книги из ГПНТБ / Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления

Соотношениям, аналогичным (1.19) и (1.20), удовлет­ воряет также функция <р (2, t) соответственно при сим­ метричных и антисимметричных колебаниях.

Рассмотрим случай симметричных колебаний. Скла­ дывая вторые уравнения (1.13) и (1.14) и учитывая со­ отношения (1.19), получим

а следовательно, из второго уравнения (1.14) найдем, что 0(0, 0 = 0 . Таким образом, при симметричных колебани­ ях самолета взаимодействия между изгибными колеба­ ниями крыла и крутильными колебаниями фюзеляжа от­ сутствуют, т. е. можно считать, что из условий (1.13) или (1.14) следует, что

Условия (1.15) и (1.16) для симметричных колебаний можно теперь представить в виде

Условие (1.17) для симметричных колебаний удовлетво­ ряется тождественно.

31

Таким образом, симметричные колебания самолета определяются дифференциальными уравнениями (1.7) — (1.9) и граничными условиями (1.11), (1.12), (1.21) — (1.23).

Аналогичными рассуждениями можно показать, что при антисимметричных колебаниях самолета можно счи­ тать l(x, t ) = 0 и, следовательно, эти колебания описыва­ ются дифференциальными уравнениями (1.7), (1.8),

По принципу, который использовался выше, можно со­ ставить уравнения колебаний и соответствующие гранич­ ные условия, когда летательный аппарат, помимо крыла, имеет другие несущие поверхности, например, стабилиза­ тор, вертикальное оперение. Колебания самолета в этом случае можно разбить также на два класса: симметрич­ ные и антисимметричные, которые в общем случае будут сопровождаться также изгибными и крутильными коле­ баниями вертикального оперения и изгибными колеба­ ниями фюзеляжа в горизонтальной плоскости.

1.3. УРАВНЕНИЯ УПРУГИХ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ КОРПУСА РАКЕТЫ

Для составления уравнений упругих колебаний лета­ тельных аппаратов широко используют вариационные ме­ тоды механики, которые наиболее удобно применять к консервативным системам. С такими системами мы и встречаемся при изучении собственных колебаний упру­ гих систем без учета рассеяния энергии. При изучении уравнений возмущенного движения упругих летательных аппаратов под действием аэродинамических и реактивных сил мы имеем дело с неконсервативными системами, к

32

анализу которых вариационные методы непосредственно применять нельзя.

Напомним кратко сущность вариационных принципов механики, более подробно с которыми читатель может по­ знакомиться, например, в книге [15]. Рассмотрим склеро­ номную консервативную механическую систему с п степе­ нями свободы. Положение этой системы можно характе­

ветственно кинетическую и потенциальную энергию си­ стемы, введем функцию Лагранжа

L(qit q i ) = T - П.

Пусть при движении рассматриваемой системы ее поло­ жение в момент времени to характеризуется координата­ ми <7ог, а в момент времени tl— координатами q^. Соста­ вим интеграл действия по Гамильтону:

/ = f Ldt.

*о

Путь, который совершает система из положения в момент времени t0 в положение в момент времени t\, называется прямым (истинным), если при этом обобщенные коорди­ наты qi{t) удовлетворяют уравнениям движения. Наряду с прямым путем рассмотрим также окольные пути, ха­ рактеризуемые значениями обобщенных координат cji= = q%(t), причем

qi(t) = qi(t) + Mi(t).

Величины 6qi(t) называются вариациями обобщенных координат qi(t) и подчинены условию

Рассмотрим вариацию интеграла действия

б

бJ — j[-^(?i + 6^i, qt 4~ 8qi)]dt. to

Согласно вариационному принципу механики, кото­ рый иногда называют принципом Гамильтона, интеграл действия J для прямого пути имеет экстремальное значе­

ние, т. е. 6/ = 0. Исходя из сформулированного принципа, можно получить уравнения движения механической си­ стемы.

Действительно, вариацию интеграла действия можно представить в виде

Интегрируя по частям вторые слагаемые этого выраже­ ния, найдем

Учитывая, что при t0 и tx 694= 0 и б/ = 0 при любых вари­ ациях bqu получаем уравнения Лагранжа второго рода, которые являются уравнениями движения рассматривае­ мой механической системы

d dL dL

, n.

dt d<ji dqi

Применим вариационный принцип механики к выводу уравнений собственных упругих поперечных колебаний корпуса ракеты без учета колебаний жидкости в баках. Используя балочную модель, имеем

В качестве вариаций функции у(х, t) будем рассматри­ вать бу (х, t), которая произвольное число раз является дифференцируемой функцией, подчиненной условию, ана­ логичному (1.26)

8у(х, t0) = by (х, 11) = 0.

34

Вариация интеграла действия в рассматриваемом случае имеет вид

Преобразуем это выражение, интегрируя по частям (по переменной t) первый член подынтегральной суммы

U =

Дважды интегрируя по частям (по переменной х) 'второй подынтегральный член, получим следующее выражение для б/:

EJ д2У дЬу дх2 дх

Поскольку вариации бу(х, t) произвольные, то необходи­ мое условие обращения в нуль б/, может быть записано в следующем виде:

Получили уравнения, аналогичные (1.9). Таким образом, из вариационного принципа можно получить не только дифференциальные уравнения в частных производных, но и соответствующие граничные условия задачи.

Граничные условия задачи, которые следуют непо­ средственно из вариационного принципа, называются естественными граничными условиями [33]. Понятие есте­ ственных граничных условий используется при примене­ нии вариационных методов к расчету собственных частот и форм колебаний. Эта задача будет рассмотрена во вто­

рой главе.

Уравнения собственных крутильных колебаний корпу­ са ракеты можно представить в виде

где GJр — жесткость на

инерции изложена в работе [31]. На рис. 1.7 приведены не­ которые результаты расчетов, заимствованные из указан­ ной работы. Для гладких стенок бака присоединенным моментом инерции можно пренебречь и под J(х) пони­ мать момент инерции конструкции.

36

Вариационный метод удобно использовать для полу­ чения условий скачков, перерезывающих сил и моментов в местах крепления сосредоточенных грузов. Рассмотрим поперечные колебания свободной балки, к которой в точ­ ке с координатой x = h на пружине с жесткостью k подве­ шена сосредоточенная масса тн (рис. 1.8). К данной схе­ ме сводится задача о поперечных колебаниях корпуса ракеты с учетом колебаний жидкости в баках. Кинетиче­ ская и потенциальная энергия системы могут быть опре­ делены из выражений

[’ нс. 1.8. Поперечные колебания свободной балки с мас­ сой, подвешенной на пружине

x = h и вариации функции бу(х, t).

Изгибающие моменты и перерезывающие силы в точ­ ке x = h могут иметь скачок, поэтому при интегрировании

37

по частям вариации потенциальной энергии область ин­ тегрирования разбивается на два отрезка:

-k l b l } d t

сучетом соотношения (1.27) можно преобразовать к сле­ дующему виду:

/, i „

38

Учитывая произвольность вариаций 6у и 6|, из выраже­ ния (1.28) можно получить уравнения колебаний, гранич­ ные условия, условия скачков в месте крепления сосредо­ точенной массы на пружине, а именно:

+ т Лг/ (h, t) + /пЛ£.

Или, принимая во внимание уравнение (1.30), последнее соотношение (1.32) можно записать так:

1.4. УРАВНЕНИЯ УПРУГИХ ИЗГИБНО-КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРЕЛОВИДНОГО КРЫЛА

Рассмотрим вывод уравнения изгибно-крутильных ко­ лебаний стреловидного крыла (рис. 1.9). Крыло будем считать заделанным в корне, а в точке z = h к оси жестко­ сти крыла на пилоне жестко прикреплен двигатель мас­ сой Ш}j. При малых колебаниях крыла двигатель на пилоне совершает следующие малые движения в прост­ ранстве: перемещается в направлении оси Оу (перпенди­ кулярно плоскости xOz) на величину y(h, t), поворачи­ вается вокруг оси z'z' на угол а, а вокруг оси х'х' на угол

39

|1 Величины а и р связаны с углами при изгибах dyjdz и кручении ф(/;, t) соотношениями

Рис. 1.9. Расчетная модель упругого стреловидного крыла с двигателем

Обозначим моменты инерции двигателя относительно осей z'z' и х'х' соответственно через Jz'z' и Jx'x, а вынос центра тяжести двигателя относительно оси жесткости через Од. Тогда выражение для кинетической энергии дви­ жения двигателя Тл можно представить в виде

Тд = — [mhy2{h, *)'+ 2mhoRy(h, t)a + Jz'z-а? + JX’x'$2]-

Полная кинетическая энергия системы крыло-двигатель

+ / < ч ( § ) 2] * + Г д.

Потенциальная энергия крыла состоит из потенциальной энергии деформаций изгиба и кручения

40