книги из ГПНТБ / Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления

Если пренебречь динамикой органа управления, т. е. в уравнении (3.34) принять ajb=djs —О, то уравнения возмущенного движения можно представить так:

Ад + (Д + Д *)7 + ( В + С ) д = Р - $ Ь к

где

<7-i b—is <7о Ьоь

<7i Ьп Ьп

<7iV Ьыь

При анализе возмущенного движения самолета как жесткого тела вместо переменных q~\ и <70 используют величины угла атаки а и угловой скорости <вг, которые равны

следовательно,

q-1 = V (q0— а ), q- 1 = V(coz — а), q0 — со*. (3.38)

Принимая во внимание вид координатных функций, соответствующих обобщенным координатам q- 1 и <70, не­ посредственным вычислением можно показать, что

151

Подставляя (3.38) в (3.34) и (3.35) и учитывая соотно­ шения (3.39), уравнения возмущенного движения упруго­ го самолета представим в виде:

— аь- i V ct— db—iVa -\ -a^z-f- (an-iV -f-^so) mz~\~

N

(йгi41“Ьdbiq1~\-ЬыЯi ) ®8sS —[—(cfse—йГss) 8-f-

/-1

Система уравнений возмущенного движения упруго­ го самолета в форме (3.40) — (3.43) имеет определенное преимущество перед уравнениями (3.34), (3.35), так как порядок системы понижается на два. Кроме того, харак­ теристическое уравнение системы (3.34) и (3.35) имеет два нулевых корня, что соответствует безразличному положению равновесия самолета по высоте (g_i) и углу тангажа (q0). Наличие кратного нулевого корня вызыва­ ет определенные затруднения при численном решении системы, например, при вычислении собственных значе­

152

ний и форм колебаний в потоке воздуха. Система урав­ нений (3.40)— (3.43) свободна от этого недостатка.

Большое значение имеет обеспечение устойчивости упругого самолета с автоматической системой стабили­ зации при наземных испытаниях. Такими испытаниями могут быть определение собственных частот и форм ко­ лебаний, проверка функционирования системы управле­ ния и т. д. Для математического описания процессов, происходящих при таких испытаниях, определения сте­ пени устойчивости системы, необходимо иметь уравнения движения упругого самолета при наземных испытаниях. В отличие от полетных условий здесь V—0, и на движе­ ние самолета наложены дополнительные связи, обуслов­ ленные подвеской или контактом самолета с землей.

Чтобы приближенно воспроизвести условия свободно­ го полета, обычно используют специальную упругую под­ веску самолета, которая слабо искажает собственные частоты и формы упругих колебаний, если собственные частоты колебаний самолета как жесткого тела на упру­ гой подвеске (вертикальное перемещение и тангаж) много меньше частот упругих колебаний. Пусть эти час­ тоты соответственно co_i и сооЭффективные жесткости подвески можно определить по формулам

Тогда уравнения движения упругого самолета при на­ земных испытаниях будут следующими:

При теоретических исследованиях колебаний, возни­ кающих при динамических испытаниях самолета, в ка­ честве внешних нагрузок следует учитывать различные воздействия, прикладываемые к самолету для возбуж­ дения упругих колебаний. Будем считать, что на самолет действуют силы Pk(t), приложенные на крыле в сечении z = zh на расстоянии оь от оси жесткости, и силы Pi(t),

153

приложенные на фюзеляже в точке x —Xi. Используя рассмотренную выше методику вычисления правых час­ тей уравнений, найдем

Уравнения возмущенного движения упругого самоле­ та получены для аппарата конкретной схемы. Используя приведенную методику, можно получить уравнения дви­ жения самолета, если на крыле имеется несколько сосре­ доточенных грузов или вообще самолет имеет несколько упругих несущих плоскостей. Для этой цели достаточно в выражениях для коэффициентов ад-, djit Ьц и т. д. про­ вести суммирование по всем сосредоточенным грузам или несущим плоскостям.

Для применения метода Бубнова — Галеркина необ­ ходимо иметь дифференциальные уравнения в частных производных и систему координатных функций, удовле­ творяющую граничным условиям. Однако для некоторых летательных аппаратов, например самолета с треуголь­ ным крылом, дифференциальные уравнения упругих ко­ лебаний в частных производных отсутствуют и поэтому воспользоваться методом Бубнова — Галеркина невоз­ можно. Уравнения возмущенного движения в этих слу­ чаях можно получить классическим методом Лагранжа.

Полагаем, что упругие колебания летательного аппа­ рата, например самолета с крылом достаточно большого удлинения, можно представить в виде

где {fi(z), фДг), | Д х)}— система линейно независимых функций;

qi(t) — обобщенные координаты, являющиеся функ­ циями времени.

Указанные соотношения означают, что упругий само­ лет, являющийся распределенной системой, рассматри­ вается как система с конечным числом степеней свободы.

154

Каждой i-й степени свободы соответствует определенное распределение перемещений, которое характеризуется функциями fi(z), фг(2), 1г(х). Трудно дать какие-либо общие рекомендации по выбору числа и вида функций {fi(z), q>i(z), обеспечивающих достаточную точ­ ность решений. Многое здесь зависит от опыта и интуи­ ции исследователя. Чем ближе эти функции к формам собственных колебаний, тем точнее решение. Можно ис­ пользовать и формы колебаний летательного аппарата, определенные экспериментальным путем, однако точ­ ность их определения должна быть достаточной для расчетов.

Рассмотрим метод Лагранжа на примере составления уравнений возмущенного движения упругого самолета со стреловидным крылом. Для простоты изложения бу­ дем пренебрегать конструктивным демпфированием и динамическими характеристиками органа управления.

Составим выражения для кинетической Т и потенци­ альной П энергии системы:

NN

Т— 2 2 2 t=—1 з=—1

N N

Коэффициенты ац и сц в этих формулах имеют тот же смысл и определяются по формулам (3.36), (3.37), полученным с применением метода Бубнова — Галер-

кина.

Система дифференциальных уравнений для обобщен­ ных координат qi{t)

Здесь Qi обобщенные силы, соответствующие г'-й обоб­ щенной координате. Как известно [15], обобщенная сила Qi может быть определена из выражения

1 5 5

в котором бЛг — элементарная работа всех внешних сил на виртуальных перемещениях, вызванных виртуальным приращением bqi i-й обобщенной координаты.

Внешними силами являются аэродинамические силы, действующие на самолет: погонная подъемная сила на крыле Y(z), погонный момент вокруг оси жесткости на

где 6уи 6li, 6q>i — виртуальные перемещения оси жест­ кости крыла, фюзеляжа и углов закручивания крыла, обусловленные виртуальным приращением только одной i-й обобщенной координаты

и подставляя выражения Г, П и Qi в уравнения Лагран­ жа II рода, получим уравнения возмущенного движения в виде

156

Формулы для коэффициентов dih Ьц, da, Ьц совпадают с теми, которые получены по методу Бубнова — Галеркина.

3.3.УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ УПРУГОЙ РАКЕТЫ

Вдальнейшем будем рассматривать возмущенные движения упругой ракеты в плоскости рыскания. По­

При определении аэродинамических сил, действую­ щих на ракету в возмущенном движении, будем исходить из гипотезы стационарности. Ракета является телом пе­ ременного состава, поэтому при составлении уравнений движения используется принцип затвердения. Согласно этому принципу ракету можно рассматривать как тело постоянного состава, если в качестве внешних сил учи­ тывать реактивные силы и силы Кориолиса.

Невозмущенным движением будем считать прямоли­ нейный полет ракеты со скоростью V в поле массовых сил с интенсивностью /. Вектор J направлен против дви­ жения ракеты, а его величина

. Рэ

Эффективная тяга РЭ= Р — Х, где X — сила аэродинами­ ческого сопротивления; т — масса ракеты.

При составлении уравнений возмущенного движения, кроме сил инерции и упругих сил конструкции, будем учитывать следующие силы:

сжимающие силы в поперечных сечениях корпуса

оо

где X ( x ) — погонная сила аэродинамического сопротив­

ления; силы воздействия на корпус от колебаний жидкости

в баках и от движения поворотного двигателя; силы Кориолиса. При вычислении этих сил считаем,

что массовый расход через произвольное поперечное се­

157

чение ракеты равен ц(х) и определяется выработкой топлива из баков ракеты. Тогда погонная сила Кориоли­ са Fk{x), действующая в каждом сечении ракеты,

d2z(x, t) Fk(x) = — 2ц (at) dxdt

реактивные силы: тяга двигателя Р и ее поперечная составляющая, которая возникает при отклонении пово-

Рис. 3.7. Силы, действующие на кор­ пус ракеты в возмущенном движе­ нии

ротного двигателя. Сила Р является следящей, т. е. при упругих деформациях ракеты все время направлена вдоль упругой оси корпуса;

силы конструктивного демпфирования; аэродинамические поперечные силы, действующие на

упругий корпус ракеты Z(x);

возмущающие силы F(x) от действия ветра, от техно­ логических погрешностей в установке двигателя и т. п.

Используя ранее полученные результаты, дифферен­ циальное уравнение корпуса в возмущенном движении (рис. 3.7) можно представить в виде

1 5 8

— 6 (x — хд) FA+ — б (x — хл) Мд — Fвн (*, 0 = 0. (3.44) dx

Здесь т(х) — погонная масса корпуса с учетом полно­ стью затвердевшей жидкости и массы поворотного дви­ гателя; FK, Мд — сосредоточенные силы и моменты, пе­ редаваемые на корпус от поворотного двигателя.

Это дифференциальное уравнение должно быть до­ полнено уравнениями колебаний жидкости в баках, которые характеризуются координатами гр и уравнени­ ем движения поворотного двигателя.

Уравнения колебаний жидкости в баках без учета

159

По сравнению с последним уравнением (1.60) здесь

учтены моменты от сил, обусловленных продольным ус-

dxdt

момент трения на оси dud. Под цд понимается массовый расход через сопло двигателя, /д— длина двигателя.

Запишем теперь в явном виде выражения для сосре­ доточенных силы Fa и момента Мд, передаваемых на корпус от поворотного двигателя. Так как силы и мо­ менты, зависящие от перемещений корпуса уже учтены в уравнении (3.44), то величины СД и Л4Д будут опреде­ ляться из следующих выражений:

F д = гПдОдЬ + Руд + 2 р д/д6,

Мд Jдд /Щд0 д 6 -)- Рд/2д6,

где Ру — тяга двигателей, используемых для управления. Таким образом, система уравнений (3.44) — (3.46) опре­ деляет возмущенное движение упругой ракеты с учетом колебаний жидкости в баках и динамики поворотного двигателя.

Упругие колебания корпуса z(x, t) с учетом следяще­ го характера тяги должны удовлетворять следующим граничным условиям:

Соотношения (3.47), естественно, отличаются от гра­ ничных условий (1.45), сформулированных для упругой балки, к которой в точке х — 1 приложена сила Р посто­ янного направления; функция z(x, t) должна также удо­ влетворять условиям сопряжения (1.18) в местах скач­ ков изгибной жесткости.

160