книги из ГПНТБ / Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления

Обобщенным координатам qi(m<Ci^n) соответствуют раздельные изгибные колебания консольного крыла fi(z), т. е. изгибные колебания крыла при неподвижном фюзе­ ляже. В этом случае

fi = fi(z), cpi(z) = 0, |i(x) = 0 ( m < i < ^ n ) .

Обобщенным координатам qi(n<i-?sfN) соответствуют раздельные крутильные колебания консольного крыла. Для этой группы обобщенных координат функции

fi(z) = 0, срДг) = ср{, li{x) = 0 (п < г '< N).

Таким образом, система координатных функций, с по­ мощью которых описываются перемещения упругого са­ молета, состоит из четырех групп функций, соответствую­ щих движению самолета как жесткого тела, изгибным ко­ лебаниям фюзеляжа, изгибным и крутильным колебаниям крыла. Из самого принципа выбора этих функций сле­ дует, что они обладают свойством полноты, как формы колебаний различных частей самолета, удовлетворяют геометрическим граничным условиям задачи и части си­ ловых граничных условий. Число координатных функций N, которое необходимо учитывать в расчете, определяется числом форм и частот собственных колебаний, которое необходимо получить с достаточной степенью точности. Например, для определения первых 26 тонов симметрич­ ных колебаний самолета В-52 использовалось 40 коорди­ натных функций [56].

Формулы для коэффициентов aih в выражении кине­ тической энергии в общем случае можно записать в виде

101

При вычислении коэффициентов следует учитывать усло­ вия ортогональности, которые позволяют упростить общее выражение для коэффициентов а,^. Например, при ЬФИ все 0^ = 0, если оба индекса i и k относятся к одной из че­ тырех групп координатных функций.

Коэффициенты потенциальной энергии Cik могут быть определены более просто. Во-первых, легко показать, что все с,й= 0 при i=^=k, а коэффициенты си можно опреде­ лить через парциальные частоты колебаний

2

С и — C t u t l i .

Решая матричные уравнения (2.30) — (2.32), можно определить собственные частоты и собственные векторы Yt, а затем по формулам (2.33) найти формы собственных колебаний.

Рассмотрим простой пример. Если частота парциаль­ ных изгибных колебаний крыла значительно ниже других парциальных частот колебаний упругой конструкции, то для вычисления частоты и формы первого тона собствен­ ных колебаний самолета можно использовать следующий алгоритм. Пусть изгибным колебаниям консольного кры­ ла по форме fi(z) соответствует обобщенная координата

(фх(г) = 0, ii(x )= 0 ). Тогда дифференциальные уравне­ ния для определения обобщенных координат с учетом только одного тона изгибных колебаний крыла имеют вид

+ a-ndi = 0;

aootfo + aoidi — 0;

cii-iQ-i + Яю<7о + aiidi + Cu<7i = 0.

102

Решая эту систему уравнений, легко определить частоту собственных изгибных колебаний крыла совместно с же­ стким фюзеляжем самолета

Рис. 2.6. Форма собственных колебаний самолета с учетом изгиб­ ных деформаций крыла

Соответствующая этой частоте форма колебаний опреде­ ляется функциями

Вид этих функций показан-на рис. 2.6.

103

2 .4 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМ И ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ МЕТОДОМ ПРОГОНКИ

Для расчета форм и частот собственных колебаний широко используется метод прогонки (метод начальных параметров). Идея этого метода известна давно, ее впер­ вые применил к расчету крутильных колебаний Хольцер [59J. Однако численная реализация этого метода требует применения ЦВМ, поэтому только в последнее время он начал широко использоваться в практике расчетов [8, 24, 32].

Основные идеи метода прогонки в задаче определе­ ния частот и форм собственных колебаний можно пояс­ нить на примере изгибных колебаний свободной балки с упруго подвешенной сосредоточенной массой. Как ука­ зывалось, данная задача сводится к следующей краевой задаче:

массы (x=h) должны выполняться следующие условия:

Уравнения изгибных колебаний балки сведем к системе четырех уравнений первого порядка. Для этого введем новые переменные:

104

Первое уравнение (2.46) эквивалентно следующей сис­ теме уравнений:

Предположим, что частота колебаний а известна. Тогда система уравнений (2.49) будет иметь известные коэф­ фициенты, а величина ц может быть выражена через иj

С учетом обозначений (2.48) граничные условия задачи могут быть представлены в следующей форме:

ы3(0) = 0; w3(/) = 0; w4(0) = 0; и4(/) = 0.

Кроме того, при х = Л:

Ui {h —0)= ui (h+ 0);

Щ(h— 0) — и4(h4 -0)= —

/г2—со2.

105

Если при заданной со, можно было бы задать начальные значения функций (начальные параметры) «ДО), то ре­ шение задачи (2.49) было бы определено однозначно. Определение решения по заданным начальным значени­ ям в теории дифференциальных уравнений называется задачей Коши, поэтому в некоторых работах метод про­

« 4(/)= 0 . Данная задача разрешима только для тех зна­ чений со, которые являются частотами собственных коле­ баний системы.

Система дифференциальных уравнений (2.49) имеет четыре линейно-независимых частных решений н,- (£ = 1,

Для интегрирования системы дифференциальных уравнений (2.49) при фиксированном значении со, на­ чальных условий (2.52) и соотношениях (2.50) можно воспользоваться любым стандартным методом численно­ го интегрирования системы, например, методом РунгеКутта.

Общее решение системы (2.49) может быть представ­ лено в виде

« — • Ciui -f- C2U2 ~Ь C3H3 Ц- С4Й4

или в скалярной форме для компонента вектора

иг — CiUn -(- C2U12-(- C3Mj3-(- C4M;4.

Здесь иа означает г-ю компоненту вектора й в k-ом частном решении. С учетом граничных условий м3(0 )= 0

и «4(0) = 0 постоянные С3= 0, С4= 0, и общее решение име­ ет вид

106

й — C\Ui -f- C2U2.

Граничные условия в точке х = 1 эквивалентны следую­ щим равенствам:

С 1Ы31 (/) -J- С 2М зг(/) = 0; 1

С1Ы41 (/) -f- C2U42 (/) — 0. '

Постоянные Сi и Сг не равны нулю, если

Uzi{l) «32 ( 0

D( со) =

«41 ( 0 Uiz(l)

Поскольку величины ц,й(/) зависят от значения со, то и величина определителя £>(со) является функцией со.

Задавая различные со и повторяя при этом весь про­ цесс решения, вычислим значения функции D ( со), после чего можно определить корни этой функции, которые будут частотами собственных колебаний (щ. Для каждой соi из уравнения (2.53) находим

U3i(t) £

С2

После этого форма собственных колебаний может быть представлена в виде

Одним из преимуществ метода прогонки является воз­ можность определения i-й частоты и формы собственных колебаний без предварительного определения низших гармоник. В рассмотренном выше алгоритме решения учитывалась только одна упруго подвешенная масса. Легко видеть, что этот метод может быть распространен на любое число упруго подвешенных сосредоточенных масс. Когда сосредоточенная масса жестко закреплена на балке, в приведенных формулах п2 необходимо устре-

107

мить к бесконечности. В этом случае второе соотношение (2.51) будет иметь вид

U4(h — 0) — W4(h -(- 0) = u^tTih.

Метод прогонки можно использовать для расчета форм и частот собственных упругих колебаний самолета. Как показано в разделе 2.1 данной главы, соответствую­

Тогда первые два уравнения (2.8) будут эквивалентны системе линейных дифференциальных уравнений, кото­ рую можно представить в матричной форме:

Общее решение уравнений (2.54) может быть составле­ но из суммы трех линейно независимых решений

ф —•С1Ф1-|- Счфг ф- С3ф3,

удовлетворяющих условию (2.9).

Частные решения определяются интегрированием урав­

108

Третье уравнение (2.8) на отрезке [О А] заменяем системой уравнений

du

- — = Ли, (2.55) dx

где вектор и и матрица А определяются соотношениями

(2.50).

Для отрезка [—4, 0] вектор, аналогичный и, обозна­ чим через v. Тогда система уравнений, соответствующая третьему уравнению (2.8), примет вид

dx

Общие решения для м и v, удовлетворяющие граничным условиям (2.9), (2.10), можно представить в виде

й = Ctfi-i -\~ C5U2',

V = C6V1 + C-iV-L-

Частные решения уравнений (2.55) и (2.56) определяют­ ся интегрированием при следующих граничных условиях:

Для определения постоянных С* (i= l, 2, ..., 7) восполь­ зуемся граничными условиями (2.9). Получим систему однородных алгебраических уравнений относительно произвольных ПОСТОЯННЫХ Сг:

Таким образом, решение задачи по определению форм и частот собственных колебаний самолета может быть получено следующим путем: 1) задаем некоторое значе­ ние о;

109