книги из ГПНТБ / Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления

Вариации переменных у, ф, а, р удовлетворяют следую­ щим условиям:

Все переменные в моменты времени to и t\ имеют вариа­ ции, равные нулю. При этих условиях

j bTdt = - j f { [ m ( z ) ~ - - m ( z ) o ~ \ b y + u о

+ [ - m ( 2) a ^ + / ( 2) ^ ] бф } dz ^ {[mhy(h,t) +

+ mhaaa]by(h, 0 '+[Л 'га + mh<Jny(h, 0 ] 6a + Jx-x-^b^dt^.

Учитывая, что в точке z = h имеют место скачки перерезы­ вающих сил, изгибающих и крутящих моментов, величи­ ну 6П представим в виде

41

+ G/p—^ 6cp(/,0 - dz

i

Составляя теперь выражение для 6/ и приравнивая в нем нулю коэффициенты при произвольных вариациях, полу­ чим уравнения изгибных и крутильных колебаний крыла:

dz

условия стыка в точке крепления двигателя (z = /i)

42

Полученные при выводе уравнений условия стыка в точке крепления двигателя можно использовать для формули­ ровки соответствующих условий в точке крепления сосре­ доточенных грузов на крыле самолета.

1.5. МЕХАНИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ ЖИДКОСТИ В БАКЕ

При исследовании упругих колебаний корпуса ракеты и колебаний жидкости в баках основная трудность за­ ключается в описании поведения системы жидкость — уп­ ругая оболочка (бак). Эта задача решена для некоторых простейших форм бака. Однако получаемые алгоритмы решения достаточно сложны и для их реализации, как правило, требуется использование ЦВМ.

Более простое решение задачи, имеющее точность, до­ статочную для технических расчетов, может быть полу­ чено, если использовать механические модели колебаний жидкости в баках. Эти модели нашли широкое примене­ ние при исследовании динамики ракеты как твердого те­ ла с учетом колебаний топлива в баках [24, 53].

Наиболее широкое распространение получили маят­ никовые и пружинно-массовые модели колебаний жидко­ сти в баках (рис. 1.10).

Принцип построения моделей основан на определен­ ной аналогии между колебаниями жидкости в поле массо­ вых сил, напряженностью / и колебаниями механических моделей. Каждому тону волновых колебаний жидкости в баке ставятся в соответствие колебания математического маятника, или колебания сосредоточенной массы на неве­ сомой пружине.

Параметры моделей выбирают такими, чтобы силы и моменты, действующие со стороны модели на бак при его малых колебаниях в плоскости xOz, совпадали с анало­ гичными воздействиями со стороны жидкости.

Для эквивалентности необходимо прежде всего совпа­ дение частот колебаний жидкости «ц и модели, т. е.

43

Величина силы в направлении оси Oz, действующая на стенки бака от колебаний механической модели, будет такой же, как и от колебаний жидкости, если, кроме ча­ стот о),, подобрать и величины подвижных масс /п<.

Вся масса жидкости делится на неподвижную тт (масса затвердевшей жидкости) и подвижные массы т{, при этом должно выполняться равенство

т = mT+

где т — полная масса жидкости.

Рис. 1.10. Маятниковая и пружинно-массовая модели коле­ баний жидкости в баке

С увеличением номера тона колебаний величина т\ резко убывает, поэтому на практике в механической моде­ ли довольно часто используют только одну подвижную массу гп\. При этих условиях величину гп\ можно опреде-

Рис. 1.11. Положение свободной поверхности жидкости в баке и конфигурация маятниковой модели при повороте вектора массовых сил на угол ф

44

лить из следующих физических соображений. Пусть век­ тор интенсивности массовых сил / повернулся на угол ф (рис. 1.11). Свободная поверхность жидкости установится перпендикулярно вектору /. В этих условиях, как легко показать, центр тяжести жидкости переместится по на­ правлению оси Oz на величину яр^4ф/4т, где р — плот­ ность жидкости, R — радиус бака. В то же время в маят­ никовой модели каждый маятник в положении равнове­ сия будует направлен вдоль вектора j и центр тяжести также переместится вдоль оси Oz. Из условия одинаково­ го перемещения центров тяжести получим

Координаты х, = —ki + li расположения подвижных масс жидкости выбираются так, чтобы обеспечить эквивалент­ ность моментов, действующих на бак со стороны колеб­ лющейся жидкости и модели.

Однако и при отсутствии волновых колебаний жидкость нельзя рассматривать как затвердевшую. В этом можно убедиться, если рассмотреть угловые коле­ бания бака вокруг оси Оу, считая, что свободная поверх­ ность закрыта крышкой, препятствующей возникновению волновых колебаний. Жидкость может совершать движе­ ние относительно стенок бака, поэтому момент инерции бака с жидкостью / будет отличаться от момента инер­ ции бака с затвердевшей жидкостью / т. Таким образом, в число параметров механической модели необходимо до­ полнительно включить / — эквивалентный момент инер­ ции бака с жидкостью, величина которого зависит от фор­ мы бака.

В качестве примера приведем параметры механиче­ ской модели для цилиндрического бака с плоским дни­ щем [24]

00

т т — т — ^ ти

45

2

где t,i — собственные числа соответствующей гидродина­ мической задачи (£i = l,84; ^2= 5,33, ...).

В настоящее время разработаны эффективные мето­ ды вычислений параметров механической модели для ба­ ков произвольных форм. Эти методы и численные резуль­ таты расчетов приведены в работах [26, 31, 34, 43, 48].

Поскольку волновые колебания жидкости наиболее интенсивны вблизи свободной поверхности, то механиче­ ская модель их может быть использована и для анализа упругих колебаний ракеты с учетом колебаний жидкого топлива в баках.

1,6. УРАВНЕНИЯ УПРУГИХ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ КОРПУСА РАКЕТЫ С УЧЕТОМ КОЛЕБАНИЙ ЖИДКОСТИ В БАКАХ

Получим теперь уравнения упругих поперечных коле­ баний корпуса жидкостной ракеты, считая, что упругие перемещения корпуса можно вычислить, используя ба­ лочную модель, а волновые колебания жидкости — заме­ нить колебаниями пружинно-массовой модели.

Упругие колебания корпуса рассматриваем в поле массовых сил напряженностью J, причем вектор / направ­ лен в сторону, противоположную направлению полета

(рис. 1.12).

Отличие от уже рассмотренной задачи о колебаниях свободной балки, к которой в точке с координатой x = h

46

подвешена на пружине сосредоточенная масса, состоит в том, что здесь к балке в точках с координатами x = Xi(i = = 1, 2, ..., п) подвешены на пружинах сосредоточенные массы т{. Число сосредоточенных масс равно числу ба­ ков с жидкостью (или числу учитываемых тонов колеба-

Рис. 1.12. Упругие колебания корпуса ракеты в поле массовых сил напряженностью ]

ний жидкости) и балка находится в сжатом состоянии. Вся система в направлении оси Ох уравновешивается си­ лой Р, приложенной к нижнему концу балки.

Кинетическая энергия системы

где mT(x) — погонная масса конструкции и «затвердев­ шего» топлива;

47

= |(Xj, t), r\i — r)t(^) — отклонение сосредоточенной массы nti от продольной оси корпуса.

Потенциальная энергия П системы слагается из потен­ циальной энергии упругих деформаций балки и пружины Пу, потенциальной энергии в поле массовых сил П; и по­ тенциальной энергии, обусловленной работой силы Р при деформациях балки ПР,

П = Пу + IIj + Пр.

Используя решение предыдущей задачи для Пу, получаем

Для подсчета потенциальной энергии в поле массовых сил необходимо определить перемещение Дх вдоль оси Ох произвольной точки упругой линии балки при изгибе последней. Из геометрических соображений следует, что

о

где Дх0— перемещение верхнего конца балки, вызванно­ го изгибом.

Перемещение Дхг массы т , вдоль оси Ох обусловлено

изгибом упругой линии балки и деформацией пружины

X.

При перемещениях корпуса против направления векто­ ра / система запасает потенциальную энергию, поэтому

4§

Нижний конец балки перемещается в направлении оси Ох на величину

Так как перемещения силы Р против направления ее дей­ ствия приводят к увеличению потенциальной энергии си­ стемы, то

Суммируя соотношения (1.37) — (1.39), получим сле­ дующее выражение для потенциальной энергии системы:

тт(х)Х

Зная величины Т и II, легко получить выражение для ва­ риации интеграла действия:

49

X [.а а ь а а а + а х

Беря интеграл от бТ по переменной t по частям и учиты­ вая, что вариации на концах временного интервала обра­ щаются в нуль, получаем

Для преобразования выражения 6П, используем формулу Дирихле:

Интегрируя по частям первый член выражения для 6П подобно тому, как это было сделано в предыдущей зада­ че (1.27), получаем

50