книги из ГПНТБ / Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления

Колебания балки представим в виде ряда

В качестве системы координатных функций можно взять формы собственных колебаний свободной однородной балки:

Ы *) = * — Ь = Ых) (0 < i ^ N ) .

Функции указанного ряда не удовлетворяют естествен­ ным граничным условиям задачи (2.35), но удовлетворя­ ют геометрическим граничным условиям (2.36) и гранич­ ным условиям на концах балки (2.34).

Из выражений для кинетической и потенциальной энергий

)

можно получить формулы для определения коэффициен-

ТО В CLihj Cik-

О

v d2lk(x)

'К J ..о dx.

Дальнейшее решение задачи происходит по уравнениям

(2.30) — (2.33).

91

2. Изгибные колебания неоднородной балки с упруго подвешенной в точке x = h сосредоточенной массой /л;,. Данная задача возникает при изучении взаимодействия упругих колебаний корпуса ракеты е колебаниями жидкости в баках.

Колебания балки представим в виде ряда (2.37), при­ чем в этом разложении в качестве координатных функ­ ций £Дх) примем формы собственных колебаний свобод­ ной неоднородной балки с жестко прикрепленной в точке x = h сосредоточенной массой тн. Эти формы колебаний являются решением следующей задачи:

-— со2mhl(h).

Колебания сосредоточенной массы ть относительно оси упругой балки характеризуются обобщенной координа­ той qK+x (t) =n (i) . Легко видеть, что система координат­ ных функций (£,•), соответствующих обобщенным коорди­ натам qu при N—^oo является полной системой, -поэтому ряд (2.37) с любой заданной точностью аппроксимирует функцию !(х, t). Функции U(x) удовлетворяют геометри­ ческим условиям задачи и естественным граничным усло­

скольку эти условия относятся к типу естественных, то их удовлетворение не обязательно. Поэтому система функ­ ций {£,}, соответствующая обобщенным координатам q,\ может быть использована для приближенного решения задачи вариационным методом, если ее дополнить обоб­ щенной координатой qN+](t), описывающей перемещение массы от;, относительно оси упругой балки.

Коэффициенты ац< и сцг квадратичных форм кинетиче­ ской и потенциальной энергии определим из выражений

(2.38):

92

иформы собственных колебаний. Поясним это на приме­ ре системы, в которой учитываются только обобщенные координаты q-i, qo, q\, определяющие движение корпуса

иобобщенная координата 172= 11, определяющая относи­ тельное перемещение упруго подвешенной сосредоточен­ ной массы. К подобной задаче приходим при изучении взаимодействия первого тона колебаний корпуса ракеты

с колебаниями жидкости в баках.

Согласно (2.39) коэффициенты уравнений имеют сле­

Уравнения колебаний рассматриваемой системы бу­ дут следующими:

93

Выражая из первых двух уравнений ускорения q -{ и с/0

через q2 и подставляя полученные соотношения в четвер­ тое уравнение, 'получим систему уравнений следующего вида:

Уравнения (2.41) есть уравнения колебаний в системе с

двумя степенями свободы. Величины «1 = У Сц/йц, п2 =

= У^гг/й* являются парциальными частотами системы;

первая соответствует частоте упругих колебаний корпуса при «замороженной» жидкости, вторая — частоте коле­ баний жидкости в баке при учете движения ракеты как жесткого тела. Следует отметить, что частота колебаний жидкости в неподвижном баке несколько меньше, чем п2

и равна У с22/а22.

Система имеет две частоты собственных колебаний oil и о>2, которые порождаются парциальными частотами изгибных колебаний корпуса и колебаниями жидкости в баке. Они определяются из уравнения частот системы

94

Используя первые два уравнения системы (2.40), полу­ чим

(2.43)

Выражения для q~\lqu qolqu 42/41 представляют собой элементы собственного вектора у* (2.31).

Форму собственных колебаний корпуса, соответствую­

Если представить перемещение упруго подвешенной со­ средоточенной массы относительно оси корпуса в виде <72(0 =r]i<7i (t), то для частоты ол

Абсолютное перемещение упруго подвешенной сосредо­ точенной массы при частоте coi

qi{t) [Qi(A) + rji]-

Аналогично можно получить для частоты собственных ко­ лебаний со2 выражения, подобные (2.42), (2.43), затем форму собственных колебаний Q2(x) и величину т]2.

Возможные формы колебаний для одного частного примера приведены на рис. 2.4. Если «i>rt2, то на часто­ тах упругих колебаний корпуса абсолютное перемещение упруго подвешенной массы противоположно перемеще-

95

шпо сечения корпуса, в котором подвешена сосредоточен­ ная масса. При п1~>п2 абсолютное перемещение упруго подвешенной сосредоточенной массы при поперечных ко­ лебаниях корпуса стремится к нулю. Физически это озна­ чает, что часть массы ракеты не участвует в колебаниях, что должно привести к увеличению собственной частоты по сравнению с парциальной (coi>ni).

Рис. 2.4. Формы собственных колебаний системы упругая бал­ ка — упруго подвешенная масса

крутильными колебаниями обусловлены несовпадением центров тяжести сечений крыла с осью жесткости и боль­ шим выносом вперед центра тяжести двигательной уста­ новки, прикрепленной к крылу на пилоне в точке z = h. Уравнения колебаний, граничные условия на концах ба­ лок, условия скачков моментов и перерезывающих сил в сечении z = /i даются соотношениями (1.34) — (1.36). Со­ гласно методу Ритца представим прогибы оси жесткости y(z, t) и углы поворота вокруг этой оси cp(z, t) в виде следующих рядов:

баний балки, моделирующей рассматриваемое крыло без учета двигательной установки.

96

1

a-ih = — ^ m (2) afi (2) щ (2) dz + тквжX

о

X cos хфь (ft) fi{h) + [JX’x' cos x sin X“

dfijz)

Jz'i' cosxsinx]<fft {h)

dz

Коэффициенты си удобно вычислять не по формулам (2.45), а через значения парциальных частот п{, которые определены при раздельном рассмотрении изгибных и крутильных колебаний крыла. Будем иметь сц = щ2ац. После вычисления коэффициентов (2.45) дальнейшее ре­ шение задачи сводится к определению собственных зна­ чений и собственных векторов по уравнениям (2.30) — (2.32).

Рассматриваемая система имеет N собственных ча­ стот соj, часть которых порождается изгибными, а часть крутильными колебаниями крыла. Форма совместных из- гибно-крутильных колебаний, соответствующая частоте

В ряде практических случаев для рассмотрения изгибнокрутильных колебаний крыла в области низких частот в разложении (2.44) достаточно учесть только первые тона раздельных колебаний изгиба и кручения крыла. В этом

98

случае уравнения изгибно-крутильных колебаний имеют вид

ctuCj1 + Cuqi -j- fli2^2 — 0;

022^2 + С22<72 = О-

Из этих уравнений следует, что при ун = 1:

2 2

Он Mi — o)i

Уи

а12 со2.

г

ъ ю r-(2)l

Рис. 2.5. Формы изгибнокрутильных колебаний крыла

и поэтому формы совместных изгибно-крутильных коле­ баний будут представлены следующими выражениями:

Формы колебаний f(z) и ср(г), а также Fi(z) и Ri(z) для случая щ < п 2 представлены на рис. 2.5. Отметим, что в первой форме совместных изгибно-крутильных колебаний основная составляющая соответствует раздельным изгибным колебаниям крыла; составляющая закручивания крыла невелика. Знак угла закручивания определяется знаком при ai2. Во второй «крутильной» форме совмест­ ных колебаний составляющая углов закручивания в

раз больше, причем угол закручивания по сравнению с первой формой имеет противоположный знак.

4.Упругие колебания самолета. Будем считать, что н

крыле самолета в сечении z = h к оси жесткости на пи­ лоне крепится двигательная установка.

Уравнения колебаний, граничные условия на концах балок, геометрические и силовые условия стыка балок,

и изгибные колебания фюзеляжа разложим в ряды по си­ стеме координатных функций:

N N

i——1

Система координатных функций fi{z), <$i(z), h(x) должна удовлетворять условиям полноты и геометриче­ ским граничным условиям, желательно, но не обязатель­ но, — силовым граничным условиям.

Обобщенным координатам q~i, qo соответствуют дви­ жения самолета как жесткого тела, поэтому

изгибные колебания фюзеляжа £,(*) с жестким крылом. Из условия непрерывности деформаций в месте стыка

100