.
О п р е д е л е н и е д и н а м и ч е с к и х д е ф о р м а ц и й по м е т о д у форм. Рассмотрим метод форм, предполагающий деформацию (прогиб) упругой системы в точке / с координатами Xj, Zj путем наложения я форм собственных колебаний в виде
П |
|
^ ( ^ , ^ , о = 2 |
и - 64) |
где ri (Xj, Zj) -г—нормированная нормальная |
форма собственных |
колебаний г-го тона; |
|
qi it) — нормальная координата. |
|
Имея в виду ортогональность форм собственных колебаний, с помощью (1.64) можно получить выражения для кинетической и потенциальной энергий в виде функций квадратов нормаль
27
ных координат, представляющих собой обобщенные координаты системы
П
т= \ V ] Mrfht), |
(1-65) |
/ = 1
п
и
/ = 1
Здесь обобщенная масса М* определяется по формуле
^ = |
О - 66) |
|
/=1 |
где nij — /-я сосредоточенная масса системы;
— смещение в /-й точке по 2-й форме колебаний.
Используя (1.65), (1.66) в уравнениях Лагранжа, получаем систему дифференциальных уравнений для определения нор мальных координат в следующем виде:
+ |
(1.67) |
(2= 1 ,2 , ... , я).
Обобщенная сила Qi определяется в виде
}-1
где Рj — сосредоточенная сила, приложенная в /-й точке.
Общее решение задачи осуществляется подстановкой в (1.64) значений нормальных координат, вычисленных по (1.67). Урав нения для расчета форм и частот собственных колебаний си стемы с дискретно распределенными параметрами для случая консольной ее заделки легко могут быть получены с помощью коэффициентов влияния гибкости 6ц следующим образом. При собственных колебаниях деформации конструкции обуславли ваются только силами инерции и ее жесткостными характери стиками. Следовательно, вертикальное смещение сосредоточен ной массы в точке i под действием этих сил, по аналогии с (1.8) может быть записано в виде
П
0 1 = —2 W V , (*==1.2........ »)■ |
(1-68) |
/-1
28
Так как колебания являются гармоническими с собственной ча стотой о), т. е.
|
Уj — <Jrjeimt, |
. |
(1.69) |
|
то выражение (1.68) |
с помощью |
(1.69) |
можно привести к виду |
|
'/ = |
< * 2 |
(*'=1,2,..-. ,я), |
(1.70) |
|
. |
)=1 |
|
|
|
где коэффициенты, определяющие инерционные и жесткостные характеристики системы, имеют вид
ап = Ъит}. |
(1.71) |
Уравнению (1.70) удовлетворяет |
п пар собственных функций гг |
и собственных частот оц, причем |
собственные функции взаимно |
ортогональны. В матричной записи уравнения (1.70) примут вид
где
1 |
—11 |
н |
п |
|
|
\ |
r j |
# = и)Ч/?, |
(1.72) |
||
|
/Я ц |
й12 •• •**1л \ |
|
|
5$ |
а2,2 ' • ■ а 2п |
|
ь. II |
•М |
||
|
|||
|
. |
|
\ а „1 апЪ а пп /
Матрица, характеризующая инерционные и жесткостные свойства системы, на основании (1.71) имеет вид
A=DM, |
(1.73) |
где D — матрица коэффициентов влияния гибкости; М — матрица инерционных коэффициентов.
Для расчета колебаний крыла малого удлинения и для раз дельных изгибных или крутильных колебаний балочной схемы матрица D является симметричной матрицей коэффициентов влияния гибкости, а матрица М — диагональной матрицей со средоточенных масс. Это положение, очевидно, справедливо лишь при условии совпадения точек, в которых определены коэф фициенты влияния, и точек расположения сосредоточенных масс.
Для совместных изгибно-крутильных колебаний конструк ции балочной схемы, каждый отсек которой представлен сосре доточенной массой и моментом инерции, матрицы О и М стано вятся составными и имеют следующий вид:
|
0 |
= 1 |
imj) |
{-mjXj) |
|
М |
|
||
|
|
|
(—nijXj) |
|
где |
(6ij), |
(P ij)— симметричные матрицы коэффициентов |
||
|
|
|
влияния гибкости, |
соответственно при из- |
|
|
|
гибе^и кручении; |
|
29