книги из ГПНТБ / Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления

Угол выхода корневой траектории из полюса а* может быть вычислен по формуле (4.72). Принимая во внима­ ние, что для точек, лежащих на мнимой оси, сумма фа­ зовых углов от нулей и полюсов передаточной функции автомата стабилизации равна значению фазо-частотной характеристики 0 а с ( ю ) , имеем

fife = — — (- 0 а с ( со*ь ) .

Для выхода корневой траектории из полюса, обуслов­ ленного колебаниями жидкости, в левую полуплоскость достаточно, чтобы

О < 0 А с(о > ) < Я,

т. е. фазо-частотная характеристика автомата стабилиза­ ции должна иметь опережение на частотах колебаний жидкости. Поскольку это требование к фазо-частотной характеристике автомата стабилизации не противоречит требованиям, необходимым для обеспечения устойчиво­ сти движения ракеты как твердого тела, то объект регу­

241

лирования, имеющий распределение нулей и полюсов, аналогичное неравенству (4.87), будем называть струк­ турно устойчивым.

Второй случай (см. рис. 4,23, б) характеризуется на­ рушением чередования нулей и полюсов передаточной функции ракеты с учетом колебаний жидкости, напри­ мер,

0)01 < 7 (0*1 < 7 (0*2 < Г 0)02 < (003 < (о *з < •••.

Угол выхода корневой траектории из полюса со*2

л

устойчивость при сколь угодно малом коэффициенте уси­ ления &а с . Устойчивость системы может быть обеспечена только в случае, если 0Ас((о*г)<О- Однако это требование противоречит условиям устойчивости движения ракеты как твердого тела и устойчивости колебаний жидкости в баках, для которых нуль предшествует полюсу.

Поэтому объект регулирования, у передаточной функ­ ции которого имеется нарушение чередования нулей и полюсов, будем называть структурно неустойчивым.

Некоторые из возможых видов корневых траекторий замкнутой системы представлены на рис. 4.24. Для струк­ турно неустойчивого объекта корневые траектории пока­ заны на рис. 4.24, г. Здесь имеются две возможные фор­ мы потери устойчивости, одна из которых определяется корневой траекторией, выходящей из полюса передаточ­ ной функции автомата стабилизации, а другая — корне­ вой траекторией, выходящей из полюса со*ь обусловлен­ ного колебаниями жидкости.

Одним из возможных путей достижения устойчивости при значительных величинах коэффициента усиления &Ас является установка демпферов колебаний жидкости в баках. При значительном демпфировании колебаний жидкости приближенно можно считать, что величины hoi и h*i возрастают одинаково. Это приводит к смещению нуля и полюса, обусловленных колебаниями жидкости, с мнимой оси в левую полуплоскость (рис. 4.25).

242

Корневая траектория, соединяющая нуль и полюс, близка к окружности, параметры которой в общем слу­ чае определяются по уравнениям (4.73) и (4.74). В рас­ сматриваемом случае легко установить, что при у(со*) =

=0 а с ( со , ) уравнение корневой траектории имеет вид

Рис. 4.24. Корневые траектории замкнутой системы жидкостная ра­ кета — автомат стабилизации

Рис. 4.25. Корневые траектории при различном демпфировании колебаний жидкости в баках

243

Оценим максимальное значение vmax для корня, нахо­ дящегося в правой полуплоскости. Из соображений сим­ метрии следует, что это значение достигается при (о= 1/2 (со0 + (о*) и, следовательно,

Поскольку нули и полюсы, обусловленные колебания­ ми жидкости в баках, расположены близко друг от друга по сравнению с расстоянием до остальных нулей и полю­ сов передаточной функции системы, то коэффициент уси­ ления автомата стабилизации, при котором достигается Vmax, может быть определен по следующей формуле:

JмцСО*

■<4АС (со*)Р у&у.ж

Естественно поставить вопрос, каков должен быть декремент колебаний жидкости в баке, чтобы при соо>со* корневая траектория располагалась в левой полуплоско­ сти? При введении демпфирования корневая траектория эквидистантно смещается влево на величину h*k = h0h- При А*k— Аса> Vmax вся траектория будет лежать в левой полуплоскости при любом Аде (см. рис. 4.25). Следова­ тельно, устойчивость по отношению колебаний жидкости в баке при структурной неустойчивости объекта гаран­ тируется, если декремент колебаний

Это неравенство может оказаться трудновыполнимым. Поэтому интересно установить критическое значение Аде

2 44

как функции коэффициента демпфирования колебаний жидкости в баке /г*.

Используя формулы (4.78) и (4.82), а также принимая во внимание, что Ьт/ап—— Ру (хл — хцг)/JMц, значение v/{ для k-ro корня характеристического уравнения замкнутой

IT' ((%■ — (О**)

Считая, как и раньше, что увеличение демпфирования колебаний жидкости на величину /г* сдвигает всю корне­ вую траекторию на эту величину влево, получим следую­ щую зависимость потребного зачения /г* для обеспечения устойчивости при заданном &ас:

Формула (4.90) имеет приемлемую точность только при небольших значениях k\c, тогда как формула (4.88) дает удовлетворительные результаты в более широком диапа­ зоне значений.

Приведенные результаты исследования устойчивости возмущенного движения ракеты с учетом колебаний жид­ кости в баках допускают простую интерпретацию с по­ мощью частотных методов. На границе устойчивости (s=/(о) надо выполнять условие

Следовательно, при тех частотах, где замкнутая система теряет устойчивость (корневая траектория пересекает

2 4 5

мнимую ось), необходимо выполнять условие

0о(<о)=_0АС((о). (4.92)

Пусть равенство (4.92) выполняется при частотах <м/. Критическое значение коэффициента усиления автомата стабилизации при этих частотах вычисляется из соотно­ шения

турно неустойчивого объекта. Если на частотах колеба­ ний жидкости автомат стабилизации обладает фазовым опережением 9 а с ( ( с о ) > 0 , т о для структурно устойчивого объекта равенство (4.92) в этой области частот не выпол­ няется. Это означает, что корни характеристического уравнения замкнутой системы, соответствующие колеба­ ниям жидкости, имеют отрицательные вещественные час­ ти при сколь угодно большом &ас (соответствующие кор­ невые траектории полностью расположены в левой полуплоскости S). Фазовые кривые 0 а с ( с о ) и 0 о ( оэ) пере­ секаются при частоте (о= 0 и при ю, близкой к частоте нулевой фазы автомата стабилизации. Как уже указы­ валось, эти точки соответствуют нижней и верхней гра­ ницам устойчивости движения системы твердое тело — автомат стабилизации.

Ы2", близких соответственно к ю*2 и соогПоскольку часто­ та мг' расположена ближе к полюсу, то критическое значе­ ние &ас, найденное для этой частоты, будет меньше, чем для частоты юг". Меньшему значению (&лс)кр соответству­ ет переход корневой траектории из левой полуплоскости в правую, а большему значению (&а с ) кр соответствует обратный переход в левую полуплоскость.

Увеличение демпфирования колебаний жидкости в баках приводит к уменьшению значений фазо-частотной характеристики объекта в диапазоне частот со*2—соог (пунктирная кривая на рис. 4.27). При некоторой величи­ не демпфирования пересечение кривых 0о(о:>) и —0Ас(м)

246

A o M A a .c( w)

Рис. 4.26. Частотные характеристики системы струк­ турно устойчивый объект регулирования — автомат стабилизации

А д (и>) Аа х ( ш )

Рис. 4.27. Частотные характеристики системы струк­ турно неустойчивый объект регулирования — автомат стабилизации

247

в этом диапазоне частот может отсутствовать, т. е. кор­ ни характеристического уравнения замкнутой системы будут располагаться в левой полуплоскости. Другими словами, при данном демпфировании колебаний жидкос­ ти корневая траектория будет лежать полностью в левой полуплоскости.

Рассмотрим теперь устойчивость упругих колебаний корпуса ракеты при их взаимодействии с системой стаби­ лизации. Основные требования, предъявляемые в этом случае к характеристикам автомата стабилизации, мо­ жно получить, если рассмотреть взаимодействие движе­ ния ракеты как твердого тела вокруг центра тяжести с одним из упругих тонов колебаний корпуса. Передаточ­ ная функция объекта в этом случае представляется вы­ ражением (4.50); распределение нулей и полюсов пере­ даточной функции, а также частотные характеристики объекта изображены на рис. (4.11) — (4.13).

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

рассмотрении устойчивости колебаний жидкости в баке. Однако нуль и полюс передаточной функции, соответст­ вующие упругим колебаниям корпуса, сильно разнесены друг относительно друга, если датчик угла расположен далеко от пучности соответствующей формы колебаний.

На рис. 4.28 показаны углы выхода корневой траекто­ рии из полюсов передаточной функции упругих колеба­ ний и связь этих углов с фазо-частотной характеристикой автомата стабилизации. Корневая траектория движется в левую полуплоскость, что гарантирует устойчивость в отношении упругих колебаний при умеренных значени­

венство |Дхд)£/<(*д.у)<0 выполняется, если датчик угло­ вого положения расположен в носовой части, а орган уп­ равления в хвостовой части корпуса. Поэтому устойчи­ вость по отношению к упругим колебаниям первого тона корпуса будет гарантирована, если при расположении

248

датчика угла в носовой части фазо-частотная характе­ ристика автомата стабилизации имеет запаздывание [0 > 0дс((в*1) > — 180°] на частоте упругих колебаний, а при расположении датчика в хвостовой части корпуса — опе­ режение [O<0ac(co*i) < 180°] на этой частоте.

Сформулированные условия иногда называют усло­ виями фазовой стабилизации упругих колебаний. Эти ус­ ловия не должны противоречить условиям стабилизации движения ракеты как твердого тела вокруг центра тя­ жести и колебаний жидкости в баках, которые требуют

Рис. 4.28. Углы выхода корневой траектории из по­ люсов передаточной функции, соответствующие упругим колебаниям корпуса

наличия опережения по фазе у характеристики автомата стабилизации в определенном диапазоне частот [0—соо].

Если частоты первого тона упругих колебаний корпу­ са значительно выше частот, характеризующих движе­ ние ракеты как твердого тела, и частот колебаний жид­ кости в баках, то на частотах упругих колебаний корпуса иас(ю) обычно имеет место запаздывание, и поэтому датчик угла целесообразно устанавливать в носовой час­ ти корпуса.

Если частоты первого тона упругих колебаний близ­ ки к частотам колебаний жидкости в баках, то при рас­ положении датчика угла в носовой части корпуса 0 а с ( « ) должна менять знак в узком диапазоне частот, который изменяется во времени. Это представляет известные тех­ нические трудности. Устойчивость по отношению к упру­ гим колебаниям в этом случае можно обеспечить уста­ новкой датчика угла в хвостовой части корпуса и обес-

249

печением фазового опережения 9лс(о>)>0 на частотах упругих колебаний. Легко видеть, что условия фазовой стабилизации по отношению к упругим колебаниям кор­ пуса и колебаниям жидкости в баках в этом случае будут совпадать. %

Другим распространенным способом обеспечения ус­ тойчивости по отношению к упругим колебаниям являет­ ся метод амплитудной стабилизации, особенно часто применяемый для обеспечения устойчивости по отноше­ нию к высшим формам упругих колебаний. Сущность этого способа заключается в уменьшении величины амп-

Рис. 4.29. Корневые траектории системы при установке дат­ чиков угла вблизи пучности формы упругих колебаний

литудно-частотной характеристики как объекта, так и автомата стабилизации на частотах упругих колебаний.

Условия амплитудной стабилизации будут выполнены, если согласно (4.93)

Для уменьшения величины Ло(ю*г) на частотах упругих колебаний датчик угла целесообразно устанавливать в пучности формы упругих колебаний. При £'(*д-у)—О происходит взаимная компенсация нуля и полюса упру­ гих колебаний, что приводит к резкому уменьшению ве­ личины Ло(®*г). Так как формы упругих колебаний кор­ пуса ракеты изменяются при уменьшении топлива и изменении веса полезной нагрузки, то полная компенса­ ция нуля и полюса не обеспечивается. Однако нуль и полюс располагаются близко друг к другу (рис. 4.29). Любое показанное на этом рисунке взаимное расположе­ ние нулей и полюсов вероятно, и может встретиться си­

2 5 0