книги из ГПНТБ / Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления

где £ i*(x )— форма собственных колебаний свободной балки постоянного поперечного сечения, а постоянные ко­ эффициенты

о

о

После определения функции £i„ легко вычислить частоту и форму собственных колебаний:

<Й1п — •~ , i \ \ п ( х ) — COln^m ( х ) .

Sin ( / )

При определении форм собственных колебаний высших тонов следует проводить ортогонализацию каждого при­ ближения ко всем низшим гармоникам. Для расчета вто­ рого тона колебаний выражение (2.20) приобретает сле­ дующий вид:

^ 2и = Н (^ 2п —l ) + А-2п {Х — -£ц.т) + В2п - )- Czn^i (х) .

Постоянные А2п и В2п определяются по формулам (2.22), а для С2п имеем

J т (х)Н (l2n-i)li{x)dx

о

о

81

В дальнейшем процесс построения решения аналогичен описанному. Формы собственных поперечных колебаний свободной балки представлены на рис. 2.3.

Метод последовательных приближений может быть применен и для расчета частот и форм собственных коле­ баний самолета. Алгоритм решения данной задачи можно построить, основываясь на идеях и приемах, примененных при расчете отдельных частей самолета: крутильных и поперечных колебаний консольной балки (крыла) и попе-

£(Х)

Рис. 2.3. Формы изгибных колебаний первого и второго тонов свободной балки постоянного сече­ ния

речных колебаний свободной балки (фюзеляжа). Диффе­ ренциальные уравнения симметричных колебаний и гра­ ничные условия задачи задаются соотношениями (2.8) — (2.10). Введем следующие обозначения для выражений, получающихся при интегрировании дифференциальных уравнений:

82

Используя приведенные результаты, процесс последова­ тельных приближений для определения первого тона форм и частот собственных колебаний самолета можно построить следующим образом:

Постоянные коэффициенты A In и Вln находятся из усло­ вия ортогональности формы упругих колебаний к верти­ кальному перемещению и повороту самолета как жестко­ го тела. Соответствующая система уравнений имеет вид

-h

к_

+ j m.i[t( x ) l i n { x > 0 ) x d x = 0.

о

83

После подстановки выражений функций /щ , cpin,

£in(*>0), |i„ ( a:<0) из (2.23) эту систему уравнений можно разрешить относительно неизвестных А\п и В\п, определив тем самым форму собственных колебаний кры­

Следует особо подчеркнуть, что собственные колебания нулевого приближения должны быть самоуравновешены, ибо только в этом случае будут выполняться силовые гра­ ничные условия в местах стыка балок. Нулевое прибли­ жение можно построить в следующей форме:

при х — 0,

а в остальном они произвольны. Постоянные коэффици­ енты А ю и Вю находятся из соотношений типа (2.24).

84

При вычислении высших форм колебаний, помимо ус­ ловий ортогональности с пулевыми формами колебаний, необходимо в каждом приближении выполнять условие ортогональности с формами колебаний низших тонов.

Метод последовательных приближений указанным способом может быть распространен и на более сложные упругие конструкции, которые представляют собой со­ единения нескольких перекрещивающихся балок.

2.3.ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

ОСОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ

Впервой главе было показано, что уравнения упругих колебаний летательного аппарата могут быть получены из вариационного принципа Гамильтона, из которого сле­ дует также ряд граничных условий, называемых естест­ венными граничными условиями. Вариационные принци­ пы широко используют при создании различных прибли­ женных методов определения частот и форм собственных упругих колебаний летательных аппаратов. Ниже изло­ жены основные теоретические соображения, на которых основаны указанные методы, и приведены примеры при­ менения этих методов.

При рассмотрении собственных колебаний упругой

конструкции, например самолета, перемещение крыльев и фюзеляжа можно представить в виде

у (z, t) = f (z) cos со/; cp(z, t) = ф (z)cos со/;

l(x, t ) = l(x)cos at.

При таком представлении выражения кинетической и по­ тенциальной энергии системы будут следующими:

Т — co2f sin2co^; n = IIcos2co/

Величины Т и П не зависят от времени. Поскольку мо­ менты времени /0 и t\ в интеграле действия произволь­ ные, то их можно принять равными /) = 0, ^1= 2я/а. Тогда величина интеграла действия

85

В дальнейшем вместо величины У будем рассматри­ вать функционал

Ф = II — (О2Т,

зависящий от функций }{z), ф(г), Цх). Функции f(z), ф(г), £(л:) при истинных движениях системы обеспечива­ ют экстремальное значение функционала Ф.

Для определения функций f(z), ф(е), £(%) широко ис­ пользуется метод Ритца, сущность которого заключается

являются формами собственных колебаний упругого са­ молета, а представляют систему линейно независимых ко­ ординатных функций. В частности, некоторые из функ­ ций fi(z), фДг), gt(x) могут быть тождественно равны нулю.

Система координатных функций {fi{z), цч(г), |;(х)} должна обладать свойством полноты, чтобы рядами вида (2.25) можно было аппроксимировать произвольные функции, описывающие деформации изгиба фюзеляжа и деформации изгиба и кручения крыла.

Функции fi (г), фг(г), |Дх) должны удовлетворять граничным условиям задачи. Однако, если требование удовлетворения геометрическим граничным условиям не­ прерывности деформаций в месте стыка крыльевой и фю­ зеляжной балок является обязательным, то силовым естественным граничным условиям, эти функции могут не удовлетворять.

После того, как функции fi(z), фДг), £Дх) выбраны, потенциальную и кинетическую энергию системы можно представить как квадратичные формы относительно не­ известных коэффициентов уь

86

Легко видеть, что эти условия эквивалентны бесконечной системе однородных линейных алгебраических уравнений относительно \ч> / = е уравнение которой имеет вид

2 {сik — a2aik)yk = 0 (г = — 1, 0, 1, 2,...). (2.27)

f c = - i

Систему уравнений (2.27) ■удобно представить в матрич­ ной форме

и инерции, элементами которых являются коэффициенты

Cili ИO-ih-

8 7

Величины cof, при которых детерминант (2.30), обращает­ ся в нуль, являются собственными значениями (частота­ ми) колебаний рассматриваемой системы. Каждому соб­ ственному значению соответствует собственный вектор \i:

который удовлетворяет системе однородных уравнений

Форма собственных колебаний, соответствующая собст­ венной частоте ю,, характеризуется совокупностью трех функций {КДг), Ri(z), Qi{x)}, равных

СО

При расчетах в рядах (2.25) приходится ограничи­ ваться конечным числом членов (/ = Ч-2). В этом случае быстрота сходимости решения и, следовательно, точность получаемых результатов зависят от конкретного выбора координатных' функций. При прочих равных условиях следует отдавать предпочтение системе координатных функций, удовлетворяющих большему числу граничных условий как геометрических, так и естественных.

Полученные результаты допускают простую механиче­ скую интерпретацию. Действительно, предположим, что перемещения упругой системы можно аппроксимировать следующим образом.:

88

В рассматриваемом случае задача сводится к изуче­ нию собственных колебаний в механической системе с N + 2 степенями свободы. Уравнения движения такой си­ стемы можно получить с помощью уравнений Лагранжа второго рода:

Выражения для кинетической и потенциальной энергии через обобщенные координаты можно представить в виде

мулах (2.26).

Уравнение движения системы в матричной форме

Aq + Cq = О,

где q — вектор-столбец вида

<7-1

<7о

Я=-~ Ях

При изучении колебаний с частотой со

q = Y cos соt.

Для нахождения со и у справедливы формулы (2.28) — (2.33), которые использовались в вариационном методе.

89

Естественно возникнет вопрос, зачем использовать ва­ риационный метод, если тот же самый результат можно получить, решая задачу о колебании механической систе­ мы с // + 2 степенями свободы. Однако не следует забы­ вать, что вариационный метод дает нам не только алго­ ритм решения соответствующей задачи (метод Ритца), но и позволяет установить сходимость приближенного ре­ шения к истинному решению для распределенных систем при Лг->-оо. Кроме того, вариационный метод позволяет сформулировать требования к системе координатных функций {fi(z), <Pi(z), li(x)}. После того как вопрос о выборе системы координатных функций решен, использо­ вание метода Ритца и уравнений Лагранжа приводит к одинаковым результатам.

Рассмотрим применение метода Ритца к решению ря­ да задач о собственных колебаниях упругих летательных аппаратов.

1. Колебания неоднородной свободной балки, схема­ тизирующей колебания ракеты. Функция изгибной жест­ кости EJ в точках Xi = li испытывает скачки второго рода.

Естественными граничными условиями рассматривае­ мой задачи являются

Геометрическими граничными условиями являются усло­ вия непрерывности перемещений и их производных в точ­ ках X{ = U:

9 0