книги из ГПНТБ / Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики
.pdf
|
|
Г Л А В А |
I I . |
|
|
|
|
РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В УРАВНЕНИЯХ |
|
||
|
|
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ. |
|
||
§ |
I . Общее исследование разделения переменных в |
стр. |
|||
|
|||||
|
|
уравнениях электродинамики. |
|
241 |
|
|
|
Ч А С Т Ь |
У. |
|
|
|
|
МЕТОД КВАДРАТИЧНЫХ |
овднж. |
|
|
|
|
Г Л А В А |
I . |
|
|
|
|
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТЕМПЕРАТУРНОГО НАПРЯЖЕНЕН. |
|
||
§ I . Общзе решение система уравнений творис температур- |
|
||||
|
|
ного напряжения. |
|
|
247 |
§ 2. |
Краевые задачи. |
|
|
249 |
|
§ 3. |
Решение и тензор напряжения в различных системах |
|
|||
|
|
координат. |
|
|
253 |
|
|
Г Л А В А |
|
П . |
|
|
|
КОНКРЕТНЫЕ |
ЗАДАЧИ. |
|
|
§ |
I . Задачи в двухмерном пространстве. |
259 |
|||
§ |
2. |
Конкретнне задачи в трехмерном пространстве. |
263 |
Ч А С Т Ь |
I . |
р і а д о в з в израшшш в зшжтх |
ТЕОРІЯ УПРУГОСТИ. |
Г Л А В А |
І . |
РАЗд&Енив т ж а в ш ш : в УРАШКНИД |
СЖВ№ |
УПРУГОГО Т Ш в ДВУШРНОЦ ПРОСТРАНСТВЕ. |
§ І . Ш Щ ИССЩПЯАТГЛВ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЗРЕ1ЕННЫХ В УРАШЕШК СТАТИКИ В ДВУМЕРНОЙ ПРОСТРАНСТВЕ.
В р*бвте рассматргхаэтся ВСІ система зрзскшшвашд: вртогеныьхш: Ecopsast? эвклядога пространства двух изыереши, а ЕО-
тврш; урмиежня статгкг допускают разделение переменен!. Уражеяш статна в двумерном пространстве ишеэт вад:
Пусть Хїявінкі элемент в эзклвдовоЗ пласкосте имеет вид:
|
|
|
|
|
(1.2) |
Введем заавау переменных по формулам |
|
|
|||
|
и ^ н . и ^ |
|
(1.3) |
||
Тогда система ураваенні |
( I . I ) будет иметь вац: |
|
|||
|
її?n^" |
u * ' і |
v n , ^ И |
(1.4) |
|
d |
• |
||||
где «/ = (?i+2j.y^, |
- |
упругие постоянные. |
|
||
Предположив, что система дразнений (1.4) допускает раздедешке |
|||||
псреиевжЕ |
|
|
|
|
|
|
U s = u " U v ) U ' ' c ^ . |
( i . s ) |
|||
Подставлял (1.5) в (1.4), получай |
|
|
|||
•• <!> |
, •, ill |
,U> |
• U l |
, ,41 |
|
U» + J . U i - « l a U t |
|
" < U |
J " 0 , |
(16) |
где обозначено
«£4 = —Ь,ЇІ\ |
» .1.0 |
і |
(1.7) |
||
1 |
" П , |
її» j |
? * - » ч Г ^ а - |
|
|
Так как ш положим, что и"' |
есть равеюга системы обнкновен- |
||||
иых джфференпдальанх уравнений 2-го порядка, то =£v |
a ^L -фужк- |
||||
щш, зависявце |
только от переменное |
0^ . |
|
||
Интегрируя (1.7), будем жнеть |
|
|
|||
Пвтенщромяха |
(1.8) |
дает |
|
|
|
£b.=4>V |
— |
v'v' |
(1.9) |
||
Если почленно умжоххм (1.9), |
та падучая |
|
|||
H t ' V ' W t a O V O . |
|
С 1 Л 0 ) |
|||
Подставляя (1.10) в (1.9), получи |
|
|
Вела подставам ( І . П ) ж (1.10) в хгаежнн! влемажт (1.2), то по лучай
^ M U A i M ^ A O . |
(І.І2) |
Вводя новее паремеяане по формулам
ш получим ланейнн*. влек нт в таков форме
Соответственно этому линейному элементу (I.I3) уравневяя (1.6) будут иметь вид:
ІЗ
^ % r ^ > r « r ^ r ^ C u r - o . |
( І Л 4 ) |
где
Из третьего выражения (I.16) следует, что правая часть $ъ |
есть , |
||||
фуакція только от переменной |
, левая часть - фуащея и ва- |
||||
ремеосД о^г |
. Для того, чтобы зто выражение наш» моем, необ |
||||
ходимо к достаточжо, чтобы каждая часть |
(правая жлж левая) была |
||||
равна постоянное |
|
|
|
|
|
/і |
\ " і |
, J Л » - 2 U. |
„ С И |
(I.I7) |
|
^ - ' ^ • ^ И а ' - ц т |
=?г . |
||||
Из четвертого вираженая (І.І6) |
следует, |
что |
|
хда fb і ttiнестоящи».
Вичхтая жэ (1.18) яврахмсжв (І.Г7), получим
Из (I.I5) ишак
В силу (1.19) нирїхіжх* (1.20) будет хшть вад:
l a l U<" сЦг |
1 ~ V |
Ез cZ шмы
2
.Пкидквая (1.21) с (1.22), пазучжы
За espusosa (1.17) s ( L I B ) жьеги
С»)
В силу (ІД5) знрахвжаь (1.24) 6}дет ііаеть вад:
Псчдежяо умжожжя (1.23) їж (1.25), получзш |
|
|
* * 1 $ а ^ Х 4 = |
? э ' |
(1-26) |
Ревкзаем уржвмяжя: (1.26) будет |
< |
|
1 г = ^ ? г + ї |
і - |
(1.87) |
гз» рv - постоявше. |
|
|
Мам? бать, лгжгйжкі астшжт (І.ІЗ) *• щшидявжк иииадевей
плоскости. ДЕЗ Т#ГС, iseds ож приадлмжж азклдоявЗ п»ск*стж,
жвобхеджнэ х достаточно, чмбя т«жв#р крпжззн обращался в жуп тввдеетвмж* ,
* « * г К » « |
* ^ /+ T L H ? U £ )+ |
К^^І 1 ° -
Из лиеЯжогв ахежхтк (I.I3) плен
Н і ' Д а , Н г * 2 4 . |
( 1 .29) |
Подстамяя (1.29) з (1.28), пвдучяи
Если пвдствяяц (1.27) в (І.ЗО), то пмучкн
" U s , / |
• |
( І . З І ) |
Репюгивк этого урагкакя будет
П&іагаа , получим
* i |
= |
c |
l . |
|
(1.33) |
Точно THESIS пззагая |
C2 |
= о , подучим |
|
||
|
= |
с, s ; |
. |
(і . з4) |
|
Аїалогичшш способом из |
|
(1.27) |
будаы иметь |
|
|
1 . = ї 8 |
|
, |
• |
U.35) |
Пвжьзуясь (1.33), (1.34), (1.35), (І.ТЗ) к (1.29), найдем слвдугаув фор»йт гихвйного аалиэкта
a S* = ЯІ«К*» * а |
% , |
й г - г ^ . й ^ і , |
(1.37) |
||
|
|
|
|
|
.(1.38) |
d s* = %\ а<£+ |
а ! <* < |
, |
= ч в , н г - я а . |
« - 39) |
|
Пегьзугсь (1.23), ( I . 2 I ) , |
(1.33), |
(1.34) |
в (1.35), выражение |
||
(1.3) можно Ешшзать гак: |
|
|
|
|
|
джя линейных элементов |
(I.3S), (1.37) а |
(1.38) |
|
||
Для лннейаого элемента |
(1.39) |
|
|
|
I " I I ) |
1И- (.1) |
2 " № / |
• U) |
Эти условия (1.40) и (I . 4I) не только являются необходимыми, но также являются достаточными. Достаточность доказывается непосред ственной проверкой.
Й8 (1.36), (1.37), (1.38) н (1.39) следует, что систем» уравнений теории упругости допускает разделение переменных в полярянх, де картовых х спиральных координатах.
§ 2. РАЗДЕЛЕНИЕ ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТ.
Уравнения равновесия упругого тела в полярнн? координатах ншют вид:
4 - s |
t \ ¥ ^ ^ w m - m ? m ^ ,(2.1) |
|
|||||
Для решения снстеда уравнений |
(2.1) выполним подстановку |
|
|||||
|
Uj ^Ъ.СЯЧФСчу |
, |
U ^ V O ^ b O . |
(2.2) |
|
||
После подстановки (2.2) |
в (2.1) |
и разделения переменяю: подучим |
|
||||
|
|
|
|
11г |
|
|
|
°>- d |
N . а гл d |
|
|
(2.3) |
|
||
|
|
= о |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Полохнм |
|
|
|
|
|
|
|
|
dl ^ г |
|
|
|
|
(2.4* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция |
ф по синслу должна иметь период Зтт |
, что м<зхет |
|
||||
быть только прж ~к |
, |
равному квадрату целого числа и или |
|
||||
нуль. Полагая Ъ=-нг |
, |
(2.4) |
можно налигать так: |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Гос. публичная |
|
|
|
|
|
|
|
научно - техни |
иая |
|
|
|
|
|
|
библмото.чч |
СССР |
|
|
|
|
|
|
ЭКЗЕМПЛЯР |
|
|
|
|
|
|
|
ЧИТАЛЬНОГО |
ЗАЛА |
После подстановки (2.5) в (2.3) получим
где
Умокая первое уравнение на $ ж дифференпдруя по $ , и вто рое ушожая на п* , получим
Внчлтая из первого второе, имеем |
|
|
|
||
Умножая второе уравнение (2.6) на |
и |
дифференцируя по $ , |
|||
получим |
|
|
|
|
|
|
' і ї ч Н М і Ш - ' - |
1 2 Л 0 ) |
|||
Внчжтая из (2.10) первое уравнение |
(2.6), |
получим |
|
||
Решениями уравнений (2.9) и (2 . II) |
будут |
|
|
||
А ^ Г |
И Г ' |
, В ^ . Г 1 |
^ ^ - " * 1 . |
(2.12) |
|
Если подставжм |
(2;12) |
в (2.6), то получим |
|
|
Из выражения (2.13) следует, что |
|
|||
|
|
|
|
(2.14) |
Подставляя (2.14) |
в |
( 2 . I I ) , |
будем иметь |
|
|
|
|
|
(2.15) |
Пользуясь (2.7), внраяание |
(2.15) мояио написать так |
|||
d-5 |
|
|
- |
( 2 Л 6 ) |
Умножая второе на |
g |
и дифференцируя по ^ , |
и складнвая, по |
|
лучим |
|
|
|
|
где
-і
Это есть неоднородное линейное уравнение Эйлера. Если введем замену переменного
і
5= е. , то уравнение (2.17) примет такой вид: