книги из ГПНТБ / Куликов, С. Я. Сопротивление материалов учеб. пособие

.текучести, коэффициент Пуассона и модуль продольной упругости) примерно такие же как при растяжении.

Р

о5раъщ

Рис.8.2

Обычно разрушение этих образцов (чугун, дерево вдоль волокна) происходит с образованием трещин по наклонным плоскостям вследствие возникновения в этих сечениях наибольших касательных напряжений. При испыта нии деревянного кубика поперек волокон происходит ег уплотнение без разрушения. В этом случае определяется так называемая условная нагрузка, которая фиксируется в тот период, когда высота испытываемого кубика умен шается на 1/3 от своего первоначального размера. При сжатии цементных (или бетонных) кубиков наблюдается выкрашивание их по бокаы и образец принимает форму ченных пирамид (рис.9.2).

48

цемент

Чугун

Рис.9.2

Максимальная нагрузка будет соответствовать момен­ ту разрушения образца.

Испытания fa сжатие образцов из различных материа­ лов на специальных машинах дает возможность получить диаграммы сжатия. Эти диаграммы вычерчиваются особым прибором, которым оснащена испытательная машина. Анализ полученных диаграмм позволяет сделать соответствующее заключение. Так при сжатии образца из мягкой стали к вую на диаграмме (рис.10.2,а) можно разделить на два участка. В начале процесса (первый участок) имеет мес прямолинейная зависимость между нагрузкой и деформацией

49

Это состояние изобража­ ется прямой 01. Точка I на диаграмме означает предел пропорциональности. В даль­ нейшем при протекании этого процесса (второй участок) происходит быстрое возраста­ ние деформаций при отсутст­ вии на диаграмме площадки текучести. Это состояние об­ разца фиксируется на диаграм­ ме кривой 1-2. Наличие ука­ занной кривой на этом участ­ ке объясняется быстрым рос­ том пластических деформаций, что вызывается увеличением

Рис.10.2,а площади поперечного сечения образца. Увеличивающееся по­

перечное сечение способно выдерживать более значительну нагрузку.

Испытания этого образца прекращают при некоторой величине нагрузки, так как дальнейшее проведение указан ных опытов связано с резким увеличением нагрузки, чем и объясняется характер диаграммы.

При испытании чугунного образца на диаграмме полу­ чаем кривую (рис.10.2,б), которая от начала координат идет почти по прямой линии, слегка наклоненной к оси координат. В дальнейшем при протекании этого процесса, она все более искривляясь, достигает максимума и резко обрывается. Это состояние на диаграмме фиксируется точ­ кой I , соответствующей нагрузки, т.е. моменту разрушения образца. Опытным путем установлено, что разрушение чуг ного образца при сжатии происходит внезапно, и при это

50

нагрузка резко падает. При испытании деревянного куби­

Рис.10.2,в

51

Диаграмма сжатия деревянного кубика вдоль волокон (рио.10.2,в) показывает, что после достижения наиболь­ шей нагрузки (01' соответствукдей ) начинается разрушение образца, после чего происходит падение на­ грузки.

Необходимо отметить, что прочность дерева при сжа тии его вдоль волокон в несколько раз выше, чем поп Установлено опытным путем, что для хрупких матери лов предел прочности выше предела прочности при раст

жении.

§ 6.2, Влияние собственного веса при растяжении или сжатии

При выполнении инженерных расчетов собственный вес конструкций не учитывают тогда, когда его величина яв ется небольшой по сравнению с внешними нагрузками.

Однако, при расчете штанг, цепей, длинных тросов и т.д. собственный вео учитывают потому что его значе­ ние становится относительно больший. В связи о этим рассмотрим длинный призматический брус (рис.II.2),кото­ рый будет растягиваться от собственного веса.

Чтобы определить полное удлинение этого бруса, вы делим из него двумя бесконечно близкими поперечными с чениями ( " I - I " и "2-2") элемент бруса длиной cfcc (за­ штрихованная часть на рис.II.2,а), отстоящий от нижне­ го конца на расстоянии СС . Пользуясь методом сече­ ний, мысленно разделим брус по сечению I - I , отбросив верхнюю часть, и рассмотрим равновесие оставшейся (ниж­ ней части бруса), на которую действует лишь сила соб венного веса (рис.II.2,6). Равновесие оставшейся части будет обеспечено лишь в том случае, если в сечении I

, которая будет равна

52

собственному весу этой части бруса, т.е.

Afccj ~ Gr =£"<TJQ , где }f - удельный вес мате­

7ZZZZZZA

Рис.11.2

Учитывая, что толщина выделенного элемента бес­ конечно мала, то можно считать растягивающую силу п

EF

Проинтегрировав это выражение в пределах от О до £ , получим удлинение всего бруса, т.е.получим:

Последнюю формулу можно представить в ином вид

53

приняв во вниманиеj что вес бруса равен

откуда № ~ -р , которое подставим в формулу (15".2). Окончательно получим:

Удлинение бруса, полученное от действия силы Р, будет равно p g

Сравнивая две последние формулы можно сделать з ключение, что удлинение бруоа от собственного веса два раза меньше, чем от силы, равной собственному и приложенной к концу бруса.

Определим напряжения, возникающие в произвольном сечении бруса, которые будут вычисляться по следующе

Анализ этой формулы показывает, что напряжения, возникающие от действия собственного веса конструкци не будут зависеть от площади поперечного сечения.

В нашем случае СС меняется в пределах от О до £ (рис.II.2,а), величина нормальных напряжений при СС * С достигнет максимальной величины в опасном с чении (т.е. в верхнем сечении):

Условие прочности для этого сечения бруса запи ся я&к: _ _ _

Если рассматриваемый брус дополнительно нагрузить силой Р, показанной пунктиром на рис.II.2,а, то макои

54

малыше напряжения в опасном сечении будут выражатьоя

Иэ указанного уравнения определяется расчетная пло щадь поперечного сечения убруса, которая будет равна:

Пример 3.2.

Поотроихь эпюры продольных сил, нормальных напряже­ ний и перемещений^стального ступенчатого стержня, изоб­ раженного на рис.12.2.

Решение

Применяем метод сечений для определения внутренних сил, С этой целью мысленно разрезаем стержень по сече ниям I - I и 2-2 как изображено на рис.12.2. Из условия равновесия отсеченной части (ниже сучения I - I ) :

Рассмотрим равновесие отсеченной части (ниже се­ чения 2-2):

По полученным значениям отроим в выбранном масшта бе эпюру продольных оил как показано на рис.12.2. За переходим к вычислению напряжений* Для оечения I - I по-

55

л у ч и м : £ « . - ^ 1 = щр>=/ ^ o g y i .

и для сечения 2-2 ииееи:

Найденные числовые значения напряжений дают воз­ можность в определенном масштабе построить эпюру нор­ мальных напряжений, изображенную на рис.12.2. Как видно изэпюры, наибольшие напряжения имеются в сечении 2-2,

которое будет являться опасным сечением.

Вычислим перемещения каждого поперечного сечения стержня, т.е. для нашего случая найдем перемещения сече­ ния В-.В и А-А (перемещение сечения С-С равно нулю). Усло­ вимся считать перемещение сечения вниз положительным, вверх - отрицательным. Для нашего случая перемещения всех указанных сечений будут положительными, так как пе­ ремещение их происходит вниз.

Для оечеиия В-В перемещение стержня будет равно:

Перемещение сечения А-А будет выражаться алгебраи­ ческой суммой перемещения сечения В-В и удлинения стерж­ ня от силы Р2, т.е. получим:

По найденным числовым значениям строим в выбранном масштабе эпюру перемещений, показанную на рис.12.2.

Из эпюры видно, что наибольшее перемещение имеет торцевое сечение, а в месте закрепления стержня оно будет равно нулю.

Следует отметить, что на указанных эпюрах не по­ ставлены знаки, так найденные значения ( А/ , б* % Л )

57