книги из ГПНТБ / Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления

ренциальных уравнений. Полагаем, что z(x, t) можно представить в виде

В качестве функций примем формы собственных колеба­ ний ракеты без учета колебаний жидкости, динамики по­ воротного двигателя и сжимающих сил. Полагаем, что обобщенным координатам q-\ и qo соответствуют движе­ ния раекты как жесткого тела £_i(x) = l и 1о{х) = х ц.т— х. Такая система координатных функций является полной, каждая из этих функций удовлетворяет граничным усло­ виям (3.47) и условиям сопряжения (1.18).

Подставив (3.48) в уравнения (3.44) — (3.46) и вы­ полнив стандартные преобразования вида

получим систему обыкновенных дифференциальных урав­ нений возмущенного движения упругой ракеты в следу­ ющей форме:

162

В последней формуле со; есть частота собственных коле­ баний жидкости в 1-ом баке.

Уравнения (3.49) соответствуют поперечным колеба­

взаимодействие между различными обобщенными коор­ динатами, обусловленное силами различной физической природы. Так, коэффициенты а«, ац, щь характеризуют

взаимодействие инерционных сил, с, ,•— сил упругости, dij — аэродинамического демпфирования, d*a — конст­ руктивного демпфирования, Ьц — сил аэродинамической жесткости, eij — сил Кориолиса, ga — сил, вызываемых ускорением /.

Уравнения возмущенного движения (3.49) — (3.51) получены при определенных предположениях о характе­

ре взаимодействия между движением ракеты и движени­ ем жидкости в баках. В частности, учитывались только волновые колебания жидкости. Это вносит некоторую погрешность при определении коэффициентов инерцион­ ного взаимодействия ац и особенно коэффициента а00, равного моменту инерции затвердевшей ракеты относи­ тельно центра тяжести. В практических расчетах вели­ чину clqq следует считать равной моменту инерции раке­ ты с учетом движения жидкости относительно стенок баков, т. е. а0о = /. Для цилиндрического бака выражение для J дается в разд. 1.5. Для других форм баков значе­ ния J можно найти в работе [31].

Пренебрегали также диссипативными силами при ко­ лебаниях жидкости. Приближенно эти силы можно учесть, если в уравнении (3.50) добавить слагаемое

d u r \ i, которое и будет характеризовать рассеяние энергии при колебаниях жидкости. Наиболее надежно величины du можно определить экспериментальным путем. С уче­ том сделанного замечания уравнение (3.50) можно пред­ ставить в виде

N

2 ( a 4 d i + ё ц Я ] ) + а Щ 1 + d u i \ i + g u f ] i = 0. (3.54)

i= - 1

Если не учитывать колебания жидкости в баках, то урав­ нения возмущенного движения упругой ракеты будут иметь вид

N

2 \.а ^ Я з + (dij + dij -+- e i j ) < j j + ( b i j + C i j + g u ) < J j ] +

j=—i

x

— (^ss —{—g"ss) 8 = — Cjg ~^'UT- .

r

При выводе уравнений возмущенного движения в качестве точки приведения использовался центр тяжести тела, что выразилось в том, что функция go(*) бралась

164

в виде !о(*) =лгц.т— х. Вообще говоря, в качестве точки приведения можно выбрать любую другую точку. В не­ которых работах [31] в качестве такой точки использует­ ся метацентр системы хмц и функция |о(*) задается в виде so(x) = х Мц — х. Коэффициенты уравнений возму­ щенного движения по-прежнему определяются формула­ ми (3.52), (3.53). Более того, если в качестве точки при­ ведения взять матацентр, то изменяются только коэффи­ циенты, содержащие индекс «О». Так, например, а0о —

Рис. 3.8. Тело с полостью, частично запол­ ненной жидкостью, в поле массовых сил

момент инерции твердого тела с жидкостью относитель­ но метацентра равен

Выясним физический смысл метацентра системы. Пусть твердое тело, находящееся в поле массовых сил интенсивностью /, может вращаться вокруг оси, прохо­ дящей через точку х0 (рис. 3.8). Будем исследовать ус­ тойчивость вертикального положения тела. Отклонение тела от вертикального положения на малый угол ф вызы­ вает появление восстанавливающего момента, равного jm(xц.т — Хо)ф. При хц.т>*о вертикальное положение тела устойчиво, при хц.т<Яо неустойчиво. Если хц.т= -% то тело находится в положении безразличного равно­ весия.

Пусть теперь тело содержит полости, частично запол­ ненные жидкостью, подвижность которой моделируется

1 6 5

сосредоточенными массами mi, закрепленными на пру­ жинах. При отклонении тела на угол г|5 от вертикально­ го положения массы сместятся от оси тела на величи­ ну jmity/ki. Это смещение вызывает появление дестаби­ лизирующего момента.

Суммарный восстанавливающий момент относитель­ но оси, проходящей через точку Хо,

Метацентр системы в этом случае совпадает с положени­ ем оси, относительно которой тело с жидкостью находит­ ся в положении безразличного равновесия. Будем иметь

. г Jtni

Если учитывать только первый тон колебаний жидкости, то, как было показано в гл. I,

ЗТ 4

mdi « — рiRu

где Ri — радиус свободной поверхности /-го бака, р; — плотность жидкости.

Окончательно получаем

Уравнения возмущенного движения можно несколько упростить, если использовать в качестве точки приведе­ ния метацентр системы, и ввести некоторые преобразова­

166

ния для координат тр, характеризующих волновые коле­ бания жидкости в баках.

кости от плоскости, перпендикулярной оси бака. Будем теперь отсчитывать волновые колебания жидкости от плоскости, перпендикулярной направлению вектора / (рис. 3.9). Это равносильно тому, что перемещения под­ вижной массы mi будут отсчитываться от прямой, парал-

Рис. 3.9. Системы отсчета волновых колебаний в баке с жидко­ стью

лельной вектору / и проходящей через точку подвеса маятника. Новые координаты связаны с гр следующим соотношением:

(3.56)

В качестве обоснования выбора новой системы отсче­ та можно привести следующие соображения. Пусть ра­ кета совершает медленное поперечное движение. Поме­ стим на свободной поверхности жидкости плавающую крышку, которая препятствует возникновению волновых колебаний. При медленных движениях ракеты крышка в каждый момент будет находиться в положении, перпен­ дикулярном вектору /. Естественно, отклонения свобод­ ной поверхности, возникающие при волновых колебани­ ях, отсчитывать от плоскости, совпадающей в каждый

167

момент времени с плавающей крышкой. Таким образом удается разделить движения жидкости, связанные с из­ менением ориентации вектора / относительно оси бака и волновыми колебаниями жидкости, возникающими при возмущенном движении ракеты.

Используя значение коэффициента gij, соотношение (3.56) можно переписать в виде

Подставив выражение (3.57) в уравнение (3.49), получим

Заменим в уравнении (3.54) величину гр соотношением

(3.57)):

+ dari + gun = 0.

Из этого уравнения можно найти значение г; и подста­ вить его в уравнения (3.58). Тогда уравнения возмущен­ ного движения упругой ракеты приобретают вид

N

168

N

2Jr ebj^jJrg^iclj)-\-an^-\-{dbbJrSbb) 8 -\-

i=-1

Здесь дополнительно к (3.52), (3.53) введены следующие обозначения:

Таким образом, уравнения возмущенного движения упругой ракеты представлены в двух различных формах. Первая, когда в качестве точки приведения использует­ ся центр тяжести системы и перемещения тр подвижных масс жидкости т г отсчитываются от оси ракеты, пред­

169

сти отсчитываются от прямой, параллельной вектору /, представлена системой дифференциальных уравнений

(3.59) — (3.61).

Эти системы уравнений равноценны, однако при ана­ лизе различных частных случаев каждая из них может давать некоторые преимущества.

Представим теперь уравнения возмущенного движе­ ния упругой ракеты в матричной форме. Воспользуемся

q{t) = Я N

Из коэффициентов уравнений образуем матрицы:

А— коэффициентов инерции;

С— коэффициентов жесткости конструкции;

G— коэффициентов ga, gu и т. д., зависящих от реактив­ ных и инерционных сил, обусловленных продоль­ ным ускорением;

В— коэффициентов аэродинамической жесткости;

Д_ — коэффициентов аэродинамического демпфирования;

ракеты могут быть представлены в следующей матрич­ ной форме:

170