![](/user_photo/_userpic.png)
книги из ГПНТБ / Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления
.pdfИз (3.23) следует, что наибольшее значение величи на погонной подъемной силы имеет в местах резкого рас ширения корпуса.
Пусть тело вращения, например корпус ракеты, со вершает упругие колебания, при которых перемещения упругой линии равны £(х, t). Местный угол атаки а(х) в произвольном сечении корпуса
дЦх, О 1 dj(x,t)
а(х, t) —
дх V dt
Для вычисления аэродинамических сил при упругих де формациях воспользуемся формулой (3.24), понимая под а местный угол атаки. Тогда
|
рУ2 а / \ |
dl(x,t) |
1 |
dl{x,t) |
У ( х у = |
С у ( х ) |
дх |
V |
. (3.25) |
~ т |
dt |
Аналогичную формулу можно получить для погонной подъемной силы на упругом фюзеляже самолета. Влия ние интерференции фюзеляжа с несущими поверхностя ми может быть частично учтено, если использовать экс периментальные значения с “ (л:).
В заключение хотелось бы еще раз подчеркнуть, что приведенные в данном разделе формулы для аэродина мических сил получены при достаточно грубых предпо ложениях и, строго говоря, носят качественный характер. Однако в ряде случаев, особенно когда можно использо вать экспериментальные данные, аэродинамические силы определяются по этим формулам с точностью, достаточ ной для технических приложений.
3.2. УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ УПРУГОГО САМОЛЕТА
Вывод уравнений возмущенного движения крылатого летательного аппарата в потоке воздуха рассмотрим на примере самолета со стреловидным крылом достаточно большого удлинения. Общая схема представлена на рис. 1.4 и 1.9. На крылё самолета в точке z = h располо жен сосредоточенный груз массой тн, имеющий вынос он и обладающий моментами инерции JZ'z' и JX'x'- Этим сосредоточенным грузом может быть гондола двигателя,
141
подвесной бак и т. д. Полученные ниже результаты мож но обобщить для нескольких сосредоточенных грузов. Для определенности будем считать, что органом управ ления самолета является подвижной стабилизатор.
В качестве невозмущенного движения самолета при мем установившийся горизонтальный полет со скоро стью V. Будем рассматривать возмущенное движение в плоскости тангажа. В этом случае нужно учитывать только симметричные упругие колебания самолета.
При составлении дифференциальных уравнений воз мущенного движения упругого самолета необходимо учитывать:
а) аэродинамические силы, действующие на несущие поверхности (крыло, стабилизатор) и фюзеляж;
б) силы от органов управления; в) силы конструктивного демпфирования;
г) силы от порывов ветра, земного притяжения и т. д. С учетом рассмотренного возмущенное движение уп ругого самолета определяется следующими тремя урав
нениями в частных производных: уравнением изгибных колебаний крыла
Li{y, z, ф, /) = |
1 |
bi dt |
|
dz2 |
|
|
+ m(z) |
m(z)o d2q? (2 ,0 |
У ( z ) — FBb (z ) — 0; |
||||
d * y { z , i) |
|
|
|
|
|
|
dt2 |
|
|
dt2 |
|
|
(3.26) |
|
|
|
|
|
|
|
уравнением крутильных колебаний крыла |
|
|||||
Мг/, z, ф, *) = |
— ( |
1+ Ь |
|
|
дф(z,t) |
|
dt / dzа т ( 0 /» |
dz |
+ |
||||
d2m (z, t) |
|
d2y (z, t) |
M(z) — MBn(z) = 0; |
|||
I (z)---------------m(z)o |
|
|||||
v ’ dt2 |
K ' |
dt2 |
|
|
(3.27) |
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнением изгибных колебаний фюзеляжа |
|
|||||
|
|
d \ d2 |
FJ W |
\ |
, |
|
|
|
________/ |
||||
M S. x, 0 = |
( l + |
3dt |
_I |
/" / V_______ |
J7 + |
|
Jdx2 ' |
ф |
drfx2 |
1 42
(3.28)
дх
В этих уравнениях Y(z), M(z), Y(х) — погонные аэро динамические нагрузки: подъемная сила крыла, момент вокруг оси жесткости крыла, подъемная сила фюзеляжа; Fmi(z), Mmi(z), Fim(x) — внешние силы и моменты, дей ствующие на крыло и фюзеляж от ветра и земного при тяжения; Фст, -Мет* ■— сосредоточенные силы и момент, действующие на фюзеляж от половины стабилизатора; хСт — координата оси вращения стабилизатора. Вели чины
представляют собой силы и моменты конструктивного демпфирования при изгибных и крутильных колебаниях крыла и изгибных колебаниях фюзеляжа. Они получены на основе известной гипотезы Фогта [37], согласно кото рой напряжение линейно зависит не только от деформа ции, но и от ее скорости.
Функции y(z, t), cp(z, t), l(x, t) должны удовлетворять граничным условиям на концах балок, схематизирующих стреловидный самолет вида, ( 1.11), условиям сопряжения в местах скачкообразного изменения жесткостей (1.18), условиям в местах сочленения крыла и фюзеляжа ( 1.21), (1.22), (1.23), условиям скачков сил и моментов в точ ках крепления сосредоточенного груза на крыле (1.36). Поскольку сосредоточенные силы и моменты от органа управления с помощью дельта-функции учитываются непосредственно в уравнении (3.28), то никаких дополни тельных условий на функцию £(х, 0 налагать не нужно.
Пусть на самолет действует ветер, который дает до полнительное приращение угла атаки aw. При вычисле нии аэродинамических сил от ветра будем пренебрегать нестационарными эффектами и изменением величины aw
1 43
по длине и размаху самолета. При этих предположениях силы от ветра и земного притяжения можно предста вить в следующем виде:
а
Mm{z) = - у — Су (г) ( у — у ) b2(z) aw+ cv
(3.29)^
Для определения Фст и Мст* составим уравнения возмущенного движения управляемого стабилизатора. Воспользуемся результатами, полученными в первой главе. Будем считать, что ось вращения стабилизатора перпендикулярна оси фюзеляжа Ох. Обозначим через т ст, Ост, Jcт — соответственно массу, расстояние от оси вращения до центра тяжести, момент инерции управляе мого стабилизатора. Тогда уравнение малых отклонений б управляемого жесткого стабилизатора вокруг оси враще ния можно представить в виде
J стб k t (тб -j- Ушт) " ^стСГст |
— |
дР |
Xст |
где d 8*8б — момент трения.
Вертикальное перемещение оси стабилизатора равно £(*ст, t), угол поворота стабилизатора относительно ско рости набегающего потока б — д%(х, t)/dx|хст. Аэроди намические силы и моменты, действующие на стабили затор, можно вычислить по формулам (3.14), (3.15), если положить в них
XСТ
1 44
Д л я с в е р х з в у к о в ы х с к о р о с т е й п о л у ч и м
Y g ^ ^ c ' y b
#СТ |
%F |
|
~ b ~ ~ b i V |
||
1 dl(x,t) |
|
|
V |
dt |
} ■ |
|
|
8 |
дЦх, О |
|
dx |
||
|
||
|
d2l(x,t) |
|
|
dx dt |
M0? |
Л^СТ |
Xp |
|
} P '3I> |
|
~b |
ъ |
12V |
|||
|
|
||||
|
X |
|
&%(x, t) |
|
|
|
|
dxdt |
|
||
|
|
|
|
||
К |
c r |
|
C T |
|
|
j Ycr(z)dz, |
MCT= ^ M „(z)dz, |
|
где величины c “ , b, xF относятся к стабилизатору.
Величина Ф0т равна сумме сил инерции и аэродина мических сил, действующих на стабилизатор
Фет == “Ь ЩстСстб “V Yот. |
(3.32) |
При вычислении Фст мы опускаем инерционные силы,
пропорциональные ускорению фюзеляжа |(хст), так как они учтены в уравнении (3.28) членом m$(x)d2'g{x,t)dt'1.
Сосредоточенный момент Мст*, действующий со сто роны стабилизатора на фюзеляж,
Мст = kr (г6 + Ушт) + dw8
может быть определен из уравнения (3.30).
Одним из приближенных методов решения получен ной системы уравнений в частных производных является сведение ее к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Наиболее часто для этого используют метод Бубнова — Галеркина.
Упругие перемещения конструкции, как обычно, представляем в виде следующих разложений:
1 45
N |
N |
y ( z , t ) = 2 |
f i ( z ) 4 i ( t ) > ф ( г . О = 2 фП2)<?;(0; |
i= —1 |
f= —1 |
K3.33)
N
l ( x , t ) = 2 b(x)qi(t), i= —1
где функции fi(z), q)i(z), gi(jc) образуют некоторую пол ную систему координатных функций, которая удовлетво ряет всем граничным условиям, условиям сопряжения и скачков рассматриваемой задачи. Как отмечалось в гл. II, в качестве такой системы можно взять формы соб ственных колебаний в пустоте целого самолета или его
отдельных частей. В выражениях |
(3.33) |
q i (t ) — обоб |
||||
щенные координаты, индекс |
i—— 1 относится |
к верти |
||||
кальным перемещениям, |
a t = 0 к повороту вокруг цент |
|||||
ра тяжести самолета |
как |
жесткого |
тела. |
Индексы |
||
£= 1—j—TV соответствуют различным |
формам |
упругих ко |
||||
лебаний самолета в целом или его |
отдельных |
частей. |
||||
При этих условиях, как уже указывалось, |
|
|
|
|||
f - i — 1, ф-1 - 0, |_1 - 1, |
|
|
|
|||
fo = *ц.т — Zsin X, |
фо = |
cos X, |
go = |
Хц.т — х. |
Система обыкновенных дифференциальных уравне
ний для определения qi — qi(t) |
может быть получена под |
||||
становкой (3.33) в уравнения |
(3.26) — (3.28) и проведения |
||||
следующих математических операций: |
|
||||
1 |
|
|
|
i |
|
2 J Ц (у, ф, 2, t) fj dz + |
2 j U (у, ф, z, t) <pjdz + |
||||
О |
|
|
о |
|
|
h |
|
|
|
|
|
+ f |
£з(£> x, t)gj dx = |
0 |
j — — 1,0,1,2,..., N. |
||
—h |
|
|
|
|
|
Получаем систему обыкновенных дифференциальных |
|||||
уравнений |
возмущенного |
движения упругого |
самолета: |
||
N |
|
|
|
|
|
2 |
\.anQi + (dji + |
dji) qi + (bji -\- Cj{) <7,-] -j- |
|||
i=—i |
|
|
|
|
|
|
“Ь Qj&6 -f- djb$ -(- bjf,6 = Fу, |
(3.34) |
146
N |
|
|
2 \аыЧ1 ~\~dbi<Ji ~bA«,-<7;] |
-[—(ijfes -\-dbb) 8 |
|
i— i |
|
|
+ (^6S + C5s)8— ------ — Уши |
(3.35) |
где
l
аЛ = 2‘ j [ m ( z ) f jf i — m ( z ) 3f j<pl — m(z)af,<?J-lr
|
li |
Щ W Ц 4 х + |
m j j (A) /,• (A) + |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- rn,,3 |
Ъ (A) cos x |
|
|
S‘ n X |
/ ; ( A ) + |
|||
•hrh |
d z |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-mhak |
Vj W cos x |
d f j |
sinx |
//(A ) + |
||||
d z |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•\-Jг |
<?j (A) cos x ■ |
<i£ |
|
sin x |
X |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
<P/(A) cos x - |
d z |
/I |
sin x |
+ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
+ / |
•P;(A) sinx- |
d f j |
|
cos x |
X |
|||
d z |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
<P/(A) sin x- |
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
d 2f j |
d 2f i . |
n t |
|
d'fj |
d b |
d z - { - |
|
C l - 2 l \ E J U J } |
|
+ Q J r |
d z d z |
|||||
|
d z 2 |
c f z 2 |
|
|
|
|||
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
£■/ |
d x 1 |
d x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—/ 2
147
* „ Г Г , г , |
d2/i |
d2fi , и |
d(Pi |
1 ^ , |
ji = = 2 3 1b l E J ~ d ^ ^ + b 2 G Jp ^ ^ \ dZ + |
||||
+ Г E J f ^ - - ^ b 3dx; |
|
|||
1 |
J |
d x 2 d xф-2 |
|
|
—/2 |
|
|
|
|
Г |
|
|
dh |
1 |
2j^ |
ОТстО’стЕз' (-^ст) “b -^CT — |
J |
= |
— 2 Г /^IctCTot^i (%ct) ~H Jctdb |
J1 i |
||
|
Обб —■JCT> |
^66 — &^"2- |
|
|
Обозначив |
далее для дозвуковой скорости полета |
|||
|
|
|
Х р |
|
h = 0 , S = c > ( i - ~т |
|
|||
|
х0 |
1 |
xF |
|
|
r a uz( Х° |
^ |
|
|
|
r = c ‘ b \ T ~ ^ ~ ~ь |
|
s = _ c „ 6M ^ - ^ V - 2 |
+ ^ - ^ ) + 4 |
8 |
" s |
|||||
|
6 |
|
b i\ |
2 ‘ |
b |
b |
|
|
и для сверхзвуковой скорости |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x 0 |
Xp |
|
|
h = Cyb, |
r = |
Ts=Cyb*( b |
b |
|
|
|||
s = |
Cuyb3 |
Xr\ |
X t |
2 , |
1 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
будем иметь |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bjt= |
pi/ 2cos2X j* |
•Л//?/ —*?«?/ \ |
|
|
||||
|
dfi |
_ |
dfi |
|
dcpi „ |
|
|
|
+ '> tg i/i^ F |
+ ‘ |
t g x ^ f i + r t g x ^ / J + |
|
|
148
|
|
. |
_ |
Qip |
|
|
+ s t g x ^ ^ |
\ dz + |
pv^ |
|
( |
||
— k |
dlj |
d^j |
dz |
Pl/ 2 |
(' |
d\j |
dx |
dx |
2 J |
|
dx |
||
|
|
|
|
|
C y ( x ) ~ J Z ^ x ’ |
|
|
|
|
|
— |
/ 2 |
|
dji — pV cos % \ [hfifj + rcpifj + scpjcpj +
|
|
|
|
П |
hkiij— r |
5y + |
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
+ S d^i |
dh,j |
d|j |
] | |
dz |
| |
Cf(x) lilidx- |
|
dx |
dx |
Ш г ~ |
|||||
|
|
X от |
|
- l 2 |
|||
|
bi{ = |
pV2 Д |
- |
Agj + |
r d| |
dz; |
|
|
Й |
||||||
|
|
О |
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<гя = |
Ру Д г | ; - |
^ |
) |
dz; |
||
|
|
О |
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
lст |
|
|
|
|
|
dee = |
pV |
j s d z ; |
|
||
|
|
г |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* ' = p l/ H - * f + « . ) |
dz; |
||||||
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
гот |
|
J. |
|
dz; |
|
|
6., = р р Д * ^ - ) 1 |
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
CT |
|
|
|
|
&ee = |
— |
p V 2 J A d z |
|
149
В выражениях, где интегрирование проводится по длине стабилизатора, величины /?., к, г, s — коэффициенты для стабилизатора.
Коэффициенты уравнений имеют четкий физический смысл: a,ji—характеризуют инерцию конструкции и на зываются инерционными коэффициентами; с1ц и йц* — аэродинамическое и конструктивное демпфирование; сц — характеризуют жесткость конструкции, Ьц — аэро динамическую жесткость; bj s— эффективность органов управления для различных степеней свободы.
Если в качестве координатных функций выбраны фор мы совместных колебаний самолета, то из условий орто
гональности следует, что при |
bi = b2 = b2, а^ = 0, сд = 0, |
rfj,* = 0 для j=£i. |
компактную форму за |
Обычно широко используют |
писи уравнений возмущенного движения упругого само лета в виде матричных уравнений. Введем следующий вектор-столбец обобщенных координат:
<7 -1
Яо
Ь
Я =
Я N
8
Обозначив матрицы соответствующих коэффициентов за главными буквами, запишем уравнения (3.34), (3.35) в виде
Лq +(Д +Д *) q +(В +С) q = F + R b k.
Здесь F — столбец правых частей, 6ь = —уШт/г, a R — есть столбец следующего вида:
О
150