книги из ГПНТБ / Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления

Рассмотрим ряд приближенных методов определения корневых траекторий. Пусть нуль и полюс передаточной функции, которые характеризуются координатами vo+ /(Do и v*+ /(й*, расположены близко друг к другу, по сравнению с расстоянием до других нулей и полюсов

Рис. 4.20. Годограф, соединяющий близкие нуль и полюс

(рис. 4.20). Траектория, замыкающая рассматриваемые нуль и полюс, расположена в ограниченной области пло­ скости S, поэтому вклад остальных нулей и полюсов в фазовый угол у и коэффициент усиления % можно счи­ тать неизменным для всех точек рассматриваемой траек­ тории.

Для произвольной точки корневой траектории нечет­ ного годографа имеем

Р -J- у — и = ф я + 2лк,

231

где

Подставив в это соотношение значения tg a, tg j3, полу­ чим следующее уравнение корневой траектории:

2 sin у

с центром в точке 0, координаты которой

На рис. 4.20 приведены некоторые геометрические соот­ ношения, определяющие расположение окружности и ее параметры. Часть окружности между нулем и полюсом является траекторией нечетного годографа, а другая часть, показанная пунктиром, является траекторией чет­ ного годографа.

Каждой точке траектории соответствует определен­ ный коэффициент усиления автомата стабилизации. Дей­ ствительно, на корневой траектории должно выполнять­ ся соотношение

kACk

2 3 2

Здесь Ri и R2 расстояния от рассматриваемой точки траектории до нуля и полюса, которые данная траекто-

г

рия соединяет; « — — динамический коэффициент

Полученные приближенные формулы в дальнейшем будут использованы для анализа устойчивости замкну­ тых систем при наличии слабо демпфированных нулей и полюсов передаточной функции объекта регулирования.

Практический интерес представляют также прибли­ женные формулы, позволяющие определить изменения корней замкнутой системы в зависимости от &ас- Эти формулы могут быть получены из следующих простых соображений.

Из характеристического уравнения корневого годо­ графа и уравнения (4.71) следует, что

~nk

Символ П показывает, что в произведении опущен сомно-

г=1

житель, соответствующий i= k. Взяв величину, обратную величине, определяемой формулой (4.76), найдем

233

т

Величина ds/dkAc на комплексной плоскости 5 может быть представлена вектором, выходящим из полюса и совпадающим с касательной к корневой траектории.

Для корней замкнутой системы, которые лежат на траектории, выходящей из k-ro полюса, имеем

Следует отметить, что формулы (4.78) имеют приемле­ мую для практических расчетов точность только при сравнительно небольших значениях kAc, в то время как формула (4.73) может быть использована во всем диапа­ зоне kAc, представляющем практический интерес. При некоторых предположениях о динамических свойствах объекта регулирования формулы (4.78) могут быть уп­ рощены.

Пусть k-й полюс передаточной функции разомкнутой системы является слабо демпфированным, тогда для при­ ближенного определения величины ds/dkAc\s»h по форму­ ле (4.77) можно использовать значение s**

1

= Ф0**)W0(j\k) v.ft.

Правая часть этого выражения пропорциональна частот­ ной характеристике разомкнутой системы, т. е.

234

Ф(/со) 1F0(/cd)1= ЛАС(со) Л0(со) exp /[0 Ас(ю) + 0о(со)],

(4.79)

где Лас (со), Л0(со) — амплитудно-частотные характери­ стики;

Оас (со), 0о(со) — фазо-частотные характеристики ав­ томата стабилизации и объекта регулирования соответственно.

Учитывая соотношение (4.79), формулам (4.78) мож­ но придать следующий вид:

Из первой формулы (4.80) определим критическое зна­ чение (&а с ) кр, при котором корневая траектория, выходя­ щая из й-го полюса, окажется на мнимой оси (v = 0)

______________1

(^лс) кр ---

Лас(сО*а)Ло(<Й*а) COS[0AC(cO*ft) + 00(соас) ]

(4.81)

Рассмотрим частный вид формулы (4.77) для случая, когда все нули и полюсы передаточной функции объекта регулирования расположены на мнимой оси плоскости S. При этих условиях

/ = 1

В этой формуле в произведениях опущены члены, соот­ ветствующие &-му нулю и полюсу Используя понятия частотной характеристики автомата стабилизации, полу­ чаем

2 3 5

Из анализа полученного выражения можно устано­ вить, что угол выхода корневой траектории из k-то полю-

той в выражении (4.82) положительный, я (ха = -^- +

+ 0Ac(®*ft), если названный множитель отрицательный.

Рассмотрим теперь ряд типовых задач устойчивости возмущенного движения летательного аппарата. Начнем с анализа устойчивости возмущенного движения ракеты как твердого тела. Динамические характеристики авто­ мата стабилизации будем считать заданным передаточ­ ной функцией (4.70). Приняв /г*т= 0, получим характери­ стическое уравнение замкнутой системы в виде

Здесь &ас —

Рассмотрим наиболее типичный случай, когда объект регулирования статически неустойчив, т. е. ю*т2<0. Рас­ пределение нулей и полюсов передаточной функции разомкнутой системы в верхней полуплоскости 5 и вид типичных корневых траекторий при увеличении коэффи­ циента £Ас приведен на рис. 4.21. Разомкнутая цепь име­ ет два полюса на действительной оси, один из которых расположен в правой полуплоскости, и комплексно-сопря­ женный полюс, соответствующий передаточной функции автомата стабилизации. Для разомкнутой цепи число полюсов на три превышает число нулей, поэтому асимп-

2зе

тоты корневых траекторий при kAc-+°° имеют наклон

±60°, 180°.

Корни замкнутой системы, находящиеся на траекто­ риях, которые выходят из полюсов передаточной функ­ ции твердого тела и полюсов передаточной функции ав­ томата стабилизации, будем называть соответственно корнями передаточных функций твердого тела и автома­ та стабилизации. Корень передаточной функции твердо­ го тела с ростом коэффициента kAc из правой полуплос­ кости перемещается по направлению к началу коорди-

Рис. 4.21. Корневой годограф для статически неустойчивого объекта регулирования

нат. При некотором критическом значении (&а с ) ппп

корень переходит в левую полуплоскость. При дальней­ шем росте коэффициента kAc корни передаточной функ­ ции твердого тела сначала становятся комплексно-сопря­ женными, затем снова действительными, но расположен­ ными в левой полуплоскости S. При 6Ас-^оо один из корней стремится к нулю передаточной функции авто­ мата стабилизации (— 1/Гд), а другой уходит в беско­ нечность вдоль действительной оси.

Таким образом, увеличение коэффициента kAc позво­ ляет устранить неустойчивость системы и обеспечить требуемые динамические характеристики ракеты, как твердого тела.

С ростом коэффициента kAc комплексно-сопряженный корень передаточной функции автомата стабилизации движется по направлению к мнимой оси и пересекает ее

при некотором критическом значении (/где)maxПри даль­ нейшем увеличении £дс этот корень асимптотически стре­ мится в бесконечность. Автомат стабилизации может нормально функционировать только при выполнении

Границы устойчивости, как известно, определяются из следующих условий Рауса — Гурвица [15]:

чивости и эффективности управляющих органов объекта регулирования, а величина (^дс)тах зависит, кроме того, от постоянных времени, определяющих динамические характеристики автомата стабилизации. Разность меж­ ду (^Ас)тах и (^Ас)тт, которая характеризует ширину области устойчивости, определяется из следующего соот­ ношения:

238

(4.85)

Зависимость минимального и максимального значе­ ний kAc от Гг/Гд приведена па рис. 4.22, причем кривые

Рис. 4.22. Области устойчивости для статически неустойчивой ракеты с системой управления

1, 2, 3, 4 выражают величину (^лс)тах при значениях 1/7'22ю*2т= 9; 16; 25; 64. Для обеспечения достаточно боль­ шой области устойчивости автомат стабилизации дол­ жен обладать большой полосой пропускания, т. е. иметь малые значения постоянных времени Г2 и Т\,

Фазо-частотная характеристика автомата стабили­ зации имеет характерную частоту, называемую частотой нулевой фазы со0, при которой Оа с ( соо) =0- Для переда­ точной функции вида (4.70) легко получить

ональна оэо2Частота нулевой фазы автомата стабилиза­ ции обладает еще одной характерной чертой, а именно, при этой частоте и (&ac) max корень передаточной функ­ ции переходит из левой полуплоскости в правую. Возни­ кающие при этом колебания происходят с частотой со0 (см. рис. 4.21).

Рассмотрим теперь дополнительные требования, кото­ рые налагает на характеристики автомата стабилизации задача обеспечения устойчивости движения ракеты с

Строго говоря, данная передаточная функция справед­ лива только при полете ракеты вне атмосферы, однако на частотах собственных колебаний жидкости она со­ храняет все принципиальные особенности динамических свойств объекта регулирования и на атмосферном уча­ стке траектории.

Характеристическое уравнение замкнутой системы объект-автомат стабилизации в рассматриваемом случае

(4.86)

Если в баках отсутствуют специальные устройства, дем­ пфирующие колебания жидкости, то нули и полюсы пе­ редаточной функции (4.86) являются слабо демпфиро­ ванными и на комплексной плоскости 5 расположены практически на мнимой оси. С точки зрения устойчиво­ сти замкнутой системы, следует различать два случая распределения нулей и полюсов передаточной функции с учетом колебаний жидкости. Первый случай (рис. 4.23, а) характеризуется перемежаемостью нулей и полюсов, обусловленных колебаниями жидкости, т. е.

240