книги из ГПНТБ / Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления

Другой характерной особенностью неконсервативных систем является невыполнение условий ортогональности собственных функций lk(x) и |„(х), соответствующих действительным значениям КпФки’ - Условия ортогональ­ ности существуют только для собственных функций со­ пряженной задачи.

Собственные функции исходной &(х) и сопряженной задач £{*(*) образуют полные системы координатных функций {£j(x)} и Произвольная непрерывная функция F (х) на участке [0, /] может быть представлена в виде ряда из собственных функций двояким образом:

оо оо

Используя условия ортогональности (2.74), можно по­ лучить формулы для вычисления коэффициентов bi и Ь**:

i

j\ F(x)m(x) 1* (x)dx

самосопряженных задач вообще и задачи о колебаниях балки со следящей силой на конце, в частности, могут быть применены метод прогонки и метод Бубнова — Галеркина. Вариационные методы расчета к неконсерва­ тивным задачам не применимы, поскольку силы, дейст­ вующие на систему, не имеют потенциала.

На рис. 2.8 для однородной свободной балки со сле­ дящей силой Р на конце (х = 1) представлена зависи­ мость частот собственных поперечных колебаний первого

121

w/Ц

Рис. 2.8. Зависимость двух первых собственных частот изгибных колеба­ ний свободной балки от величины следящей силы

coi — частота изгибных коле­ баний первого тона при Р —О

Рис. 2.9. Формы изгибных колебаний первого тона свободной

балки со следящей силой, приложенной в точке-— = 1

122

Г л а в а III

УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ УПРУГОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

3.1. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА УПРУГИЙ ЛЕТАТЕЛЬНЫЙ АППАРАТ

Определение аэродинамических сил, действующих на упругий летательный аппарат в его возмущенном движе­ нии, представляет сложную математическую задачу, ме­ тоды решения которой определяются режимом обтекания. Характерные особенности этой задачи заключаются в следующем:

1) нестационарный характер аэродинамических сил, которые зависят не только от координат и скоростей воз­ мущенного движения в данный момент, но и от высших производных по времени, а также от характера пред­ шествующего движения;

2) большой диапазон скоростей полета летательного аппарата, в котором может резко меняться физическая картина обтекания. Характер обтекания в значительной степени зависит от числа M=V/a полета, где V — ско­ рость полета; а — скорость звука.

Интересующий нас диапазон скоростей можно услов­ но разбить на следующие основные области:

а) область малых дозвуковых скоростей полета, при которых можно пренебречь влиянием сжимаемости воз­

= 0,7-=-0,9). Следует отметить, что некоторые летатель­ ные аппараты именно в этой области чисел М достигают максимального скоростного напора q= pV2/2, где р — плотность воздуха.

124

Каждая из указанных областей требует применения специфических математических методов решения задачи об определении нестационарных аэродинамических сил;

3) большое многообразие форм летательных аппара­ тов, начиная от тел вращения (ракеты) и кончая самоле­

тами, например, типа В-52, имеющими крыло большого удлинения.

Изложение аэродинамических задач читатель может найти в соответствующей специальной литературе [5, 10, 36, 49]. Здесь же кратко рассмотрим некоторые методы приближенного вычисления аэродинамических сил на колеблющемся крыле и получим формулы, дающие яв­ ную зависимость аэродинамических сил от параметров возмущенного движения аппарата.

Рассмотрим крыло бесконечного размаха. При этом будем считать, что оно движется с постоянной скоростью V и совершает малые поперечные колебания. Распреде­ ление аэродинамических сил будет одинаково для любо­ го сечения, поэтому можно ограничиться изучением движения профиля (сечения) крыла в двумерном потоке газа.

Заменим профиль бесконечно тонкой пластиной (рис. 3.1), вертикальные перемещения которой у(х, t) можно представить в виде

N

y { ^ t ) = ^ y i { x ) q i { t ) ,

285=1

125

где yi(x) — t-я форма колебаний профиля, a qi{t) — со­ ответствующая ей обобщенная координата.

Скорость потока, нормальная к профилю,

В каждой точке профиля существует местный угол ата­ ки, который можно вычислить по формуле

а (я, ) = v(x, t) t

V

Обычно при расчетах профиль заменяют системой вихрей с интенсивностью ч\(х, t). Эта интенсивность вы­ бирается из условия, чтобы скос потока vu который она создает, в каждой точке профиля равнялся — v(x, t), т. е. чтобы на профиле выполнялось условие непротекания. При колебаниях профиля величина v(x, t) является переменной, поэтому должна изменяться и величина г\(х, t). Это изменение проявляется в возникновении сво­ бодных вихрей на профиле и в следе. Указанные особен­ ности учитывает нестационарная теория аэродинамиче­ ских сил, действующих на профиль [36].

В качестве первого приближения для расчета сил, действующих на колеблющийся профиль, можно исполь­ зовать более простую теорию, базирующуюся на гипоте­ зе стационарности [19].

Физически гипотеза стационарности соответствует пренебрежению в вихревой системе, интенсивностью сво­ бодных вихрей на крыле и в следе. Другими словами, аэродинамические силы, возникающие в каждый момент времени при неустановившемся движении профиля, сов­ падают с аэродинамическими силами, действующими в стационарном потоке на профиль, местные углы атаки которого в каждом сечении

V ( х , t )

а (х, t) =

V

Обобщенные аэродинамические силы Q,, соответству­ ющие t'-й обобщенной координате, для профиля опреде­ ляются из выражения [15]

126

ь

где ц(х, t) — вихревая интенсивность на крыле, yi(x) — возможное перемещение; b — длина профиля крыла.

В частном случае, когда yi(x) = \, соответствующая об­ общенная сила является подъемной силой, действующей на профиль,

ъ

Н. Е. Жуковского для подъемной силы крыла. Если yi(x) = (xо—х), то соответствующая обобщенная сила представляет момент аэродинамических сил относитель­ но точки Хо:

Если перемещение у(х, t) произвольной точки профиля представить как перемещение y(t) некоторой точки, от­ стоящей от носика профиля на величину Хо, и поворот вокруг этой точки на угол ф (/):

то выражение (3.1) можно проинтегрировать и формулы для подъемной силы Y и момента М относительно точки х = х0, возникающие при колебаниях профиля в потоке воздуха, представить в виде [19]:

8* ~2~ ~ У '

127

Величина 2л есть теоретическое значение с* —-про­ изводной коэффициента подъемной силы для тонкого профиля по углу атаки. Подъемная сила профиля при­ ложена в точке с координатой хр, называемой аэродина­ мическим фокусом; для топкого профиля величина Xplb — 'li. Поэтому последний член в формуле (3.6) пред­ ставляет значение момента относительно аэродинамиче­ ского фокуса

Выражение для подъемной силы профиля при коле­ баниях можно также получить из следующих простых соображений. Заменим распределенную вихревую интен­ сивность на крыле r\{x, t) одним вихрем с циркуляцией

Г = I г] (х, t)dx.

о

Подъемная сила, возникающая на профиле, равна pVT и приложена в фокусе профиля, т. е. вихрь с циркуляци­ ей Г должен находиться в точке с координатой xF. Скос потока от рассматриваемого вихря определяется соотно­ шением

Поскольку вихревая система профиля заменена одним вихрем, то условие непротекания может быть выполнено в одной точке с координатой ха. Выберем эту точку из условия, чтобы при стационарном обтекании подъемная сила имела истинное значение

а

Су

Вточке профиля х а из условия непротекания Vi/V равняется местному углу атаки. Тогда

128

Это равенство выполняется, если Vi = F/nb. Обращаясь теперь к формуле (3.7), найдем, что координата точки, в которой необходимо вычислять скос потока,

ха

~Ь

В частности, если Хр/Ь = 1и, то ха/6 = 3/4.

Применив полученный результат для нестационарно­ го обтекания профиля, получим формулы, аналогичные

(3.5), (3.6):

Эти формулы удобны для введения различных экспери­ ментальных поправок. Действительно, величины с“ и

xF/b могут быть определены путем проведения аэродина­ мического эксперимента в трубе по замеру статических

при больших дозвуковых числах М. Для этого необходи­

Рассмотрим теперь задачу о вычислении аэродинами­ ческих сил, действующих на колеблющееся крыло беско­ нечного размаха, в сверхзвуковом потоке. По-прежнему считаем, что крыло движется с постоянной скоростью У >а и совершает бесконечно малые колебания с часто­ той со. В отличие от дозвукового потока, в котором воз­ мущения от колебаний крыла распространялись во всем пространстве, в сверхзвуковом потоке возмущения рас-

положены только в конусе Маха (см. рис. 3.2) с углом при вершине 2а*, причем sin а* = а/У = 1/М. Приращение подъемной силы на единицу длины профиля АР(х, t) является сложной функцией чисел Маха и Струхаля. Для приближенного определения аэродинамических сил в нестационарном сверхзвуковом потоке воспользуемся гипотезой стационарности, согласно которой в каждый момент времени аэродинамические силы совпадают с силами, действующими на профиль в стационарном по­ токе. Явная зависимость Aр(х, t) от у(х, t) в этом случае может быть представлена в виде

2рУ [ ду(х, t) + у ду{х, О

Ар (х, t) =

Выражение для обобщенной силы при сверхзвуковом по­ токе будет иметь вид

ь

Если перемещение профиля представить уравнением (3.4), то для подъемной силы Y и момента М можно по­ лучить следующие формулы:

Если в этих формулах заменить теоретическое значение производной коэффициента подъемной силы по углу ата­

ки, равное 4/У М2— 1, и относительное положение фокуса xFlb = '[l2 на соответствующие экспериментальные значе­ ния, то получим

1 30