книги из ГПНТБ / Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления
.pdfуправления упругого самолета может падать (тог8< 1 ), при некоторой скорости полета величина тъг может
изменить знак, что соответствует реверсу продольного управления.
Коэффициенты передаточной функции !Ky.c (s) k, а, h*о,(о*о могут быть вычислены по формулам (4.59), если в них использовать коэффициенты уравнений (4.64). Следует отметить, что в определенном диапазоне час тот, где динамические эффекты упругих колебаний конст-
т
Рис. 4.17. Влияние упругости конструкции на частотные характери стики самолета в области низких частот
рукции сказываются слабо, частотные характеристики WVcG'co), определенные из полных уравнений возмущен ного движения упругого самолета (3.42) и из уравнений (4.64), близки друг к другу, но отличаются от частотных характеристик жесткого самолета. Пример расчета для одного гипотетического самолета приведен на рис. 4.17.
Перейдем теперь к оценке динамического взаимодей ствия между движением самолета относительно центра тя жести и упругими колебаниями конструкции. Передаточ ная функция упругого самолета lFy.c (s) обладает теми же основными особенностями, с которыми мы встрети лись при анализе динамических характеристик упругих ракет. Но для самолета спектр упругих колебаний имеет ряд особенностей, поскольку в него входят не только собственные частоты колебаний фюзеляжа, но и собст венные частоты упругих колебаний крыла. Кроме того, на динамические характеристики самолета большое вли
221
яние оказывают аэродинамические силы, величины кото рых зависят от режимов полета.
Для качественной оценки характера взаимодействия движения самолета вокруг центра тяжести и изгибных колебаний крыла рассмотрим следующую модельную задачу на примере стреловидного самолета. Фюзеляж самолета считаем абсолютно жестким, а из деформаций стреловидного крыла будем учитывать только деформа ции изгиба. Считаем, что управление самолетом осуще ствляется с помощью подвижного стабилизатора.
Обобщенные координаты для рассматриваемой зада чи выберем следующие: q~\ — вертикальное перемеще ние самолета как жесткого целого; qo — поворот самоле та как жесткого целого вокруг центра тяжести; q\ — изгибные колебания крыла при неподвижном фюзеляже по форме /1 (z ).
Задача о собственных колебаниях такой системы в пустоте рассмотрена во второй главе. Система коорди натных функций рассматриваемой задачи имеет следу ющий вид:
/_!(г)=1; |
<p_1(z)= 0; $_iG*)=l; |
|
/0 (2 ) — Яц.т — Z sin х; |
фо(2) = COS х; |
£о(*)'= Хц.т— х\ |
h(z) = fi(z); |
<pi(z)=0; |
gi(*) = 0. |
Используя результаты, изложенные в третьей главе, уравнения возмущенного движения можно представить в виде
^-10^0“Ь^-10^0+ а-11^1“Ь
~\~d-nq1-\-b_nq1= —6- 158; |
|
||
do-1Я-1 aoo#o-f- dQ0q0 |
^00^0 |
aoiЧ\+ |
|
"Ь d01qx“г ^oi<7i= |
— ЬъьЪ, |
^ |
^ |
а 1- г Я-\ + ^ i - i ^ - i + a io<7o + d 1Qq0+
+ ^io^o+ an<7i + ^n?i + (^n + ^11) <7i= 0.
Входной сигнал системы стабилизации
Ы 0 = <7о(0-
22 2
Передаточная функция упругого самолета на основания (4.65) может быть представлена в виде
|
k (s + a) |
|
s (s2 |
2/i*oS -(- (o2q) |
|
(s2 2/ioiS + |
cooi) |
(4.66) |
X (s2 -|- 2/г*iS -f- to21) |
Первый множитель есть передаточная функция, обус ловленная степенями свободы q~\ и до с учетом взаимо действия с упругими колебаниями крыла. Множитель s в знаменателе (4.66) объясняется тем, что рассматривае мая передаточная функция есть q0(s)/6(s), тогда как пе редаточная функция (4.60) представляет coz(s)/6 (s). Вто рой множитель (4.66) представляет отношение много членов второго порядка, обусловленных изгибными колебаниями крыла.
С точки зрения требований к фазо-частотным харак теристикам системы стабилизации большое значение имеет взаимное расположение нулей и полюсов изгибных колебаний крыла (сош и o*i) Для его оценки фор мулировку задачи можно упростить.
Будем рассматривать взаимодействие только степе ней свободы qo и q\ и пренебрежем демпфирующими си лами. С учетом этих упрощений уравнения возмущенно го движения приобретают вид
^oo^o+ ^oo^o+ ^oi^i + ^oi^i— ~Ьоь^\
(4.67)
0 1 0 ^0 + +o‘7o + aii<7i + + n + bn) # 1 = 0.
Коэффициенты связи между различными степенями свободы можно представить как явные функции конст руктивных параметров и режимов полета
bji = bjiV2-
о
223
t
bio — — p cos % j\ Cy bfi (z) dz\
0
l
aQi = aio = 2 j" m (z) fi (z) (хц.т— z sin % — о cos %) dz.
о
Передаточная функция упругого самолета, полученная на основе уравнений (4.67), имеет вид
W y(s) = |
k (s12-[-<i>oi) |
(4.68) |
|
(s2-j- M*o) (S2 —(- №*j) |
|||
где |
|
||
|
|
||
^08 |
1 |
|
|
|
OJ01 = |
|
|
aoo |
41 |
|
Полюса передаточной функции co*0 и co*i являются кор нями следующего уравнения:
/Д й )) = ( — (О2 ------ — ) ( — (D2 + 0)01) —
'#00 ' •
------------- (— йоЮ)2 + boi) (— #юь)2 + bio) = 0.
# 11# оо
Заметим, что нуль передаточной функции o)oi совпадает с парциальной частотой изгибных колебаний крыла в потоке воздуха. Поскольку Ьц = У2Бц>0, то с ростом скорости полета значение o)0i возрастает. С ростом ско рости обычно возрастают так же и величины со*о и ю*ь но практически всегда выполняется условие со*о<&>*1.
Рассмотрим, как с ростом скорости изменяется вза имное расположение величин со*о, со*ь ю о ь Для этого подставим в F (со) значение co = cooiПолучим
|
1 |
2 |
2 |
F ( w i ) = ----------(— #otcooi + М |
(— Gio(0oi + Ью) ■ |
||
|
# 11# 00 |
|
|
Легко показать, |
|
|
|
если F(cooi)<0, |
то co*o<(Ooi<C(i)*i; |
|
|
если /7(«oi)> 0, |
то |
м *о<ш*1< > о 1- |
|
224
В том случае, когда центр тяжести самолета распо ложен вблизи начала координат, т. е. точки пересечения балок, схематизирующих крыло и фюзеляж, то при до-
Рис. 4.18. Распределение ну лей и полюсов на комплекс ной плоскости S, корневые траектории для гипотетиче ского упругого стреловид ного самолета с демпфером
тангажа
статочно больших углах стреловидности % коэффициенты G o i = a i o < 0 . Коэффициенты & ю < 0 и & ш < 0 , но по абсолют ной величине |Ью| |boi1•
Выражение / 7(cooi) при указанных условиях можно представить в следующем виде:
225
i
^01
F(co0i) =
йцй00
Сомножитель (— oooi + boi/aoi) обычно всегда меньше ну
ля, следовательно, F (ыoi)<0 и co*o<o)oi<®*i, если
Характерная скорость V*, при которой oooi2 = ^ю/аю, определяется из выражения
Си |
О-юО-и |
а и |
bwciu — buCLio |
При скоростях полета V<V* полюсы передаточной функ ции разделены нулем, т. е. co*o<cooi<co*i, а при V>V*
(|)*0<(0*1<(001.
Приведенные качественные соображения подтвержда ются непосредственными расчетами коэффициентов пере даточной функции (4.66) На рис. 4.18 приведено распре деление нулей и полюсов передаточной функции при различных числах М полета гипотетического стреловид ного самолета.
Таким образом, в зависимости от режима полета са молет как объект регулирования может представлять структурно устойчивую систему при V<V* и структур но неустойчивую систему при У>У*.
Легко видеть, что имеется вполне определенная ана логия между динамическими характеристиками ракеты с жидким наполнителем и характеристиками стреловид ного самолета, определенными с учетом изгибных коле баний крыла.
4.7. УСТОЙЧИВОСТЬ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ УПРУГОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
Настоящая книга посвящена в основном исследова нию характеристик упругого летательного аппарата как объекта регулирования и не преследует цель детального изучения задачи устойчивости возмущенного движения
2 2 6
замкнутой системы. Но задача обеспечения устойчивости движения с помощью автоматической системы стабили зации диктует определенные требования к свойствам передаточной функции упругого летательного аппарата и к точности определения параметров этих функций. Поэтому авторы считают необходимым изложить основ ные идеи решения этих задач.
Методы исследования устойчивости замкнутой систе мы упругий летательный аппарат — система стабили зации чрезвычайно многообразны. Здесь будем исполь зовать методы корневого годографа и частотных харак
теристик [6, |
12, 42, 44, 45]. |
замкнутой |
системы |
|
Характеристическое уравнение |
||||
летательный |
аппарат — автомат |
стабилизации |
можно |
|
представить в виде |
|
|
|
|
|
1 + W a c ( s ) [ - № 0 ( s ) ] = |
0. |
(4.69) |
|
Корни Si этого уравнения определяют |
характер возму |
щенного движения аппарата.
Если все ReSj<0, то возмущенное движение являет ся асимптотически устойчивым. Если хотя бы для одного корня имеет место Re Si>0, то возмущенное движение является неустойчивым. Если Re Si= 0, то система нахо дится на границе устойчивости.
В дальнейшем (для простоты) будем рассматривать
только одноконтурные системы |
стабилизации. Предста |
вим W'a c ( s ) в виде |
|
^Ас(5) = - ^ - |
= ^АсФ(5), |
где kAc, Ф («) — коэффициент усиления и передаточная функция автомата стабилизации.
Например, передаточная функция автомата угловой стабилизации ракеты может быть приближенно пред ставлена в виде
1 + |
Tas |
WAG(s) = k^ |
(4.70) |
Р s2 + |
EiS -f- 1 ’ |
где
227
Используя общее выражение передаточной функции объекта регулирования (4.23), характеристическое урав нение (4.69) можно представить в виде
1 ~Ь &АсФ(•$) [ Wy.T(s) И^у.у (S) Ч^у.ж (s) \Fyfi(s) ] = 0.
Основные положения метода корневого годографа можно пояснить следующим образом. Представим пере даточную функцию разомкнутой цепи объект регули рования — автомат стабилизации в виде
|
т |
|
|
II |
(S-Soi) |
Ф (« ) [ - ^ о ( « ) ] = - — |
— |
---------------- • (4-71) |
а п |
п |
|
|
I f |
( s - s . i ) |
|
i= l |
5*г и Soi являются полюсами и нулями передаточной функции разомкнутой цепи. Коэффициенты при старших членах полиномов числителя (порядка т) и знаменателя (порядка п) есть Ът и ап. Порядок знаменателя в физи чески реализуемых системах больше порядка числителя, т. е. п>т . Если — Ьт/ап>0, то корневой годограф назы вается нечетным, а при — Ьт/ап< 0 — четным.
Корни характеристического уравнения замкнутой системы зависят от величины коэффициента kAc- При изменении коэффициента kAc в пределах О^&ас^ 00 они образуют некоторые траектории (годографы) на ком плексной плоскости 5, причем корневые траектории начи наются в полюсах s*i и оканчиваются в нулях Soi переда точной функции разомкнутой цепи либо уходят в беско нечность.
Рассмотрим произвольную точку комплексной плос кости s и проведем радиусы-векторы из нулей и полюсов передаточной функции разомкнутой цепи в эту точку. Углы Pi и а,{ этих векторов с действительной осью будем называть фазовыми углами. Чтобы точка s принадлежа ла корневой траектории, необходимо и достаточно выпол нение следующих условий:2
2 Рг — 2 ai=:=— л — |
k = 1,2,... |
(ш) (п)
2 2 8
для нечетного корневого годографа и
2 |
P i— 2 |
«< = ± 2 я £ , |
Л = 0,1,2... |
( т ) |
(п) |
|
|
для четного корневого годографа.
Угол выхода корневой траектории из произвольного полюса, например s*b (рис. 4 19) для нечетного корнево го годографа [44, 45]
Рис. 4.19. Корневые траектории замкнутой системы:
s%i, som ~~ полюсы и нули передаточной функции; a (3/ — фазовые углы по
люса и нуля; а — угол наклона асимптомы
а1= — ^ |
at- | - ^ + я + 2nk\ £ = 1 ,2 , ... ; (4.72) |
i=2 |
/= 1 |
2 2 9
для четного корневого годографа
пт
(*!==— 2 “ * + |
- 2яА’ ^ = |
2>--- |
i=2 1=1
В этих формулах под а, и [3* следует понимать фазо вые углы векторов, проведенных из всех полюсов и нулей передаточной функции разомкнутой цепи в первый полюс.
Аналогичные соотношения имеют место для углов входа корневой траектории в нуль передаточной функции
пт
(3i = |
2 |
— 2 |
Рг — зт zt 2ttk, |
k = 1,2, ... |
|
1 |
г = 2 |
|
|
|
n |
m |
|
|
Р1“ |
2 |
— 2 |
Р* ™ 2л^, k = |
0, 1,2, ... |
|
г = 1 |
г = 2 |
|
|
При ^ас-^-оо(п — т ) корневых траекторий уходят в бес конечность. Асимптоты этих траекторий расположены под углом
± я 2я&
----------+ --------------, k — 1,2, ... |
|
п — т |
п — т |
2я |
2я& |
п — т |
k = 0, 1, 2, ... |
п — т |
для нечетного и четного годографов соответственно. Нули и полюсы передаточной функции разомкнутой
цепи могут быть как действительными, так и комплексно сопряженными. Корневые траектории на действительной оси для нечетного годографа располагаются на тех уча стках, где справа находится нечетное количество нулей и полюсов (см. рис. 4.19). При слиянии двух корней они становятся комплексно-сопряженными, и корневая тра ектория пересекает действительную ось под прямым углом. Для четного корневого годографа траектории рас положены на тех участках действительной оси, где спра ва либо расположено четное количество нулей и полю сов, либо они вообще отсутствуют.
230