книги из ГПНТБ / Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления

До сих пор аэродинамические силы вычислялись в предположении о линейности задачи, т. е. в выражении для давления пренебрегали членами 0 ( V 2), толщиной

Рис. 3.2. Профиль в сверхзву­ ковом потоке газа — аналогия с движением поршня

профиля и т. д. Правда, при введении экспериментальных поправок некоторые из этих нелинейных слагаемых, на­ пример толщина профиля, неявно учитывались. Учет нелинейных эффектов при вычислении аэродинамических сил для скоростей полета, соответствующих числу М > 1, имеет большое значение, особенно при гиперзвуковых скоростях. Нелинейные эффекты при нестационарном обтекании крыла можно рассчитать, используя так на­ зываемую «теорию поршня», которая в последние годы успешно применяется в различных задачах аэроупруго­ сти.

С увеличением скорости полета влияние возмущений, создаваемых движением крыла, носит все более локаль­ ный характер. Если воспользоваться аналогией с движе­ нием поршня (со скоростью v) в одномерном канале (рис. 3.2), то для определения давления р в произволь­

ной точке профиля получим следующую формулу [21, 54, 60]:

где роо, йоо— давление и скорость звука в невозмущен­ ном потоке; к — показатель адиабаты,

Разлагая правую часть этого равенства в ряд по сте­ пеням v, будем иметь

Скорость возмущения v можно представить в виде суммы

v — v0+ f 1*'

Здесь v0=Vdynv/dx, где ущ, = ущ,{х) — уравнение дужки профиля, а

Oi + 0(t>i).

Зная распределение давления Ар(х, t), можно по форму­ ле (3.11) вычислить обобщенные силы, действующие на профиль. Легко видеть, что в рассматриваемом случае обобщенные силы будут зависеть от толщины профиля. Если пренебречь влиянием рП, то получим выражение, являющееся пределом (3.10) при М-^оо.

Рассмотрим теперь некоторые методы вычисления аэродинамических сил на колеблющемся крыле конечно­ го размаха. В общем виде задача может быть сформули­ рована следующим образом. Пусть на крыле (рис. 3.3)

132

в точке с координатой (£, ц) местный угол атаки равен а(1, г]), что приводит к приращению давления Ар(х, z, £, ц) в некоторой области Si на крыле. Величина области Si зависит от режима обтекания. В дозвуковом потоке Si охватывает всю поверхность крыла, а в сверхзвуко­ вом потоке Si определяется конусом Маха с вершиной в точке (|, ц). Величины Ар (х, z, g, г]) и a(g, ц) связаны соотношением

pV2

Ар(х, z, л) = —^ - р ( х , z, £, Ti)a(£, лЬ

Рис. 3.3. Крыло конечного размаха в сверхзвуковом потоке газа

Функция Р(х, г, g, ц) называется функцией аэродинами­ ческого влияния, значения которой при фиксированных, х, z, |, т] являются аэродинамическими коэффициентами влияния.

Пусть известно распределение местных углов атаки a(g, т]), обусловленных перемещением крыла. Тогда дав­ ление в произвольной точке

pV2 с

Ар{х, г) = —— 3 р(х, z, g, л)а(|, r\)dr\d%.

2

Для дозвукового потока область интегрирования S ох­ ватывает все крыло, а в сверхзвуковом потоке определя­ ется передним конусом Маха с вершиной в точке А(х, z) (см. рис. 3.3). При заданном перемещении крыла

133

y ( x , z, t) м е с т н ы е у г л ы а т а к и в ы ч и с л я ю т с я по ф о р м у л е

Если известны функции аэродинамического влияния, то можно определить величины подъемной силы У(г) и мо­ мента M(z) относительно точки х = х0, действующие в произвольном сечении крыла,

У(г) = j\ £ j\ Р(х, z, l, ri)a(i, ri) cfrirfg] dx,

0 ' 2

Если перемещение крыла можно представить в виде вер­

Определение аэродинамической функции влияния или связанных с ней величин У (г) и M{z) для крыла произ­ вольной формы в плане представляет сложную матема­ тическую задачу, с методами решения которой можно познакомиться в работах [10, 52].

Рассмотрим прямое крыло, имеющее трапециевидную форму в плане. Одним из возможных методов решения данной задачи является так называемый метод плоских сечений. Перемещения крыла определяются функциями y(z, t) — прогибом оси жесткости и ф(г, t) — закручива­ нием сечений крыла вокруг этой оси. Если крыло как жесткое целое повернуть на некоторый угол атаки а, то

134

распределение нагрузки по размаху крыла характеризу­ ется некоторой функцией так называемой циркуляцией Г (г), показанной на рис. 3.4. Эта функция учитывает аэродинамическое взаимодействие сечений и может быть получена как теоретическими, так и экспериментальны­ ми методами. Значение с* (г) в каждом сечении крыла

пропорционально величине Г(г). Теперь полагаем, что при упругих деформациях крыла каждое сечение работа­ ет независимо от других, т. е. подъемную силу и момент сечения можно определить по формулам (3.8) и (3.9)

Г ( 1 )

соответствующие величины для каждого сечения жест­ кого крыла. В практических расчетах желательно исполь­ зовать экспериментальные значения с® (z) и Xo(z)/b. При

отсутствии таковых можно считать c j и Хо/b постоянны­

ми вдоль размаха и равными экспериментальным значе­ ниям для всего крыла.

Применим теперь метод плоских сечений для вычис­ ления аэродинамических сил, действующих на стреловид­ ное крыло достаточно большого удлинения (рис. 3.5). Рассмотрим две системы координат Oxz и Ох'г'. Ось Oz направлена параллельно оси жесткости крыла, а ось Ох' по направлению потока. При рассмотрении прямого крыла сечения выбирались по направлению потока и нормальная скорость v вычислялась из соотношения

135

В стреловидном крыле сечения по потоку совершают сложные движения, поэтому удобнее воспользоваться се­ чениями, перпендикулярными оси жесткости, которые пе­ ремещаются как жесткое целое. Координата х' может быть выражена через координаты х и г:

Произвольную деформацию стреловидного крыла можно представить как изгиб оси жесткости у (г) и закручива­ ние вокруг этой оси на угол cp(z, t), т. е.

у (х, Z,t) = у (2, t) + (ха— X) ф (z, t) .

Подставив это выражение в (3.17), получим

136

= V sin х-

Аэродинамические силы, действующие на крыло, за­ висят только от нормальной составляющей скорости по­ тока. Предположим, что для крыла конечного размаха аэродинамические силы в каждом сечении такие же, как и у крыла бесконечного размаха при одинаковых углах атаки (гипотеза скользящего крыла).

Вводя, как это было сделано для прямого крыла, экспе­ риментальные поправки, получим для У (г) и M(z) фор­ мулы, подобные (3.8) и (3.9):

137

Следует отметить, что величина с “, входящая в форму­ лу (3.20), является производной от коэффициента подъ­ емной силы, взятой по углу атаки, измеряемому относи­ тельно оси жесткости. С величиной с “л =dcvjdun, где ап угол атаки, определяемый относительно направления по­ тока, величина связана соотношением

а

аС у П

COS X

Более просто можно определить приближенное зна­ чение сил на колеблющемся крыле конечного размаха в сверхзвуковом потоке. Было показано, что при колеба­ ниях крыла в двумерном потоке величина приращения давления в произвольной точке при достаточно большом числе М определяется деформациями только в этой точ­ ке (3.10). Воспользуемся этим соотношением и для кры­ ла конечного размаха, т. е. считаем

УМ2— 1

где а{х, z) — местный угол атаки. Эта формула дает точное выражение для Ар при УИ->оо, поскольку в этом случае конус Маха вырождается в прямую. Будем ис-

138

пользовать формулу (3.21) для приближенного опреде­ ления Ар(х, г) во всем диапазоне сверхзвуковых чисел М.

Рассмотрим более подробно вычисление аэродинами­ ческих сил, действующих на колеблющееся стреловид­ ное крыло в сверхзвуковом потоке. В системе координат

Ох'г' (см. рис. 3.5)

2pV2 v(x',z)

АР(х', z') =

УМ2- 1 V

В системе координат Оху, учитывая формулу (3.18),

Введем в формулу экспериментальные поправки, а именно — заменим величину У2 па xF/b, а 4/У М2— 1 на

13Э

су cos%. Здесь Су — производная коэффициента подъем­ ной силы по углу атаки, который определяется относи­ тельно оси жесткости. Получим

РУ2

При составлении уравнений возмущенного движения упругих летательных аппаратов необходимо учитывать аэродинамические силы, действующие на корпус ракеты, или фюзелях самолета, которые обычно являются тела­ ми вращения. Как известно, теоретическое значение ве­ личины погонной подъемной силы Y(х) для тела враще­ ния, находящегося под углом атаки а:

где S = S (x ) — площадь поперечного сечения тела. Ука­ занное соотношение удобно представить в следующей форме:

140