легко определена дифференцированием (8.1.14) по /с:
/ гр =
н + 'W -I- -гг «м sie2 0,
(8.1. 18)
2г]/с-
Дробь в ( 8 .1 . 1 8 ) представляет собой отношение среднего арифме тического величин (COJJ + rj/c'2) и (сод -)-г\к2 -)-соЛІ sin2 Ѳц) к их среднему геометрическому и мало отличается от 1 при сом ■< мд + -f- г|/с2, когда справедливо приближенное выра
ж е н и е ^ .1.16). При этом
Ѵгр ~;2т)/с.
Таким образом, групповая скорость
обменных
спиновых волн в неограниченной среде, в отли
чие от безобменных магнитостатических воли в
волноводах (§ 7.2)х), всегда положительна и ра
стет приблизительно пропорционально
волно
вому числу.
При
максимальном для
дайной
частоты значении
к — кмакс (0) она
достигает
величины
Рис. 8.1.2. Поляриза
(Ѵгр)макс ~
2 / ц ш .
( 8 .1 .1 9 )
ция
спиновой волны.
Для иттрий-железного граната в трехсантимет
Эта
ровом диапазоне ВОЛИ ( Ѵгр) макс = 1 , 6 - І О 5 смісек.
величина меньше скорости
упругих воли («звука») в том же
кристалле
и значительно меньше групповой скорости магнитоста
тических
воли в
большей части диапазона
изменения последней
(см., например, рис. 7 . 2 . 1 0 ) . Малая величина групповой скорости спиновых волн позволяет получать большие времена задержки передаваемых с помощью этих волн сигналов, что используется при создании линий задержки [ 4 8 7 ,3 5 5 ] (см. несколько подробнее
в § 8 . 3 ) .
Для определения поляризации спиновых волн воспользуемся уравнением ( 8 . 1 . 1 3 ) . Не теряя общности, для рассматриваемой
изотропной среды оси координат можно выбрать так (рис.
При 0|j = 0 отсюда следует т ѵ = — іт х, т. е. спиновые
волиы,
распространяющиеся в направлении постоянного намагничения,
0 Групповая скорость безобманных магнитостатических поли в неогра ниченной среде равна пулю, так как частота этих воля но зависит от к.
§ 8.1] С П И Н О В Ы Е В О Л Н Ы В Н Е О Г Р А Н И Ч Е Н Н О М Ф Е Р Р О М А Г Н Е Т И К Е 381
имеют круговую поляризацию с правым вращением. Для углов 0)j =j=0 поляризация становится эллиптической, но она мало от личается от круговой при сом < сон + г]/с2 и приближается к ней с ростом к.
Затухание спиновых волн. При учете диссипации (а =/= 0) дис персионное уравнение, естественно, не может удовлетворяться при вещественных со и к. Возможны две простейшие постановки зада чи. В первом случае рассматриваются стационарные волны (со вещественно), которые при наличии диссипации затухают в про странстве (к комплексно). Во втором случае мы предполагаем, что к вещественно, и рассматриваем затухание во времени (со комплексно) волны с постоянной в пространстве амплитудой. Осуществление той или иной ситуации (или промежуточной, когда и со, и к комплексны) зависит, конечно, от условий возбуж дения воли.
Рассмотрим первую задачу, т. е. примем, что в (8.1.11) со ве щественно, а
к = к' — ік".
Предположим, что направление распространения и направление затухания волны совпадают1), т. е. векторы к' и к" параллельны. В этом случае
(kl + kl)JB = sin2 0,,
где Bh — угол между направлением векторов к' и к" и осью z, который мы считаем заданным. Тогда два вещественных уравне ния, эквивалентных (8.1.11), дают связь к' и к" с со и Ѳц.
Остановимся сначала иа случае любого затухания, т. е. примем а < 1 и
(8.1.21)
Пренебрегая в (8.1.11) малыми величинами порядка выше первого, получим для к' (со) прежнее выражение (8.1.14), а для к" — соот ношение
к
асо
(8.1.22)
2rjF '
Согласно (8.1.22) при очень больших к', когда со
ц/с'2,
к"
а
~г к’.
При малых же к', когда со почти не зависит от к' (либо в том слу чае, когда частота является заданной, а к' регулируется изме
1),Это предположение не является, вообще говоря, обязательным. Электро магнитные волны с несовпадающими направлениями распространения п за тухания были рассмотрены Френкелем [43].
382
СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. 8
нением постоянного поля или угла 0(f), к" обратно пропорцио нально к'. Однако, как только к" становится сравнимым с к', рассматриваемое приближение перестает быть справедливым. Подставляя (8.1.22) в (8.1.21), получим условие его справедли вости:
к' > Ѵ ^ Ц - = Ѵ - f ÄMaKc(0) = /<np.
(8.1.23)
Если условие (8.1.23) не выполняется, то величины к' и к" должны быть найдены путем точного решения уравнения (8.1.11). Подставляя к — к' — ік" в (8.1.11) и приравнивая нулю вещест венные и мнимые части, получим
Выражение в квадратных скобках в (8.1.25) не может обращаться в нуль, так как тогда при к" -> 0 для к' получилось бы выражение, которое ничего общего не имеет с (8.1.14) и в которое вообще не входит частота со. Следовательно, в (8.1.25) обращается в нуль первая скобка. Таким образом, соотношение (8.1.22), которое бы ло получено раньше для случая к'^> к", справедливо и в общем случае. Уравнение (8.1.24) тогда отличается от (8.1.14) лишь за меной к2 на к'2 — к"2. Оно может быть легко решено совместно с (8.1.22) относительно к' и к". Введем обозначения:
к'
к" = -jf- »
ß
1
\/~ “ 2 +
[~т0)Л< ЯІІі2 ѳ*
aw
пр
Лпр
сои ■
■COjVf S in 2 0(f
(8.1.26)
где &пр определяется согласно (8.1.23). Тогда решение запишется в форме
%’ = Y V W T ^ + ß, к" = i Z / F + T ^ ß
(8.1.27)
(соотношение (8.1.22) в обозначениях (8.1.26) примет вид к'к" =
= !)• Зависимости к' и к" от ß показаны на рис. 8.1.3. На том же
рисунке приведены результаты расчета в первом приближении,
когда к' вычисляется без учета диссипации, а к" — из соотноше ния (8.1.22). Из рис. 8.1.3 видно, что приближенное решение, как и следовало ожидать, практически совпадает с точным при ß ^> 1, когда к'^> к". Однако как только ß приближается к 1 (т. е. к" — к к'), точный спектр начинает существенно отличаться от приближенного. Приближенный спектр существует только при
Рас. 8.1.3. К расчету спектра] затуха ющих спиновых волн в ферромагнети
вое приближение сплошные линии — поточным формулам (8.1.27).
Р
§ 8.1] С П И Н О В Ы Е В О Л Н Ы В Н Е О Г Р А Н И Ч Е Н Н О М Ф Е Р Р О М А Г Н Е Т И К Е
383
ß ]> 0 (и затухание неограниченно возрастает при ß -> 0), точный же спектр «заходит» в область отрицательных ß (например, для 0 — 0 — в область соя > со), но, конечно, затухание при этом воз растает.
Представление о распростра няющихся спиновых волнах спра ведливо только в том случае, если к' [> /с", т. е. с учетом (8.1.22) и (8.1.23) — если к'^> кпр. Для мо нокристаллов иттрий-железного граната око/')' = АНц — 1 э и
^up Ю4;
в веществах с [большей диссипа цией кП{>будет еще больше. Спектр спиновых волн (зависимости к' и к" от со) иттрий-железного граната в области к' ^>к" показан для двух крайних значений угла Ѳк на рис. 8.1.4.
Остановимся теперь кратко на второй возможной постановке за дачи о затухающих спиновых вол
нах — рассмотрим затухание во времени тзолъы с вещественным к.
Положим в (8.1.11) со = со' -j-ico" и примем, что а
1, a
со" <
со'.
(8.1.28)
Тогда для
со' получим прежнее
выражение (8.1.14),
а для
со" — выражение
со" = а ^соя + Цк2-)—
соді sin2 0ftj .
(8.1.29)
При cöM <
соя, когда справедливо (8.1.16),
со"
аш'.
(8.1.30)
Из
(8.1.30)
или в общем случае из (8.1.29) видно,
что
условие
(8.1.28) (в
отличие от (8.1.21))
всегда выполняется,
если только
а <
1.
Как видно из (8.1.29), затухание спиновых волн во времени при
небольших к сравнительно слабо зависит от к 1). Затухание же в пространстве, характеризуемое к", как мы видели, зависит от к' очень сильно. Такое различие связано с сильной дисперсией спи новых волн. Действительно, в первом приближении для группо-)*
*) От к (а также, конечно, и от со) может зависеть и параметр а, но на этих зависимостях мы пока не оставлпваемся, оии будут обсуждаться в главе 9.
384
СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. 8
вой скорости, которую можно при наличии диссипации опреде лить как дю'/дк', будет справедливо выражение (8.1.17) с заменой к на к '. Сопоставляя его с (8.1.22) и (8.1.29), получим
со" = Ѵгрк".
(8.1.31)
Отсюда видно, что при сом
сод (когда угр пропорционально к')
и ц/с'а<со„ (когда к" пропорционально 1/к') величина со", в сог ласии с (8.1.30), не зависит от к '.
Рис. 8.1.4. Спектр затухающих спиновых волн (при
ft' > ft") в изотропном ферромаг
нетике. AHjj = 0,52э; остальные параметры — такие
же, как па рис. 8.1.1, а (нттрий-
желсзный грапат).
ПриХрассмотрении затухающих спиновых воли часто вводят
величину
(8.1.32)
хк = 1/2со",
которую называют временем жизни спиновой волны. Очевидно, что квадрат амплитуды переменной намагниченности затухающей
во времени спиновой волны убывает как e_(/Tfe, т. е. т» есть время релаксации квадрата этой амплитуды. Аналогичным образом мо жет быть введена величина
h = Шк",
(8.1.33)
которую можно назвать длиной пробега затухающей в простран стве спиновой волны. Она представляет собой расстояние, на ко тором квадрат амплитуды переменной намагниченности спиновой волны убывает в е раз. Выражение (8.1.31) можно записать в виде
h = УгрТѴ
(8.1.34)
Анизотронпый^ферромагнетик. До сих нор мы рассматривали спиновые волны в изотропной среде. Однако затухание спиновых волн, вообще говоря, велико, и наибольший практический инте
(j 8.1] СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ В НЕОГРАНИЧЕННОМ ФЕРРОМ АГНЕТИКЕ 385
рес представляет исследование их в монокристаллах, обладающих малой диссипацией. Кроме того, для коротковолновых спиновых волн и поликристаллы (размеры зерен которых превышают 1//с) нельзя рассматривать, как изотропную среду с усредненными параметрами (см., например, [320, 323]).
Переходя к рассмотрению спиновых волн в анизотропной сре де, пренебрежем для простоты диссипацией. Для а =f= 0, но при выполнении условия (8.1.23) полученные таким образом зави симости к (со) будут в первом приближении соответствовать за висимостям к' (со), а к" или со" смогут быть определены по форму лам (8.1.22) или (8.1.29).
Для вычисления спектра спиновых волн в анизотропном фер ромагнетике используем тот же путь, который был применен выше для изотропной среды: вычислим сначала магнитную проницае мость с учетом неоднородного члена энергии обменного взаимо действия, а затем воспользуемся уравнениями магнитостатики.
Линеаризированное уравнение движения намагниченности анизотропного ферромагнетика имеет вид (2.1.31). Теперь следует принять
Ьен = — №ш + h9,
(8.1.35)
где hg — переменное эффективное поле неоднородного обменного
взаимодействия (8.1.3), а N“ — тензор эффективных размагничи вающих факторов анизотропии. Тензор размагничивающих фак торов формы в (8.1.35) не входит (см. § 2.1), поскольку мы ищем проницаемость вещества и, соответственно, h в правой части (2.1.31) представляет собой внутреннее магнитное поле. Постоян ное же эффективное поле в этом уравнении должно включать раз магничивающее поле
Herrо = Ні о - N“M0 = Н0 - NMo - N“M0.
(8.1.36)
Направим ось z, как обычно, параллельно векторам М0 и Нен 0 и будем искать решение (2.1.31) в виде бегущей волны (8.1.4). Тогда для hq будет справедливо выражение (8.1.5), и амплитуда
волны будет удовлетворять
уравнению
ісот + r#eff 0т X z0 - f хМ 0(kqk) т х z0 +
+ гМ 0(Nam) X z0
+ iaam X z0 = rM„h x z0.
(8.1.37)
Проектируя (8.1.37) на оси а; и у и решая полученную систему от-
носительио т х и ту, можно определить компоненты тензоров %и
р, анизотропного ферромагнетика с учетом пространственной дис персии.
1 3 А. Г. Гуревич
386
С П И Н О В Ы Е в о л н ы
[ГЛ. 8
Заметим, что
антисимметричные компоненты тензора
q не
дают вклада в эффективное поле (8.1.5) неоднородного обменного взаимодействия. Для простоты пренебрежем вовсе анизотропией этого взаимодействия, т. е. будем считать q скалярной величиной. Оправданпем такого допущения может служить то обстоятельство, что релятивистские взаимодействия, ответственные за магнитную анизотропию (см. § 2.2), вообще говоря, слабее, чем обменное взаи модействие. Не будем учитывать также диссипации. Тогда урав
нение (8.1.37) запишется следующим образом:
ісош + Мят х z0 + г]/с2т
х z0 — уМ 0т х
<->
(N z0) +
+
уМ 0(№ т) X z0 =
yM„h X z0,
(8.1.38)
где 1] определяется выражением (8.1.8),
а
мд для случая эллип
соида — выражеинем (7.1.11).
Как видно из (8.1.38), учет неоднородного обменного взаимо действия и в случае анизотропной среды (но в предположении изотропии этого взаимодействия) сводится к замене (8.1.9). Поэтомумыможем, не решая уравнения (8.1.38), произвести замену (8.1.9) во всех формулах, которые были получены в § 7.1 для ани зотропного ферромагнетика без учета неоднородного обмена.
Тогда для компонент тензора р, будут по-прежнему справедливы выражения (7.1.16) — (7.1.18), а для спектра волны — (7.1.23). Но во всех этих выражениях вместо (7.1.19) следует принять
Мы не будем записывать формулы для спектра спиновых волн в различных частных случаях; все они получаются из соответст вующих выражений, приведенных в § 7.1, при замене (8.1.9), т. е.
Hi0-+ H i0+ D k\
(8.1.40)
где
D = ^ = qM0.
(8.1.41)
Все соображения, высказанные в § 7.1 о характере анизотропии спектра магнитостатических волн, остаются в силе и для обмен ных спиновых волн. В частности, для приведенных в табл. 7.1.1 направлений (и только для них) формулы для спектра спиновых волн получаются заменой (7.1.29) из формулы (8.1.14) для изо тропной среды. Например, для одноосного кристалла при Ѳ = 0 такая замена дает
§ 8.1] СПИНОВЫ Е ВОЛНЫ В НЕОГРАНИЧЕННОМ Ф ЕРРОМ АГНЕТИКЕ 387
Вырождение спиновых волн с однородной прецессией. При исследовании процессов релаксации (см. главу 9) оказывается очень существенным взаимное расположение частоты однородной прецессии (или другого типа колебаний, релаксация которого рас сматривается) и спектра спиновых волн. Этого вопроса мы уже касались в главе 7 при рассмотрении длинноволновых (безобмеиных) магнитостатических волн. Мы видели, что частота однород ной прецессии эллипсоида (о0 лежит всегда выше нижней границы (Ѳк = 0) спектра безобмеппых воли (совпадает с ней в предельном
Рпс. 8.1.5. Вырождение однородной прецессии со спиновыми волнами в изотропной
ферромагнитной сфере. М 0 = 140
гс, т| = 0,1
(иттрий-железный гранат). Кружки —
частоты
однородной
прецессии.
случае нормально намагниченного тонкого диска), но может ле жать выше или ниже верхней границы спектра этих волн в зави симости от выполнения приведенных в § 7.1 условий.
В случае коротковолновых спиновых волн, т. е. с учетом не однородного обменного взаимодействия, однородная прецессия (как и любой магнитостатический тип колебаний) всегда будет вырождена (рис. 8.1.5) с определенной группой волн. Если вы полняются условия типа (7.1.12), т. е. частота однородной прецес сии со0 лежит выше верхней границы безобменного спектра, то вырождение будет иметь место в некотором интервале к2— кг волновых чисел (рис. 8.1.5, а). Если же <в0 лежит ниже верхней границы безобменного спектра, то вырождение имеет место в ин тервале волновых чисел от 0 до кг (рис. 8.1.5, б). Интересно отме тить, что для эллипсоида вращения величина кг — максимальное волновое число спиновых волн, вырожденных с однородной пре цессией, не зависит от Н 0и имеет вид
h = ] / Y N ±M 0.
(8.1.43)
1 3 *
388
СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. 8
§ 8.2. Спиновые волны в антиферромагнетиках и феррішагнетпках
Рассмотренную в предыдущем параграфе классическую фено менологическую теорию спиновых воли в ферромагнетике можно без особых трудностей обобщить на случай магнитных систем с несколькими подрешетками. При этом следует исходить из ли неаризированных уравнений движения намагпичеииостей подре шеток (4.1.25) и уравнений магнитостатики, например в форме (7.1.21). Вид уравнений магнитостатики не зависит, конечно, от того, какую среду мы рассматриваем, а входящий в них тензор
jit для системы с несколькими подрешетками определяется еледующим образом (см. главу 4):
т ~ == 2 m ~J =
= 1 +
у
В уравнениях движения (4.1.25) необходимо теперь учесть эффективное поле неоднородного обменного взаимодействия. Ес ли предположить, аналогично предыдущему параграфу, что по стоянные намагниченности подрешеток не испытывают быстрых изменений в пространстве, то энергию этого взаимодействия, обоб щая (8.1.2), можно записать в виде [21, 3]
^ = 4 - 3
SS W
3m
3m
(8.2.1)
2
дхг
дх.
;=1 з'=і p=l s=i
где п — число подрешеток.
Остановимся на
случае двух идентичных подрешеток. Тогда
3m _2 3m _2 \
,
3m _2
Р = 1 s= lL
Х
V
S
дхр
dxs
) ^
Vps дхр
dxs
( 8. 2. 2)
Эффективные
поля
неоднородного
обменного
взаимодействия
определятся
по формуле (4.1.4):
з
з
3%1 '1,2
3:іп 2,1
(8.2.3)
h<71,2 —
S
S
(?Р,s дх„ дх.
+
qps
дхпЭх
Для плоских волн
P = 1 S = 1
'
Р
s
m~ lt2 =
m1,2e1("i-kr),
и из (8.2.3) следует (аналогично (8.1.5))
з
з
з
з
1,2 — — I S S QpJCv k s j ш 1 .2 —
^ S S ( f p s ^ p ^ 's j Н 1 2д
=
Р=18=1
'р=1 s=l
= — (kqk) mli2 — (kq'k) m2il.
(8.2.4)
§ 8.2] ВОЛНЫ В АНТИФЕРРОМАГНЕТИКАХ И ФЕРРИМАГНЕТИКАХ 389
Дисперсионное соотношение для спиновых волн в антиферро магнетике, как и в случае ферромагнетика (§ 8.1), может быть по лучено (в рамках рассматриваемой классической теории) двумя путями; они отличаются последовательностью учета уравнений движения и уравнений магнитостатики. Как мы увидим ниже, учет уравнений магнитостатики, т. е. учет магнитного взаимодей ствия (который дает зависимость закона дисперсии от формы образца и направления распространения волны), для аптиферромагнетиков приводит к малым поправкам. Это имело место и для однородного антиферромагнитного резонанса (§ 4.2) и связано с малыми величинами суммарных намагниченностей антиферромаг нетиков, как постоянной (в не очень сильных магнитных полях) t так и переменной.
В этом параграфе, так же как и в главе 4, мы ограничимся исследованием одноосных аитиферромагнетиков. Спектры спино вых воли в них получили на континуальной модели методом ре шения уравнений движения Каганов и Цукерник [235] и с учетом магнитного взаимодействия — Лудой и Пинкус [241]. Квантовый расчет на континуальной модели был проведен Туровым и Ирхиным [21].
Одноосный антпферромагнетпк в поле, параллельном оси. Как было показано в § 4.2, в одноосном антиферромагнетике с двумя идентичными подрешетками при положительной анизотро пии (легкая ось) и постоянном поле Н0, приложенном вдоль оси, возможны (см. рис. 4.2.2 и табл. 4.2.1) три основных состояния.
При Я 0< ;Я с = Y 2НеН а (первое состояние) равновесные векторы намагниченностей подрешеток направлены по оси (рис. 4.2.2, а). Уравнения движения для этого состояния без учета неоднородного обменного взаимодействия имели вид (4.2.25). Теперь необходимо добавить в них эффективные поля (8.2.4). Тогда, решив эти урав-
нения, мы найдем тензор восприимчивости %с учетом пространственной дисперсии. Следуя первому пути получения дисперси онного соотношения для спиновых волн, мы должны подста-
вить
компоненты тензора
% в
магнитостатическое уравне-
ние
(7.1.21).
тМ1і20
X hg 1|2, приходим к урав
Добавляя в (4.2.25) члены
нениям
ісопі! + [г (# о + Я Е + Я л + Ни) + ймйI mi X z0 +
