книги из ГПНТБ / Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления

1.8.УРАВНЕНИЯ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ КОРПУСА РАКЕТЫ

СУЧЕТОМ ДИНАМИКИ ПОВОРОТНОГО ДВИГАТЕЛЯ

Колебания жидкости в баках и действие сжимающих сил на корпус ракеты для простоты учитывать не будем.

Рассматривая воздействия со стороны поворотного двигателя на корпус как сосредоточенные факторы, пред­ ставим уравнение изгибных колебаний в виде

Под т'(х) здесь принимается погонная масса корпуса без учета массы поворотного двигателя. Скачки перере­ зывающих сил и моментов в точке х = хД равны силам и моментам, действующим со стороны двигателя, т. е.

С помощью б-функции Дирака сосредоточенные силы и моменты можно внести непосредственно в дифференци­ альные уравнения, опустив условия скачков (1.58), (1.59). В этом случае уравнения (1.57) — (1.59) эквивалентны сле­ дующему уравнению:

61

Кроме этого, с помощью 6-функции Дирака введем соот­ ношение

где т(х) — погонная масса корпуса с учетом массы по­ воротного двигателя.

Приняв уравнение колебаний поворотного двигателя в виде (1.52), представим уравнения совместных упругих колебаний корпуса ракеты и поворотного двигателя в

Уравнения (1.60) следует дополнить уравнением гидро­ привода, позволяющим определить величину уШТ по за­ данным 6(0 и |д(0- При iy= 0 имеем

k (гб + Ушт) = ApS,

(1.61)

а3Ар + а2Ар + щуШ Т Я о & з & о . е У ш Т — 0 . j

Аналогичные уравнения движения могут быть получе­ ны и для управляемого стабилизатора. При этом, разу-

62

Глава II

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ УПРУГИХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ

2.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЧАСТОТ И ФОРМ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ

Уравнения собственных упругих колебаний летатель­ ного аппарата и его отдельных частей приведены в гл. I. В настоящем разделе рассмотрим общую постановку за­ дачи о вычислении частот и форм упругих колебаний ле­ тательного аппарата, которые являются основными пара­ метрами при анализе динамических свойств упругих ле­ тательных аппаратов как объектов автоматического регулирования.

Уравнение поперечных колебаний корпуса ракеты как свободной балки и соответствующие граничные условия можно представить в виде

где |(х), со — форма и частота поперечных колебаний свободной балки.

Решение задачи в форме (2.3) предполагает, что лю­ бые две произвольные точки балки (х\, х2) могут дви­ гаться либо в фазе, если знаки £(xj) и £(х2) одинаковы, либо в противофазе, если знаки %(х{) и |(х2) разные.

64

Другими словами, каждое частное решение вида (2.3) описывает стоячую волну колебаний. Те точки балки, в которых g(x) = 0, являются узлами соответствующей фор­ мы колебаний, а точки, в которых dl(x)/dx = 0, пучностя­ ми. Подставляя (2.3) в (2.2) и (2.1), сведем задачу о ко­ лебаниях к решению следующей краевой задачи матема­ тической физики:

(2.4)

Здесь со, g= g(x) — собственные значения и собственные функции соответствующей краевой задачи.

Как следует из общей теории [28], существует беско­ нечное множество собственных значений сщ, для которых соответствующие собственные функции gi = gi(x) удовлет­ воряют дифференциальному уравнению (2.4) и гранич­ ным условиям (2.5). Легко установить, что среди множе­ ства собственных значений сог есть нулевые. Действитель­ ное при о)= 0 уравнение (2.4) имеет вид

( 2.6)

Непосредственной проверкой можно установить, что ли­ нейно независимые функции g—1— 1 и go— % Хц.т, где Хц.т — координата центра тяжести балки, удовлетворяют уравнению (2.6) и граничным условиям (2.5). В дальней­ шем будем считать, что функциям g_i и go соответствуют нулевые собственные частоты co_i = 0 и соо = 0.

Функции |_1 и go соответствуют параллельному пере­ мещению балки и ее повороту вокруг центра тяжести как жесткого тела. Собственные частоты соДг^Л) соответст­ вуют поперечным упругим колебаниям балки по формам gi = gj(x). Формы собственных колебаний, соответствую­ щие различным собственным частотам, ортогональны на отрезке [0, /] с весовой функцией т(х), т. е.

Условиям ортогональности можно придать другую ма­ тематическую формулировку, а именно:

о

Условия ортогональности различных форм колебаний эквивалентны следующему утверждению: работа сил инерции, возникающих при колебаниях балки по г-му то­ ну, на перемещениях, соответствующих колебаниям по /-му тону, равна нулю. Или колебания балки по какомулибо тону не могут вызвать упругие колебания других тонов.

Физический смысл ортогональности упругих форм ко­ лебаний g* с формами колебаний g_i и go, соответствующих движению балки как твердого тела, заключается в том, что сумма сил инерции, действующих на балку при коле­ баниях, и их момент относительно центра тяжести, рав­ ны нулю.

Таким образом, условия ортогональности упругих форм собственных колебаний g* с g_i и go соответствуют теоремам механики о сохранении количества движения и момента количества движения в системе, на которую не действуют внешние силы. Из этих соображений, в частно­ сти, следует вывод, что если скорость движения центра масс системы в начальный момент времени равна нулю, то его положение в пространстве при упругих колебани­ ях остается неизменным и в дальнейшем.

Когда форма собственных колебаний г-го тона извест­ на, то соответствующая ей частота определяется по фор­ муле Рэлея

j* т (л:) 'ildx

о

Множество функций

66

образует так называемую полную систему ортогональных координатных функций. Любую непрерывную функцию F (х) на отрезке [О, /] можно представить бесконечным рядом

сходящимся в среднем [28].

Коэффициенты а, можно определить, умножая равен­ ство (2.7) на tn(x)^i(x) и интегрируя по х в пределах от О до /. С учетом условий ортогональности получим

i

§F(x)m(x)li(x)dx

О

at — -----------------------------

i

{ m(x)£i(x)dx

о

Понятие формы собственных колебаний можно обоб­ щить на более сложный случай колебания свободной бал­ ки с упруго подвешенной сосредоточенной массой. Соот­ ветствующая краевая задача определяется уравнениями (1.29) — (1.33). Ее решение разыскиваем в виде

£ (х, t) — l ( X) COS COt, T] ( / ) = 1] COS (0 1,

где £(x) — форма поперечных колебаний балки; -р — пе­ ремещение упруго подвешенной сосредоточенной массы относительно балки.

Под формой колебаний, соответствующей частоте со,-, в данном случае понимается функция £;(х), характери­ зующая распределение поперечных перемещений оси балки по ее длине и величина щ, характеризующая пере­ мещение сосредоточенной массы относительно оси балки. Отношение r\i к £*(&) является величиной постоянной для каждого тона колебаний.

Условия ортогональности для форм колебаний [£,(x), т и [gj(jc), т)j], соответствующих собственным частотам ©г и ©j, можно представить в виде

I

§ m(x)^i(x)^j (x)dx + m,l[^i (h) + r]i][^j (h) + r]j] = 0,

о

где m/t — величина упруго подвешенной сосредоточенной массы. Условия ортогональности можно записать также и в иной форме:

*dx -f- &r]iT)j = 0.

dx2 dxz

Формула Рэлея для определения частоты собственных колебаний в этом случае имеет вид

I

§т(х) 1г2 (x)dx-j- mh[li(h) + щ]2

Рассмотрим теперь симметричные колебания свобод­ ного самолета, уравнения которых, а также граничные ус­ ловия и условия стыка, приведены в гл. I. Частное ре­ шение задачи будем искать в виде

у (z, t) = f(z) c o s at, ф (z, t) = ф . ( г ) с о з at,

l(x, t) = |(x) c o s at.

Функции f(z), ф(г), £(x) характеризуют распределение при колебаниях линейных и угловых перемещений, обус­ ловленных соответственно изгибом и кручением крыла и изгибом фюзеляжа.

Частоты а{ и соответствующие им формы собственных колебаний самолета, которые описываются совокуп­ ностью трех функций fi(z), cpi(z) и Ь(х), определяются из решения следующей краевой задачи

68

69

Граничные условия (2.9) являются силовыми, а (2.10) — геометрическими, вытекающими из требования непрерыв­ ности деформаций в месте стыка балок, моделирующих упругие характеристики крыла и фюзеляжа.

Как и для поперечных колебаний свободной балки, си­ стема (2.8) — (2.10) имеет решения, при которых со = 0. Собственные функции при со = 0, соответствующие верти­ кальному перемещению самолета как твердого тела и по­ вороту его вокруг центра тяжести, есть

Здесь Хц.т— координата центра тяжести самолета. Упругие симметричные колебания самолета с частотой

Мг состоят из изгибных колебаний крыла и фюзеляжа и крутильных колебаний крыла. Распределение амплитуд колебаний частоты со; характеризуется формой колеба­ ний, т. е. совокупностью трех функций [/; (z), qp;(z), £г(х)]. Эта совокупность функций определяется с точностью до произвольного нормировочного множителя. Значение одной из трех функций fi(z), ф;(;г), li(x) в некоторой точке может быть выбрано произвольно, если только эта функция в данной точке не равна нулю. Обычно нормиро­ вочный множитель формы колебаний выбирается так,

чтобы fi(l) = 1.

Условия ортогональности двух форм собственных ко­ лебаний, соответствующих частотам со; и coj при i=£j, определяются выражением

X сгф; (г) fj (г) — т (г) ofг(г) ср3(z) - f / (z) ф; (z) ф3- (z) ] dz = 0,

(2.11)

или в другой, эквивалентной форме

70