книги из ГПНТБ / Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов

физме /* и теорему об изоморфизме Тома, получаем, что отобра­ жение Tf: TBSp„ -+■ TBSO,l7t индуцирует изоморфизм групп Zpкогомологпй для всех простых нечетных р в размерностях, мень­ ших 8 ?г. Тогда по обобщенной теореме Уайтхеда гомоморфизм (У/)# в гомотопических группах соответствующих размерностей является изоморфизмом по модулю 2 -примарных конечных групп. Поэтому для завершения доказательства достаточно применить

где У* и 5* — гомоморфизмы, индуцированные соответствующими функторами забывания, получаем следующий результат:

по модулю 2 -прнмарных конечных групп, а группа й* не имеет кручения, то ни группа й®р, ни группа й*° не имеют элементов нечетного порядка, ш

Т е о р е м а. Гомоморфизм

имеет в каждой размерности коядром 2 -примарную группу, и, сле­ довательно, у также имеет коядром 2-примарную группу. Но это противоречит предыдущему результату, согласно которому у в каждой размерности имеет коядром конечную группу нечетного порядка. Таким образом, гомоморфизм у является эпиморфиз­ мом. в

торкольцу кольца й* по идеалу, порожденному классами кобор-

Дизмов, размерность которых не делится на 4. Поэтому Qf°/Tors является кольцом полиномов, и его образующие характеризуются своими 5-числами. Указанные значения 5-чисел образующих х, непосредственно получаются из значений 5-чисел для образую­ щих комплексных кобордизмов, ■так как если М п — квазиком­

плексное многообразие и с (М) = Q ( 1 + аД, где — формаль­

Для вычисления 2-примариой структуры кольца й®° полезно использовать точную последовательность

йВО t й!° ^ 'Z /'ЛЯ , 2 )

в которой t является гомоморфизмом умножения на 2 ([5°, о] — это две точки, каждая из которых положительно ориентирована).

Обозначим через

то получим

д %2т-і —О,

д Х 2т — % 2т -и

ЗД, следовательно, д' является дифференцированием. Так как

д'д' = рдрд и До = 0 , то (д' ) 2 = 0 .

Вычислим значение д' на образующих кольца W * (31, 2). Многообразие N, представляющее класс (x2s)2, кобордантно

Так как wi (M) = al, то класс д’ [М] представлен подмногообра­ зием, двойственным (М), т. е. подмногообразием в RP (1) X X RP (2Р) X RP (2р+1 $г), двойственным классу когомологий

«j (а , + (2р - Ы ) а 2 + (2р+1д + 1) а3) = а, ((2Р + 1) а 2 + (2р+1<? + 1) а3),

так как а2 = 0. Подмногообразием в RP (1) x R P (2Р) X RP (2p+1 q),

двойственным аи является многообразие RP (2Р) X RP (2р+1д), поэтому д' [М] есть в точности х2т-і• Так как (д' ) 2 = 0, то

д'х2т -і — 0. а

его кольцо гомологий изоморфно ему самому.

Применяя теперь теорему Кюннета о гомологиях тензорного произведения дифференциальных колец, получаем утверждение следствия. Ш

П р е д л о ж е н и е . pQS° = ^ег ^ = ker •

Д о к а з а т е л ь с т в о . Покажем, что композиция гомомор­ физмов ker д с —>ker д' -v ker 37im д' является эпиморфизмом. Если а £ ker д'!im д' , то существует класс б 6 31*, такой, что Ъ2

отображается в а. Так как Ъ2 является классом кобордизмов неко­ торого квазикомплексного многообразия, которое, оневидно,

Т е о р е м а . Все элементы конечного порядка в группе Q* 0 имеют порядок 2 .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим, что в группе существует элемент конечного порядка, не равного 2. Тогда суще­

SO

изоморфизм кольца (Q^ /Tors)®Z2 с кольцом полиномов ker д'/іт д'

Д о к а з а т е л ь с т в о . Ядро данного гомоморфизма содер­ жит подкольцо Tors (Q f), и поэтому он определяет гомоморфизм Q®°/Tors ker 37im д'. Ядро этого гомоморфизма содержит, оче­ видно, подкольцо 2 (Qf°/Tors), поэтому он определяет гомомор­

физм (Q®°/Tors) ® Z2 ->■ Z2 (fei)2]- Согласно предположению, этот гомоморфизм является эпиморфизмом, а из сравнения рангов легко следует, что он является изоморфизмом. Ш

Т е о р е м а . Два ориентированных многообразия кобордантны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые числа Понтря­ гина и Штифеля — Уитни.

Д о к а з а т е л ь с т в о . По теореме Понтрягина кобордантные многообразия имеют одинаковые характеристические числа.

Обратно, предположим, что классы х и х' £ ß ^ 0 имеют одинако­ вые Z- и ^-когомологические характеристические числа. Так как все Z-когомологические характеристические числа класса кобордизмов у = X — х' равны нулю, то у имеет конечный поря­ док. Следовательно, 2у = 0 и у = dz для некоторого z. Так как х и х' имеют одинаковые числа Штифеля — Уитни, то все Z2 -Koro- мологическпе характеристические числа класса рі/ равны нулю

многообразие. Для приведенных по модулю 2 характеристиче­

Так как целочисленная ориентация, приведенная по модулю 2, совпадает с Z2 -opneHTapneä, то

Фіо (\М\) = g>o) СО [М] (mod 2) =

II (?Р (т ))[СР(2 сО)] ||Ші щ'£Л (т)

является треугольной с нечетными числами по диагонали. Таким образом, гомоморфизм

Г= П V»: ßf°^zL"(m)l

со£Я ( т )

является эпиморфизмом и, следовательно, индуцирует изоморфизм

(ßfm/Tors) <g>Z2 ^ zLIl(m) '.

с) Если характеристическое число со Gп(т), аа £ Z, принимает четные значения на всех 4пі-мерньтх многообразиях, то

2 c7m?P(o = 0, и, следовательно, аш= 0 6 Z2 для всех разбиений со.

Другими словами, образ гомоморфизма Q®°/Tors ->• Н от (Z [g5;], Z) имеет нечетный индекс. Б

Соотношения между числами Штифеля — Уитни описываются

состоит в точности из тех классов кобордизмов, у которых все числа Штифеля ■— Уитни, содержащие множителем iot, равны нулю. Эквивалентно, все соотношения между числами Штифеля — Уитни ориентированных многообразий следуют из формулы By

det Гл/ тривиально. Следовательно, все числа Штифеля — Уитни многообразия М, содержащие множителем wu должны равняться нулю.

Пусть z 6 — класс кобордизмов, все числа Штифеля — Уитни которого, содержащие множителем wi, равны нулю (ср (х) =

=(N ) + WiUa}-Wi (N) [іѴ] = WiWa (N) [ІѴ]. Так как числа

После описания 2-примарных соотношений между характе­ ристическими числами естественно перейти к изучению соотно­ шений между числами Понтрягина с коэффициентами в Zp для простых нечетных р. Исследование комплексных кобордизмов показывает, что if-теория является естественной областью, в кото­ рой можно получать такие соотношения. К сожалению, ориенти­

ровэнные многообразия не являются ориентированными в if-тео­ рии. Для того чтобы обойти эту трудность, укажем сначала одну общую конструкцию.

Пусть К —- одно нз полей Cl или С, и пусть if' — поле С или тело Ц-j соответственно.

Рассмотрим замкнутое n-мерное многообразие М п с касатель­ ным расслоением t и допустим, что существует if-векторное рас­ слоение т над М п, изоморфное, как вещественное векторное рас­ слоение, расслоению t + и -1 (и £ Z , п + и = 0 (mod к)) и, сле­ довательно, задающее if-структуру на М.

Пространство расслоения Ех является гладким многообра­ зием, и если л: £4 М — проекция, то касательное расслоение многообразия Ех является расслоением я* (і) © л* (т), где л* (т) — касательное расслоение вдоль слоев и л* (t) — его орто­ гональное дополнение. Таким образом, стабильное касательное расслоение многообразия Ех допускает структуру if-векторного

расслоения л* (т)©я* (т) = л* (т) ®^С.

Обозначим через Dx и Sx расслоения дисков и сфер расслое­ ния т. Пространство расслоения Dx имеет индуцированную ста­ бильную if'-структуру как многообразие с границей; его грани­ цей является пространство расслоения Sx.

Предположим теперь, что задан некоторый мультипликатив­ ный спектр А , для которого if'-векторные расслоения естественно ориентированы, и некоторый фиксированный класс ориентации (в)

быть надстройкой над U (т)) или не определяется непосредственно для касательного расслоения t, так что не нужно выбирать рас­ слоение т.

2. Вообще говоря, не ясно, что такие числа являются инва­ риантами кобордизмов; и фактически в общем случае они не яв­ ляются инвариантами кобордизмов.

Если многообразие М вложено в i?n+bÇ с if-нормальным рас­ слоением V, таким, что V© х — тривиальное расслоение, то инду­ цированное вложением отображение касательных пространств

дает вложение E tc-*~ R n+K4 X R n+bq и, следовательно, вложения

Dx С__>. R n + K q X £)"+*?+«

S t Д«+"вх 5 «+*!Н-и-1>

в нормальном расслоении которых может быть фиксирована струк­ тура расслоения л* (ѵ ® ѵ).

З а м е ч а н и е . Имеет место диаграмма

М X М —►R n+KqX i?n+KÎ («. 1/) -* (ж. Ѵ-х) ßn+Kq х

соответствующая отождествлению пространства D {t) с окрестно­ стью диагонали в M X M или пространства Dx с окрестностью многообразия A (M) x 0 в M X M X R u.

Существует каноническая проекция

if-структуре), поэтому существует каноническая проекция d пространства X на Т (т ф ѵ ф ѵ) = $ п+кч+ит (ѵ); Используя дан­

ленного вложением многообразия М в пространство і?71+ыг.

З а м е ч а н и е . Отображение d можно рассматривать как

гомеоморфизм, так как X = Т (т ф ѵ ф ѵ).

Рассмотрим теперь некоторый мультипликативный спектр А ,

для которого все расслоения т, т, v, ѵ имеют естественную ста­ бильную мультипликативную ориентацию, и обозначим через U класс ориентации U-. Тогда существует отображение

ß: X - (М /0) А Т (т) A T (v) А Т(ѵ) = Y,

обобщающее обычное отображение <р на случай диагонального

где Т (т ® ѵ) можно отождествить с надстройкой над (М /0 ), и при этом класс ориентации U- (g) U- переходит в класс надстройки.

Таким образом,

c*ß* (у) [iS] = ж [М].

Второй сносов. Отображение ß разлагается также в компо­

переходит в класс ориентации пространства X, рассматриваемого как пространство Тома расслоения над Dr. Таким образом,

c*ß* (у) [5] = Ы* (х) - U) [Dr, Sr}.

Итак, число хѵ[М] совпадает с числом х [М], когда они оба определены, и, следовательно, хи -числа являются естественными обобщениями обычных характеристических чисел.

Для того чтобы использовать рассмотренный выше способ построения «чисел», необходимо иметь класс U 6 Н п+и {Dr, Sr\ А). Естественной теорией когомологий для построения класса U является теория когомологий, основанная на векторных расслое­ ниях. Здесь мы следуем Коннеру и Флойду [8 ] или Пале [1],

стр. 44.

Пусть К — одно из полей ^ или С. Рассмотрим if-векторное гс-мерное пространство V с if-скалярным умножением { , >, ifлинейным по первому переменному и антилинейным по второму

(вектор, сопряженный с вектором а, обозначается через а).

Напомним, что скалярное умножение в Р можно продолжить

П

дения.

Наконец, напомним, что ориентацией пространства F назы­ вается единичный вектор o' 6 A"(F) = det (F).

При заданной ориентации о пространства V можно определить отображение т: Л,! (F) ->• Ап~І1 (F), сопоставляющее вектору X 6

Л е м м а 1. Отображение х является антилинейным.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Для всех Y £ An~h (F)

(т (аХ), У) = (о, аХ Д У) =

если X и У — мономы, то

1, если Х = У, {— 1, если Х = — У,

О во всех остальных случаях.

Кроме того, для каждого монома X существует единственный моном X, такой, что ХДХ = ст. Для монома X моном тХ сов­

падает с мономом X, ибо если У — моном, то скалярное произве­ дение (тХ, У) =До, ХДУ) равно 1, — 1 или 0, когда У соот­

ветственно есть X, — X или не равен им. Тогда если X fA ft (F) —