книги из ГПНТБ / Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления

Характерно, что все нули передаточной функции T^y(s), за исключением s ——Bi*/B0*, совпадают с нулями функ­ ции iFy(s).

Чтобы определить передаточную функцию Wy* (s) = = p(s)/6(s), достаточно вспомнить, что согласно (4.19)

8(s) _______________ Css___________

M s) assS2Jrtn-ss-{- пц-{- Css

и,следовательно,

Сформулированные соображения о структуре переда­ точных функций UPy(s) можно использовать для установ­ ления структуры передаточных функций типа lFy.c (s) и и ЭД^Л.у(5)

4.3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ УПРУГОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

Для решения задач устойчивости и оценки качества переходных процессов упругого летательного аппарата широко используют их частотные характеристики как объектов автоматического регулирования.

Пусть задано движение органа управления аппарата, имеющее гармонический характер. Например,

6ft(t) = 60cos соt.

Через некоторое время (после того, как затухнут собст­ венные колебания) конструкция будет совершать вы­ нужденные колебания с частотой со. Колебания конст­ рукции вызывают на входе системы стабилизации сигнал р(^), который также является гармоническим с часто­ той о), но сдвинутым по фазе относительно сигнала б* (t) . Поэтому

Р (t) = ро cos (со/ -ф 0) .

При фиксированной величине 6о амплитуда колеба­ ний Ро и сдвиг фаз 0 являются функциями частоты со. Функцию

191

ли = >

'бо

называют амплитудно-частотной, а 0(со)— фазочастот­ ной характеристикой упругого летательного аппарата. Функции А (со) и 0 (со) определяют амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ), или просто частот­ ную характеристику.

Если известна передаточная функция летательного аппарата U^o(s), то, подставляя s = j со, получим выраже­ ние амплитудно-фазовой частотной характеристики

W0(jw) — A (w)ej0(“).

АФЧХ летательного аппарата может быть определе­ на непосредственно из уравнений возмущенного движе­ ния, минуя вычисления передаточной функции W'y(s). Кроме того, как будет показано ниже, АФЧХ могут быть получены непосредственно из дифференциальных урав­ нений возмущенного движения в частных производных. Частотные характеристики летательного аппарата могут быть определены экспериментально при летных испыта­ ниях или на специальной динамически подобной модели. Сравнение АФЧХ, полученных теоретически и экспери­ ментально, позволяет уточнить расчетную модель лета­ тельного аппарата как объекта регулирования.

Применяют несколько способов графического пред­ ставления частотных характеристик [1]. Один из спосо­ бов заключается в построении функции Л (со) и 0 (со) в зависимости от со. Согласно другому способу на графике строят логарифмические частотные характеристики. По оси ординат откладывают величины 20 IgA (со) и 0 (со), а по абсцисс величину со в логарифмическом масштабе. В ряде случаев частотные характеристики представ­

Передаточную функцию упругого летательного аппа­ рата (4.23) представим в виде

Wy(s)

s2 2h*iS -)- со2.

*1

192

и р а с с м о т р и м и з м е н е н и е со в у з к о м д и а п а з о н е ч а с т о т

Выделив действительную и мнимую части, получим

Подставив величину е в (4.34), получим уравнение го­ дографа частотной характеристики в следующей форме:

а2 + ф2

16/г2. со2.'

Таким образом, при изменении со вблизи значений частоты слабодемпфированного полюса годограф частот­ ной характеристики представляет окружность радиусом

193

У а2 + г|;2

с центром в точке с координатами

Рис. 4.4. Амплитудно-фазовые частот­ ные характеристики ракеты

«Сатурн-5» [11]

Значение параметра ы = со*г1/ А 1 —в для разных точек окружности можно вычислить, используя формулу

(4.35).

На рис. 4.4 в качестве примера показана частотная характеристика для ракеты «Сатурн-5» [11]. Значения частоты приведены в герцах. Свойства АФЧХ подробно рассмотрены в работах [24, 31].

Г9 4

Изложенная методика определения АФЧХ упругого летательного аппарата базируется на системе уравнений возмущенного движения. Эта система является прибли­ женной, так как в расчетах всегда приходится ограни­ читься конечным числом координатных функций. Вопрос о том, сколько и каких координатных функций необхо­ димо учитывать, чтобы получить решение с достаточной степенью точности, в большинстве случаев решается ин­ туитивно, на основании опыта решения подобных задач, сравнения результатов расчета и эксперимента. Поэтому большой интерес представляют методы, которые позво-

Рис. 4.5. Схема для расчета ча­

ляют получать частотные характеристики непосредствен­ но из решения дифференциальных уравнений в частных производных. В этом смысле упомянутые методы обеспе­ чивают точное решение рассматриваемой математиче­ ской задачи.

Непосредственное решение дифференциальных урав­ нений в частных производных может быть получено ме­ тодом прогонки, который во второй главе использовался для решения задачи о собственных колебаниях упругих летательных аппаратов.

В качестве примера рассмотрим определение частот­ ных характеристик летательного аппарата, упругие свойства которого схематизируются упругой балкой (рис. 4.5). В точке с координатой х = 1 находится управ­ ляющий орган, отклонение которого на угол 6 создает управляющую силу Ру8. В точке x = h к стержню упруго подвешена сосредоточенная масса ти моделирующая колебания жидкости в баке. Силами демпфирования для простоты выкладок пренебрегаем. Дифференциальные уравнения и граничные условия задачи могут быть пред­ ставлены в следующем виде:

195

Рассмотрим вынужденные колебания упругого аппарата, если угол б изменяется по закону

б = б 0е/“ *.

Реакцию конструкции на входной сигнал можно предста­ вить в виде

£ (* , 0 = £ {х) е/и (, т]1 ( 0 — тц е /“ *.

196

Уравнения и граничные условия (4.36) преобразуются к выражениям, аналогичным (2.46), за исключением гра­ ничного условия

Общий вид функции g(x), характеризующий деформации конструкции при' вынужденных колебаниях, согласно (2.47) — (2.53) представим в виде

I (х) = С щ и ( х ) + С 2« 1 2 ( х ) .

Удовлетворив граничным условиям при х = 1, получим следующие уравнения для определения постоянных С\ и С2:

C1U31(/)-(- CzUiz(l) = 0;

Как следует из метода решения, величины |(х), гц, так же как «з1(/ ), и41 (/) и т. д., являются функциями частоты вынужденных колебаний, поэтому и определитель А (со) есть функция со. Равенство А(со)=0 определяет частоты собственных колебаний системы. Частотная характери­ стика летательного аппарата будет определяться из вы­ ражения

д%(х)

(4.37)

dx Xя.У

Поскольку демпфирование конструкции не учитывалось, то сдвиг фаз может быть равным нулю или я, что опре­ деляется знаком выражения (4.37).

Так как

197

т о

функции W'y(s), расположенным на мнимой оси плоско­ сти 5. Покажем, что задачу о нахождении нулей пере­ даточной функции U?y(s), расположенных на мнимой оси, можно сформулировать как задачу о нахождении собст­ венных частот некоторой эквивалентной системы.

Рассмотрим краевую задачу, определяемую следую­ щим дифференциальным уравнением и граничными ус­

dl(x)

--------- —■0 цри x — Хду. dx

Остальные граничные условия в точке крепления упруго подвешенных масс имеют вид, аналогичный (4.36).

Общее решение этой задачи можно искать в виде

|(х) = СцМц (х) -р C2«i2(x).

Постоянные С\ и С2 определяются из следующей системы однородных уравнений:

C\U%i{X^.y) -р С2Ц22(Хд.у) — 0;

Ci«31 (/) -р С2«зг(/) = 0.

198

Нетривиальные решения возможны только при таких и, когда

что совпадает с условием А0(со)=0.

Таким образом, нули передаточной функции W'y(s), расположенные на мнимой оси, совпадают с собственны­ ми частотами краевой задачи (4.38).

Используя метод прогонки, можно определять также нули передаточной функции, расположенные на действи­ тельной оси комплексной плоскости, если в уравнении (4.38) полагать величину ю2<0.

4.4. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ УПРУГОЙ РАКЕТЫ С УЧЕТОМ КОЛЕБАНИЙ ЖИДКОСТИ И ИХ СВОЙСТВА

Общий вид передаточных функций упругого летатель­ ного аппарата представлен соотношениями (4.23), (4.32), (4.33). Распределение нулей и полюсов передаточной функции на комплексной плоскости 5 полностью опреде­ ляет свойства упругого летательного аппарата как объек­ та регулирования. Разумеется, в общем случае ввиду сложности задачи, значения нулей и полюсов и их зави­ симость от конструктивных параметров летательного аппарата могут быть определены только с помощью вы­ числительных машин. Однако некоторые качественные зависимости параметров передаточных функций могут быть получены аналитически для упрощенной постанов­ ки задачи. Эти упрощения имеют следующий характер: во-первых, из всего многообразия степеней свободы, ха­ рактеризующих возмущенное движение в целом, выбира­ ются две-три степени свободы , определяющие тот или иной вид возмущенного движения; во-вторых, в уравне­ ниях движения такой упрощенной системы опускаются второстепенные члены. Здесь приводятся упрощенные пе­ редаточные функции упругого летательного аппарата, которые позволяют более конкретно представить зависи­ мость нулей и полюсов от конструктивных параметров.

Вначале рассмотрим передаточную функцию ракеты как твердого тела. Уравнения возмущенного движения, если пренебречь инерционными и демпфирующими со-

199

с т а в л я ю щ и м и у п р а в л я ю щ и х о р г а н о в , и м е ю т в и д

0-1—iZ + d-i-iz -(- (d-io -f- е_ю) ф +

Ру(О = Ф, следовательно, передаточная функция

Если пренебречь движением центра тяжести, то из вто­ рого уравнения (4.39) получим

______ §06____________

Wy.T ( s )

OooS2 + {doo + Cqo) s + doo

Коэффициенты уравнений (4.39) имеют следующий физи­ ческий смысл: a_i_i = m — масса ракеты; a00 = J — мо­ мент инерции относительно оси Oz, проходящей через центр тяжести:

где Хд — координата точки приложения управляющей силы. Передаточная функция теперь может быть пред­ ставлена в виде

Для динамически неустойчивого аппарата со*т2<0, а для устойчивого о)*т2>0; обычно величина /г*т> 0. Рас­ пределение полюсов передаточной функции (4.40) и со-

200