![](/user_photo/_userpic.png)
книги из ГПНТБ / Куликов, С. Я. Сопротивление материалов учеб. пособие
.pdfнали, будут положительными, а сжимающие напряжения, Т.е. обратного направления являются отрицательными.
90° |
5) |
90° |
УуЖ/////// |
|
|
Рис.3.3,а |
|
Рис.3.3,б |
|
т~ |
|
Для касательных напряжений |
знак устанавливается |
следующим образом: они будут считаться положительными, если их направление будет таким, что внешняя нормаль для совмещения с ними должна повернуться по часовой стрелке. При обратном направлении £ ^ будет отрица тельным.
При определении внака касательных напряжений чаще пользуются другим правилом:
касательное напряжение £ ^ считается положитель ным, если оно стремится вращать рассматриваемую часть элемента по часовой стрелке относительно его центра.
случае обратного направления, |
т.е. против часовой стрел |
ки, касательное напряжение 2^ |
будет отрицательным. |
На рис.4.3, а,б изображены направления положитгть- |
ных и отрицательных значений нормальных и касательных напряжений и , действующих по наклонным пло щадкам. Возникновение этих напряжений по наклонным пло ще, .кам обусловливает наличие двух деформаций: продоль ной деформации (растяжение или сжатие), связанное с воздействием нормальных напряжений, и деформации сдви га, которая происходит от действия касательных напря жений.
Вышеприведенные формулы (1.3 и 2.3) дают возмож-
88
Hocib определить нормальное и касательное напряжение
влюбой площадке для случая, когда известны напряжени
впоперечной площадке, которую можно провести через данную точку.
Рис.4.Э,а |
Рис.4.3,6 |
в дальвойшем оценку прочнооти материала при нали чии этих напряжений будем производить о использование т^рии прочности.
89
§3.3. Напряжения в наклонных площадках при
1..ЛСКОЫ напряженном состоянии.
Вырежем из упругого тела около точки В бесконечномалую призму АБС (рис.5.3). С этой целью рассекаем тело тремя плоскостями: отбраенвием все, кроме выделенной призм заменяем действие отброшенных частей силами и рассмотрим условие равновесия призмы (рис.6.3).
Рис об.3.
90
Вертикальные и горизонтальные площадки называются ис
ными площадками. По этим исходным площадкам действуют мальные и касательные напряжения, т.е. заданные напряжен
Требуется |
найти нормальное и касательное £>х и |
С Ь \ по |
|
наклонной |
площадке, если дано: б, ; 6^; |
Ы*> |
|
На рис.6.3,а показаны напряжения по граням оставшейс призмы, а на рис.6.3,6 указаны действующие силы по гран призмы. Предварительно примем площадь наклонной площадки равной единице, т.е. Гд, = 1 , тогда площадь вертикально
грани, как видно из ркс.6.3,6 будет равна-4- bin<k |
, а |
площадь горизонтальной грани - i-Cos^/ |
|
Спроектируем все силы на направление t> A и |
Ьх |
можно записать условия равновесия выделенной призмы в
•Принимая, ^TOJ^XJ = |
б!^ем иметь: |
Ъ\пХ> -бх'-binL CostL+Xy CoiJL Со*Х -
-<r
CV ЫпЬ v5inJL = 0
01
Зная, |
что|Т| |
l* |
^! |
» будем иметь: |
|
|
|
х = |
7 |
|
|
||
% - |
• Зю 2<L+%- Со%2Л |
(7.з) |
||||
Формулы |
(6.3 и 7.3) дают возможность найти значения |
|||||
нормальных и касательных напряжений в любых площадках, |
||||||
проходящих через данную точку. |
|
|||||
Докажем, |
что сумма нормальных напряжений в двух взаим |
перпендикулярных площадках есть величина постоянная и не
зависит от угла |
. |
|
Напишем выражения ( 5 j . и (Э±.9о- |
по формуле (6.3 |
|
будем иметь: |
|
|
б Л ^бл • bin**, • бу C o s U - Ту -AinZJ* |
(а) |
- б , • C o i U + dj Am U + ^ -Sw |
(б) |
|
Суммируя два равенства (а) к (б) почленно, будем иметь: |
||
<5о < ( |
Л . 9 о . <Тх *<5* * Cons t |
(8.3) |
Из этого выражения следует, |
что если нормальное |
напряжение Б ОДНОЙ главной площадке достигает максимально-
92
го вначения, то в другой главкой площадке нормальное напряжение имеет минимальное значение.
Извеотно, что плоское напряженное состояние сводит ся к растяжению (сжатию) по двум лзаимно-перпондпкулярн направлениям, т.е. любое плоское напряженное состояние может характеризоваться величинами двух главных напряж ний и положением главных площадок. Следовательно, напр жения в любой площадке можно выразить череэ главные пряжения и угол наклона указанной площадки к главной. С этой целью в формулах (б.З) и (7.3) приняв G^^Gv
би-6^ |
(9.з) |
гиш^^д^АоС (ю.з)
§ 4.3. Главные площадки.Главные напряжения
Как уже ранее отмечалось главными площадками на зываются две взаимно-перпендикулярные площадки, по ко торым действуют наибольшие и наименьшие нормальные на пряжения, а касательные напряжения равны нулю.
Нормальные напряжения, действующие но этим площад кам, называются главными.
Для нахождения угла наклона главных площадок нуж найти максимум и минимум нормальных напряжений.
Для этого берем первую производную |
из урав |
нения (б.З) и приравниваем ее нулю, т.е. |
|
или можно переписать в следующем виде:
93
Разделив каждое слагаемое равенства (а) на будем иметь:
где oS0 - угол наклона главных площадок, при кото рых касательные напряжения будут равны нул
J-s,9rV g 1 . ^ • / 7 У . З ) Тмерб Можно
V * ~ |
i Ш-<Ф*^ |
с/331 |
|
§ 5.3. Обобщенный закон Гуна |
Следует отметить, что ранее мы определяли относи тельные деформации для бруса, растянутого только в од направлении, т.е. по одной оои. Как известно, эту вел ну выч-оляли по формуле (10.2), выражающая закон Гука Для того, чтобы получить выражение закона Гука для б оа, растянутого по даум взаимно-перпендикулярным направ лениям, ш» должны найти величину относительных удлине ний бруса по направлению этих осей, как сумму относ ных удлинений от главных напряжений 5 ^ а 6^ , .Чес вующих независимо друг от друга,
С этой целью вырежем из напряженного уела элемен тарный кубик„ ребро которого равно единице я пусть
граням его действуют главные напряжения 0 |
и 6 £ (ри |
7.3). |
Z |
Пользуясь принципом независимости действия сил, определим величины относительных удлинений ребер кубик
Если бы на кубик действовали только напряжения о у (рис.8.3), то он имел бы относительное удлинение
в направление & , равное 6 х и относительное су-
94
жение в направлении61 |
равное — у |
1 4 |
- £• |
|
Аналогично будем иметь |
||
|
в случае, |
если на чтбик |
|
|
действует только 6 £ |
||
|
(рис.9.3), при сток он |
||
|
получит соответственно от |
||
|
|
|
6г |
|
носительное удлинение |
||
|
по второму направлению, |
||
X |
а относительное сужение |
по первому направлению. При одновременном дейст
вии обоих напряжений отно сительные удлинения в на
Рис.7.3 правлениях в^г и ^ 2 выразятся алгебраической суммой и будут соответственно равны:
|
Полученные |
значе |
|
|
ния |
4 |
на- |
|
зывают главными удли |
||
|
нениями потому, что |
||
|
они получаются от |
||
|
действия главных |
||
|
напряжений в направ |
||
|
лениях, |
перпендику |
|
|
лярных к главным |
||
|
площадкам. |
|
|
|
Если бы кубик рас |
||
Рис.8.3 |
тягивался и по на- |
||
|
|
|
|
7-1256 |
|
|
95 |
направлению оси 2. (перпендикуляр ной плоскости чер
тежа, как изображе но на рис.10.3), то в правую часть формулы (0.3) во шел бы дополнитель ный член, равный^#|г
Рис.9.3
Рассуждая так, как и ранее, мы получим относител ные удлинения при объемном напряженном состоянии, кот рые соответственно будут равны: _ -,
Подобные формулы могут быть получены и для случ при котором грани элементарного кубика не совпадают главными площадками (т.е. по этим граням помимо норма ных напряжений будут действовать также и касательные пряжения). В этом случае действие касательных напряжен вызовет изменение прямых углов меаду гранями и совер не будет влиять на удлинение ребер кубика. Поэтому мулы будут иметь следующий вид:
В этой формуле 6*х , 6^. и 6 ^ - нормальные на пряжения, действующие по боковым граням выделенного к бика. Причем эти грани кубика не совпадают с главны
площадками. <SX 1 £ у.и |
~ относительные удлинения |
его ребер. |
|
Следует указать, что если одно из напряжений бу дет сжимающим, то оно должно быть внесено в указан формулу со знаком минус.
Выражения (15".3) и (16.3) являютоя формулами обоб щенного закона Гука при растяжении по трем взаимно-п
97