книги из ГПНТБ / Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления

ной и имеет производные по х до второго порядка вклю­ чительно. Выберем полную систему координатных функ­

X <7г + т (х ) 2 &(*)<7<(0‘- г=—1

Для истинного решения задачи правая часть этого ра­ венства должна обращаться в нуль при любом значении х, следовательно,

0 г'=—1

Проводя интегрирование по частям по переменной х, легко показать, что каждое из соотношений (2.61) экви­ валентно уравнению

2 (dijqi + Cirfi) = 0 / = — 1, 0, 1, 2 , ( 2 . 6 2 )

1

4 1 1

в котором коэффициенты ац и сц имеют следующий вид:

О

о

(2.64)

Пусть теперь система (£i(x)} используется в качестве системы координатных функций в вариационном методе. Нетрудно установить, что в этом случае коэффициенты flij будут одинаковы как в вариационном методе, так и в методе Бубнова — Галеркина, а коэффициенты сц бу­ дут несколько отличаться из-за дополнительных слагае­ мых в формуле (2.64), зависящих от значений функций 1г(х) и их производных на концах балки. Поскольку в вариационном методе имеется сходимость к точному ре­ шению, то, по-видимому, такая сходимость будет отсут­ ствовать в методе Бубнова — Галеркина, в той форме, в какой этот метод использован. Указанный недостаток будет устранен, если в методе Бубнова — Галеркина по­ требовать, чтобы координатные функции удовлетворяли и силовым граничным условиям задачи:

В этом случае условия (2.59) будут выполняться, и коэф­ фициенты сц в методе Бубнова — Галеркина будут та­ кими же, как и в вариационном методе.

система координатных функций удовлетворяла не толь­ ко геометрическим, но и силовым граничным условиям. Это требование, безусловно, затрудняет применение ме­ тода Бубнова — Галеркина в ряде задач. Если система координатных функций в методе Бубнова — Галеркина

112

удовлетворяет не всем силовым условиям, то о точности этого метода нельзя сделать никакого заключения.

Применение метода Бубнова — Галеркина для при­ ближенного решения уравнения математической физики заключается в следующем [33]:

1) пусть дано уравнение в частных производных для функции и(р, t) в некоторой области П

L(u, р, t) = 0.

Здесь буквой р обозначена произвольная точка области Q. На границе области S функция и(р, t) удовлетворяет геометрическим и силовым граничным условиям:

2) выбирается полная система координатных функ­ ций, удовлетворяющая всем граничным условиям (2.65);

3) приближенное решение находится в форме

N

u(p,t) « 2ifi(p)qi{t)\

2= 1

4) для определения обобщенных координат qi(t) по­ лучаем систему дифференциальных уравнений

Q~i= 1

5)при N-^-oo приближенное решение сводится в сред­ нем к точному решению задачи.

Рассмотрим применение метода Бубнова — Галерки­ на в задаче об упругих колебаниях самолета. Уравнения колебаний упругой конструкции самолета в частных про­ изводных можно представить с помощью трех операто­ ров:

113

ным условиям (2.9), (2.10).

Выберем полную систему координатных функций {fi{z), q>i(z), Ь(х)}, которые удовлетворяют граничным услови­

в котором в операторы L\, L2, L3 вместо функций y(z, t), Ф(z, t), £(x, t) подставлены выражения (2.67).

Уравнения (2.68) можно представить в виде

N

Здесь коэффициенты ац и Cij совпадают с соответствую­ щими коэффициентами в вариационном методе, если в последнем используется та же система координатных функций (2.67).

114

Требования, предъявляемые к системе координатных функций в методе Бубнова — Галеркина, можно упрос­ тить, если сосредоточенные силы, действующие на систе­ му, внести в дифференциальные уравнения. Поясним сказанное следующим примером. Рассмотрим изгибные колебания свободной балки, к которой в точке x = h при­ креплена сосредоточенная масса т,к. Тогда в дополнение к граничным условиям (2.59) функция £(х, t) должна удовлетворять еще граничному условию в точке х = /г— условию скачка перерезывающих сил:

д21(х, t)

= mh

dt2

Это условие можно не учитывать при выборе системы координатных функций, если сосредоточенную силу инерции от массы ти учесть в уравнении колебаний бал­ ки, представив его в виде

Применяя к этому уравнению метод Бубнова — Га­ леркина, координатные функции которого ii{x) удовле­ творяют только условиям (2.59), получим уравнения (2.62), коэффициенты которого

i

aij = J т (х) li (х) £■>(х) dx + mh\i (h) (ft);

оdx2 dx2

совпадают с аналогичными коэффициентами вариацион­ ного метода для рассматриваемой задачи.

115

2.6. РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ УПРУГИХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ КАК НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ

Упругий корпус ракеты с реактивной тягой представ­ ляет собой неконсервативную систему. Неконсерватив­ ные упругие системы обладают некоторыми особенностя­ ми, с которыми приходится встречаться при изучении их собственных колебаний. Будем полагать, что демпфиру­ ющие силы отсутствуют и неконсервативность системы обусловлена только силами, зависящими от деформации конструкции.

Рис. 2.7. Изгибные колебания балки, движущейся под действием силы Р вдоль оси Ох с ускорением /:

а — исходная задача; 6 — сопряженная задача; П — жесткая не­ весомая пластинка

Рассмотрим поперечные колебания свободной балки, на одном из концов которой приложена «следящая» сила Р, т. е. сила, направление которой всегда совпадает с направлением касательной к изогнутой оси балки (рис. 2.7). Невозмущенное движение балки будем счи­ тать прямолинейным с ускорением

Р

где т — масса балки. При малых колебаниях ускорение / с точностью до величин второго порядка малости явля­ ется постоянным.

116

Поскольку проекция «следящей» силы на направление нормали к упругой линии балки в точке приложения си­ лы равна нулю, то граничные условия задачи будут та­ кими же, как и для балки без следящей силы, т. е.

При гармонических упругих колебаниях с частотой го, решение уравнения (2.69) можно представить в виде

Ux, 1) = Ц х)еш -

Подставив это выражение в уравнение (2.69), получим

В дальнейшем мы будем использовать некоторые поня­ тия теории линейных дифференциальных операторов [35].

Пусть /(|) обозначает некоторое дифференциальное выражение. Для рассматриваемой задачи

Пусть функция £(•*) удовлетворяет граничным условиям (2.70) и каждой функции ставится в соответствие линей­ ный оператор

117

Оператор L называется линейным дифференциальным оператором, порожденным дифференциальным выраже­ нием /(g) и граничными условиями (2.70).

Возьмем произвольную функцию ф(х), обладающую непрерывными производными до четвертого порядка. Последовательным интегрированием по частям получим следующее равенство:

(

J l{l)^{x)dx = Q(g,i|))

о

Дифференциальное выражение /*(ф) называется сопря­ женным по отношению к 1(1), причем

Если дифференциальное выражение 1*(\|з) совпадаете 1(1), как в рассматриваемом случае, то оно называется самосопряженным. Величина Q(|, г|з) |* есть билиней­

ная форма переменных g и ф и их производных следую­ щего вида:

Граничные условия для ф(я), обращающие билинейную форму в тождественный нуль при учете граничных усло­ вий (2.70), называются сопряженными к (2.70) граничны­ ми условиями. Если граничные условия для g(x) и ф(х) совпадают, то они называются самосопряженными гра­ ничными условиями. В рассматриваемой задаче сопря­ женные граничные условия имеют вид

118

Эти граничные условия несамосопряженные по отноше­ нию к граничным условиям (2.70).

Дифференциальное выражение (2.72) и граничные условия (2.73) соответствуют следующей физической за­ даче: в точке х = 1 (см. рис. 2.7, б) к балке прикреплена жесткая невесомая пластина П, на которую действует

странстве, являются самосопряженными.

Оператор L*, порождаемый сопряженными граничны­ ми условиями и сопряженным дифференциальным выра­ жением, называется сопряженным к L. Оператор L* яв­ ляется самосопряженным, когда он порождается само­ сопряженным дифференциальным выражением и самосопряженными граничными условиями.

Решение задачи о колебаниях балки можно рассмат­ ривать как решение задачи о нахождении собственных

Из изложенного следует, что задача о колебаниях балки без следящей силы сводится к самосопряженному опе­ ратору, а при наличии следящей силы к несамосопряжен­ ному оператору.

В каждом случае, помимо исходной задачи, можно рассматривать также сопряженную, которая сводится к

119

нахождению собственных функций и собственных значе­ ний сопряженного оператора:

Собственные значения и собственные числа диффе­ ренциальных операторов обладают следующими основ­ ными свойствами:

1. Собственные значения оператора L и L* комплекс­ но сопряжены.

2. Собственные функции операторов L и L*, соответ­ ствующие собственным значениям Хп и Хп*, ортогональ­ ны, если кфп\

i

J т (х) lh(х) \п (х) dx = 0. (2.74)

о

3.Собственные значения Хи* и Хп* самосопряженного оператора действительны.

4.Собственные функции самосопряженного операто­

ра Ik* и In* ортогональны, если кфп: i

jj m(x)^h (х)|* (х)с?х = 0.

о

Из сформулированных свойств можно сделать выводы о характере колебаний несамосопряженных систем. Для самосопряженной задачи собственные частоты колеба­ ний всегда действительны. Для несамосопряженной за­ дачи могут встречаться комплексные значения, причем среди них обязательно найдется одно с положительной вещественной частью, так что амплитуды колебаний бу­ дут с течением времени увеличиваться по экспоненци­ альному закону, т. е. колебания будут нарастающими.

Величина X является непрерывной функцией силы Р. При небольших значениях Р величины X действительны и больше нуля, что соответствует существованию гармо­ нических колебаний системы. При некотором критиче­ ском значении Ркр происходит слияние двух различных собственных значений, после чего величины X становятся комплексными. Следовательно, границе устойчивости рассматриваемой неконсервативной системы соответст­ вует совпадение двух собственных частот колебаний.

120