книги из ГПНТБ / Куликов, С. Я. Сопротивление материалов учеб. пособие
.pdfСледует заметить, что статический момент заданного сечения будет равен статическому моменту целого прямо угольника минус статический момент отверстия.
Следовательно: |
|
|
* |
|
Так кз поступим и при вычислении площадей, т.е. |
||||
F |
=40-2.0 ~ 2+^Г= |
8GG-/SY- |
6</6с~г |
|
Тогда: |
|
|
|
|
Как в':дно из рисунка (12.4) главными центральными |
||||
осями инерции будут ось ^ |
, как ось сишетрии и |
|||
ось 2 |
. как перпендикулярная к ней. |
|
||
Вычислив моменты инерции |
У£ и ^ |
относительно |
||
этих осей. При этом вычислим в отдельности для прямо ника и для круга, а затек произведем вычитание этих зультатов.
Для целого прямоугольника, пользуясь формулой (8.4
а для круга: |
y |
z |
|
7, - J* -+FQ, = |
^ |
у ' |
у |
Тогда |
|
|
|
128
Подсчитаем момент , учитывая, что ось^ яв ляется центральной осью и для прямоугольника и для кр то в этом случае формула будет иметь вид:
§ 7.4. Изменение моментов инерции при повороте осей
Представим плоскую фигуру площадью F , которая от несена к прямоугольным осям координат 2-0^(рис. 13.4).
Допустим, что известны моменты инерции Ug. , |
J^o |
||
данного сечения относительно указанных осей 2- |
|
||
Требуется определить моменты инерции J k , |
, 3% |
и У^у, |
|
этой фигуры относительно новых осей ( |
и ^ |
) , |
пов |
нутых на угол Ы- против часовой стрелки по отношени
129
старых осей £ и у .
Выразим моменты инерции относительно новых осей через моменты инерции относительно старых осей. С этой целью будем рассматривать элементарную площадку c/F с центром тяжести в точке *^CL . Координаты этой точки в старой системе координат будут: Oe^i , а в новой системе - UJ/C=^^ и О/С= 2f . Для этого произ
водим вспомогательное построение: из точки £ проводим |
||
прямую линию, параллельную новой оси |
до пересечения |
|
с линией |
и получим точку А/ и из точки ^ провод |
|
прямую линию, параллельную g4 до пересечения с осью |
|
0£f и получим точку |
. ТогдаZ ЕМА/-о£ . Най |
дем координаты у.^ и j?y |
указанной площадки в но |
вой системе координат. |
|
Из рисунка можно заметить: |
|
(так как из треугольника |
А/М& следует*^^tM~£Crist** |
•=• UC&icl а из треугольника^^-' ~&е£= 0£$<4о£~
>
^так как из Д-ка <£Oiz> следует: &Х =0£-СЯ$о&:2С
Подставив эти значения в выражение осевого момента ин ции относительно zTy , будем иметь:
130
Аналогичным образом определяем |
, который |
будет равен: / |
/ |
Сложив почленно формулы (17.4) и (18.4) будем иметь:
Формула (19.4) показывает, что сумма осевых момен тов инерции относительно двух-взаимно-перпендикулярных осей сохраняет постоянную величину при повороте осей любой угол и равна полярному моменту инерции относит но точки пересечения осей.
Найдем величину центробежного момента инерции отно сительно новых осей 2у и .
7 я ^ i W ^ ^
(20.4)
131
§ 8.4. Главные оси инерции и главные моменты инерции
Главными осями инерции называются такие оси, от носительно которых осевые моменты иыеюх' максимальное и минимальное значение, а центробежный момент инерции
равен нулю. Главные оси, проходящие через центр тяжес ти сечения называются главными центральными осями инер ции.
Осевые моменты инерции относительно главных осей
называются главными моментами инерции. |
|
|
Для определения угла наклона главных осей инерции |
||
необходимо взять первую производную по углу о/ |
от мо |
|
мента инерции ^ |
и приравняв нулю (см.формулу |
17.4), |
получим: |
|
|
с/о/ |
6 |
* |
* |
или |
|
|
|
|
Разделиз почленно наСЛ* 2о/0 |
выражения ( а ) , |
|
будем |
иметь: |
|
|
откуда
где 0Со - угол, на который нужно повернуть коорди натные оси J£ и £ , чтобы они могли совпадать с главными осями.
Формула (21.4) служит для определения угла наклона главных осей инерции. По этой формуле найдем для угла
<$,о/0 два значения, отличающиеся друг от друга на
132
180° или два значения Ыр . отличающиеся на 90° . Следовательно, главные оси инерции взаимно-перпендику лярны. Докажем, что центробежный момент инерции отно сительно главных осей инерции равен нулю. С этой цзлью выражение (а) умножим на ( - ~ - ) и получим:
П р и м е р 4.4
Для сечения, состоящего из равнобокого уголка и швеллера (рис.14.4) требуется:
1 . Определить положение центра тяжести.
2.Найти величины осевых и центробежных моментов инерции относительно случайных осей, проходящих через центр тяжести.
3.Определить направление главных центральных осей.
4.Найти величины моментов инерции относительно главных центральных осей.
5.Выбрать данные для равнобокого уголка и шзеллера из таблиц сортамента, указанные в нижеприведенной таблице 1,4.
|
|
|
Таблица 1.4 |
|
Составное |
:ПлощадьПоложение: Моменты инерции |
относитель- |
||
поперечное:сечения:центра |
! но собственных центральных |
|||
сечение |
|
:тяжести |
: осей, см^ |
|
|
|
P^^QCU |
: горизонтальной вертикальной |
|
Швеллер |
|
|
|
|
Й> 18а |
25,69 |
1,88 |
1272,7 |
98,6 |
Уголок |
|
|
|
|
100x100x10 |
19,2 |
2,83 |
179 |
179 |
V
Рис.14.4
Решение
I . Определяем площадь составного поперечного сече-
134
ния
1. Выбираем случайные оси ОС , ^ , совпадающие с главными центральными осями швеллера (т.е. координаты т жести швеллера по отношению к этим осям будут равны
Тогда координаты центра тяжести составного сечения
б у Ю т разни: ^ ШГ-9.7(/..Я of с»
Проводим через центр тяжести взаимно-перпендикулярны
оси СС^ и |
, параллельные осям £Си ^ . |
2. Определяем моменты инерции сечения относительно |
|
осей ССс и |
-. |
Подставляем в это выражение числовые значения, по
%с * |
fat) |
ЗГС/= |
|
= д ц с о * |
ы п$+/s, |
z-4?%яо, |
збсм9 |
Находим центробежный момент инерции составного сеч ния относительно осей СС^ и a :
135
где Jxy.(u/i) " центробежный момент оечения швеллера относительно осей ОС , ^ • яьляющиеся глав ными центральными осями швеллера.
OCc-ZfiicMl координаты центра тяжести
(J — О Ч-$см J шзеллера относительно осей
^ху-Суг.) ~ центробежный момент инерции уголь относительно его центральных осей, параллельным осям
где J& — |
|
|
угол между главными центральными осями |
|||
угольника и центральными осями, параллельными осям |
||||||
ССс_ и |
, второй член в выражении для определения |
|||||
центробежного момента инерции угольника будет равен |
||||||
нулю. |
|
|
|
|
|
|
В связи с этим, это выражение будет записано в с |
||||||
дующем виде: |
|
у |
-7 |
|
||
где Ухо~ |
си^ |
моменты инерции угольника |
||||
»у |
|
|
|
^ |
относительно его глазных |
|
Jgo |
~ |
7 |
^» |
9 см |
центральных осей ОС0 и |
|
Подставив числовые значения в указанное выражение, |
||||||
получим: |
|
|
|
^ Ш . . ^ 9 0 = |
/0%^с^ |
|
136
Находим координаты центра тяжести угольника относи тельно осей <Z?C тл^с_' Как видно из рис.14.4
=
d-gc 'ft'°< -&5см; С-Э^ = -fttf-lOfJx-tfc*
Подставляя числовые значения в выражение центробеж ного момента инерции составного сечения, получим:
У
3. Определяем угол наклона главных осей U. и if се чения к центральным осям SCc, и .
4. Определяем величины моментов инерции относитель но главных центральных осей Ц, ъ IX . г
+S*q3C(-q 1933)г- /99,26£-0,*2о£уЬ/ы 8,2 с*у
Проверяем решение задачи.
Сэтой целью используем соотношение (19.4)
7х+ ^ = 7та ос ~*~Упип
137