книги из ГПНТБ / Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления

Последнее слагаемое в этом выражении тождественно равно нулю. Предпоследнее слагаемое, заключенное в фи­ гурные скобки, выражает равенство сил в проекциях на ось Ох, а именно:

j ( | т т(х)(/х|л-=о + 2 т\ = Р.

51

Группируя теперь в выражении для бУ члены при незави-

симых вариациях 6£, б£ь - - - и т. д. и приравнивая их ну-

ох

лю, получим дифференциальные уравнения движения:

и соответствующ ие граничные условия и условия скачков

в точках Xj

Уравнение (1.40) есть уравнение поперечных колебаний балки с учетом сжимающих сил, а (1.41) — уравнение ко­ лебаний i-й подвижной массы на пружине. Соотношения (1.42) и (1.43) представляют скачки перерезывающих сил и изгибающих моментов в точках X; крепления подвиж­ ных масс, а (1.44) и (1.45) выражают граничные условия на верхнем и нижнем концах балки.

Полученными уравнениями непосредственно для вы­ числений пользоваться неудобно. Преобразуем эти урав­ нения таким образом, чтобы в них вместо т т(х) входила функция т(х) — полная погонная масса балки, вклю­ чающая в себя погонную массу конструкции и полную погонную массу жидкости.

52

Используя понятие 6 — функции Дирака, условия скачков (1.42) и (1.43) можно перенести в дифференци­ альное уравнение. Функции Дирака обладают следующи­ ми свойствами:

Уравнение (1.40) и условия (1.42) и (1.43) эквивалентны следующему дифференциальному уравнению:

г— 1

в котором

X

При помощи уравнения колебаний подвижной массы (1.41) преобразуем уравнение (1.46) к виду

г = 1

53

Кроме ford, применяя определение 6 — функции, величи­ ну F (х>I) можно представить в следующем виде:

F ( x , l ) = — — { /'[ Д mT(x) + 2 b(x — Xi) X

г = 1

Окончательно уравнения поперечных колебаний корпуса ракеты с учетом колебаний жидкости в баках можно представить в форме

Граничные условия задачи определяются теперь только соотношениями (1.49) и (1.50).

Влиянием сжимающих сил на формы и частоты собст­ венных поперечных колебаний в первом приближении можно пренебречь. В этом случае уравнения поперечных колебаний корпуса ракеты с учетом колебаний жидкости в баках приобретают вид

54

Легко видеть, что (1.49) и (1.50) аналогичны уравнениям поперечных колебаний балки е упруго прикрепленными сосредоточенными массами.

1.7. УРАВНЕНИЯ ОРГАНОВ УПРАВЛЕНИЯ С УЧЕТОМ УПРУГОСТИ ИХ ПРИВОДОВ

При исследовании устойчивости движения летатель­ ных аппаратов большую роль играют динамические ха­ рактеристики органов управления, а точнее системы при­ вод— орган управления. Схемы двух наиболее типичных систем представлены на рис. 1.13 и 1.14. Первая из них —• схема системы управления поворотным двигателем, кото­ рую наиболее часто применяют для управления ракета­ ми. Вторая схема системы управления стабилизатором, которую используют на крылатых летательных аппара­ тах. Сами органы управления (поворотный двигатель или стабилизатор) могут обладать значительной инерцион­ ностью.

Из-за недостаточной жесткости привода органа управ­ ления, гидропривода и его креплений к корпусу частота собственных колебаний системы оказывается достаточно низкой и ее, как показывают данные летных испытаний, необходимо учитывать при исследовании устойчивости упругих летательных аппаратов [23, 24, 67]. Упругость привода органа управления будем схематизировать пру­ жиной с жесткостью ku а упругость крепления гидропри­ вода к корпусу пружиной с жесткостью kz.

Пусть корпус ракеты и поворотный двигатель совер­ шают совместные поперечные колебания (рис. 1.15). Тог­ да момент инерционных сил Ми относительно оси враще­ ния двигателя будет складываться из момента сил инер­ ции относительного и переносного движений

Здесь / д — момент инерции двигателя относительно оси вращения; тД— масса двигателя; сгд — расстояние между осью вращения и центром тяжести двигателя (положи­ тельное по направлению к срезу сопла); £д= |(*д, 0 — перемещение упругой линии корпуса ракеты в точке х =

55

Рис. 1.13. Схема системы управления поворотным двигателем:

в — расстояние между осью вращения двигателя и центром

тяжести; k\ — жесткость эквивалентной пружины, схематизи­ рующей упругость соединений между штоком гидропривода и двигателем; /гг— жесткость эквивалентной пружины, схемати­ зирующей упругости крепления цилиндра гидропривода к кор­ пусу ракеты; у шт— перемещение штока гидропривода отно­

сительно цилиндра; i/u— перемещение цилиндра гидроприво­ да относительно корпуса ракеты

Рис. 1.14. Схема управления поворотным стабилизатором само­ лета

56

— Яд, соответствующей положению оси вращения двигате­ ля; 6 — угол поворота двигателя.

Момент инерционных сил вокруг оси двигателя урав­ новешивается моментом упругих сил Му, величина кото­ рого может быть представлена в следующем виде:

гидропривода; уц— перемещение цилиндра гидропривода относи­

тельно корпуса ракеты.

Исключим из этого уравнения переменную уц. Из равен­ ства сил, развиваемых пружинами с жесткостями k\ и k2, следует, что

кгУц = — ki (уц + Ушт+ гб).

Отсюда

(1.52)

57

где k = kxk2/(ki+ £2) — суммарная жесткость двух после­ довательно соединенных пружин.

Из (1.52) следует, что уравнение собственных колеба­ ний поворотного двигателя при неподвижном корпусе ра­ кеты и запертом гидроприводе (г/шт= 0)

/дб ~f- &г26 == О,

а частота собственных колебаний

У kr2

0)д —

•^д

Рис. 1.16. Схема гидроприво­ да:

— перемещение золотника и штока гидропривода; Р ц Рв — гидравлические источники

низкого и высокого давлений; Рл> Рп — давление в левой и

правой полостях силового ци­ линдра; iy t 10шСш— управляющий

сигнал и сигнал обратной связи; * 3 . *0.с, — коэффициенты уси­

ления золотника и обратной связи

Чтобы получить уравнение движения поворотного двига­ теля при уттфО, рассмотрим уравнение движения гидро­ привода, общая схема которого представлена на рис. 1.16. Полости силового цилиндра через распределительное ус­ тройство (золотник) связаны с источниками высокого рв и низкого давления ра. Перемещение золотника из равно­ весного положения вызывает перепад давлений в поло­ стях силового цилиндра и приводит к перемещению што­ ка г/шт гидропривода. Линеаризированные уравнения гид­ ропривода могут быть записаны в следующей форме [16]:

где Ар = рл—рп— перепад давлений между левой рл и правой рп полостями гидроцилиндра; х3— перемещение золотника. Величина Ар связана с нагрузкой, действую­ щей на шток гидропривода, следующим соотношением:

A pS = k\{rb + г/шт + г/ц) = k(rb -f- г/шт),

где S — рабочая площадь поршня гидропривода.

58

Вообще говоря, величины Ар, ушт, х3 следует рассматри­ вать как некоторые малые возмущения установившихся значений А р0, г/ошт, х0з.

Установим физический смысл коэффициентов а,, вхо­ дящих в уравнение (1.53). При установившемся движе­

Ол

Уошт

Для каждого гидропривода известна так называемая статическая скоростная характеристика, т. е. зависимость уошт(хоз), которая в общем случае нелинейная (рис. 1.17).

Из соотношения (1.54) следует, что

Cti дх3

= tga.

Оз

Нагрузка, действующая на гидропривод, как правило, приводит к изменению скорости движения штока, что обычно характеризуется зависимостями, подобными тем, которые показаны на рис. 1.18— так называемыми на­ грузочными характеристиками гидропривода. Из уравне­ ния (1.54) следует, что в установившемся движении с по­ стоянной нагрузкой

59

На основании графиков, изображенных на рис. 1.18, легко найти, что

Коэффициент а3 характеризует скорость установления давления в полостях цилиндра при перемещении золот­ ника. В работе [16] показано, что этот коэффициент за­ висит от сжимаемости рабочей жидкости и упругости соб­ ственно гидроцилиндра и соединительных трубопрово­ дов.

Перемещение золотника х3 в электрогидравлическом приводе определяется электрическими сигналами систе­ мы управления и обратной связью. Общая схема замкну­ того электрогидравлического привода показана на рис. 1.16. В предположении, что сам золотник является идеальным элементом и что сигнал обратной связи фик­ сирует перемещение штока относительно гидроцилиндра, имеем

где /у — ток, характеризующий сигнал управления; t0.0— ток, характеризующий сигнал обратной связи; k3 и /г0.о — коэффициенты усиления прямой цепи и обратной связи соответственно.

Приведенные выше уравнения полностью описывают динамику системы управляющий орган — рулевой при­ вод. Например, собственные колебания поворотного дви­ гателя при неподвижном корпусе ракеты и нулевом уп­ равляющем сигнале гу= 0 описываются следующей систе­ мой уравнений:

Если проводка управления является абсолютно жесткой k= оо, то

60